Cette thèse traite des langages reconnaissables de mots indexés par des ordinaux. Plusieurs classes d'automates qui reconnaissent de tels mots ont été introduites par Büchi. Elles diffèrent par la longueur des mots reconnus par les automates. Nous en utilisons quatre: la classe pour les mots de longueur , celle pour les mots de longueur inférieure à , où n est un entier naturel, celle pour les mots de longueur dénombrable, et celle pour les mots de longueur quelconque. Nous y ajoutons la classe des automates de Kleene traditionnelle, sur les mots finis. Nous remontrons que ces différentes définitions d'automates sont équivalentes, c'est-à-dire que données deux de ces classes et un automate d'une des deux, la restriction du langage reconnu par l'automate aux mots du domaine le plus petit des deux classes est la restriction du langage reconnu par un automate de l'autre classe au même domaine. Nous donnons également une présentation unifiée de la déterminisation pour chacune des classes qui reconnaît au plus des mots de longueur dénombrable. Les semigroupes finis sont un formalisme équivalent aux automates pour définir des ensembles de mots finis. Perrin, Pin et Wilke ont introduits des structures algébriques adaptées à l'étude des langages de mots de longueur , qui, quand elles sont finies, sont équivalentes aux automates. Nous généralisons l'approche algébrique de la théorie des langages reconnaissables de mots de longueur aux mots de longueur inférieure à , puis aux mots de longueur dénombrable. Pour cela, nous définissons deux structures algébriques, les -semigroupes et les -semigroupes, qui, quand elles sont finies, sont équivalentes respectivement aux automates pour les mots de longueur inférieure à et aux automates pour les mots de longueur dénombrable. Comme pour le cas des mots de longueur , une algèbre syntaxique peut être canoniquement associée à chaque langage reconnaissable. Nous définissons le produit de Schützenberger et le produit en couronne sur les -semigroupes. Nous étendons également le théorème des variétés d'Eilenberg aux mots de longueur dénombrable. Finalement, nous remontrons l'équivalence entre langages reconnus par automates et langages définis par énoncés de logique monadique du second ordre quand on s'intéresse aux mots de longueur dénombrable. Le théorème d'équivalence de Schützenberger entre langages sans étoile et semigroupes finis apériodiques est étendu aux mots de longueur inférieure à , et le théorème d'équivalence entre langages sans étoile et langages définis par énoncés de logique du premier ordre de l'ordre linéaire de McNaughton et Papert est étendu aux mots de longueur quelconque.

1°) Utilisation d'inégalités fonctionnelles de Bobkov pour l'établissement de principes de grandes déviations quasi-gaussiens. <br /><br />2°) Etude de l'inégalité de Sobolev logarithmique en théorie de l'information. <br /><br />3°) Etablissement d'inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmiques pour certaines dynamiques de Kawasaki et Glauber pour un modèle à spins continus en mécanique statistique.

Cette thèse traite des langages reconnaissables de mots indexés par des ordinaux.<br /><br />Plusieurs classes d'automates qui reconnaissent de tels mots ont été introduites par Büchi. Elles diffèrent par la longueur des mots reconnus par les automates. Nous en utilisons quatre: la classe pour les mots de longueur [$\omega$] , celle pour les mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] , où n est un entier naturel, celle pour les mots de longueur dénombrable, et celle pour les mots de longueur quelconque. Nous y ajoutons la classe des automates de Kleene traditionnelle, sur les mots finis. Nous remontrons que ces différentes définitions d'automates sont équivalentes, c'est-à-dire que données deux de ces classes et un automate d'une des deux, la restriction du langage reconnu par l'automate aux mots du domaine le plus petit des deux classes est la restriction du langage reconnu par un automate de l'autre classe au même domaine. Nous donnons également une présentation unifiée de la déterminisation pour chacune des classes qui reconnaît au plus des mots de longueur dénombrable.<br /><br />Les semigroupes finis sont un formalisme équivalent aux automates pour définir des ensembles de mots finis. Perrin, Pin et Wilke ont introduits des structures algébriques adaptées à l'étude des langages de mots de longueur [$\omega$] , qui, quand elles sont finies, sont équivalentes aux automates. Nous généralisons l'approche algébrique de la théorie des langages reconnaissables de mots de longueur [$\omega$] aux mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] , puis aux mots de longueur dénombrable. Pour cela, nous définissons deux structures algébriques, les [$\omega^n$] -semigroupes et les [$\omega_1$] -semigroupes, qui, quand elles sont finies, sont équivalentes respectivement aux automates pour les mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] et aux automates pour les mots de longueur dénombrable. Comme pour le cas des mots de longueur [$\omega$] , une algèbre syntaxique peut être canoniquement associée à chaque langage reconnaissable. Nous définissons le produit de Schützenberger et le produit en couronne sur les [$\omega_1$] -semigroupes. Nous étendons également le théorème des variétés d'Eilenberg aux mots de longueur dénombrable.<br /><br />Finalement, nous remontrons l'équivalence entre langages reconnus par automates et langages définis par énoncés de logique monadique du second ordre quand on s'intéresse aux mots de longueur dénombrable. Le théorème d'équivalence de Schützenberger entre langages sans étoile et semigroupes finis apériodiques est étendu aux mots de longueur inférieure à [$\omega^(n+1)$] , et le théorème d'équivalence entre langages sans étoile et langages définis par énoncés de logique du premier ordre de l'ordre linéaire de McNaughton et Papert est étendu aux mots de longueur quelconque.

Cette thèse se situe à l'intersection de plusieurs domaines mathématiques particulièrement actifs actuellement : l'analyse fonctionnelle, la théorie des opérateurs, la dynamique complexe et la théorie des semigroupes. Nous étudierons ici les semigroupes d'opérateurs de composition sur quelques espaces de Hardy pondérés, notamment l'espace de Hardy du disque et l'espace de Dirichlet. Dans un premier temps, nous allons voir pourquoi se placer à cette intersection est pertinent, en montrant comment utiliser les propriétés des semigroupes pour calculer explicitement les normes de certains opérateurs de composition. Dans un second temps, nous étudierons les propriétés des semigroupes d'opérateurs de compositions qui sont directement accessibles à partir de la seule donnée du générateur infinitésimal du semigroupe, en nous concentrant tout particulièrement sur les notions d'analyticité et de compacité / This thesis takes place at the intersection of several particularly active mathematical areas : functional analysis, operator theory, complex dynamics and theory of semigroups. Here, we study semigroups of composition operators on some weighted Hardy spaces, in particular the Hardy space of the disk and the Dirichlet space. First, we will show why this intersection is relevant for our study, pointing out how to use the properties of semigroups to explicitly compute the norms of some composition operators. Secondly, we will study the properties of semigroups of composition operators that are directly accessible from the only data of the infinitesimal generator, focusing on analyticity and compactness

Dans cette thèse, nous affinons l'étude des fonctions presque automorphes sur time scales introduites dans la littérature par Lizama et Mesquita, nous explorons de nouvelles propriétés de ces fonctions et appliquons les résultats à étudier l'existence et l'unicité de solution presque automorphe d'une nouvelle classe d'équations dynamiques sur time scales. Puis nous introduisons la notion de fonction presque automorphe de classe Cn, nous investiguons les propriétés fondamentales de ces fonctions et utilisons les résultats pour établir l'existence, l'unicité et la stabilité globale et exponentielle de solution presque automorphe de classe C1 d'un système d'équations dynamiques avec délai variable fini modélisant un réseau de neurones. Ensuite nous présentons le concept de fonctions asymptotiquement presque automorphes de classe Cn. Nous démontrons quasiment toutes les propriétés de ces fonctions, lesquelles nous permettent, sous des hypothèses convenables, d'établir, d'une part, que l'unique solution d'un problème avec condition initiale est asymptotiquement presque automorphe de classe C1, et d'autre part, l'existence et l'unicité de solution asymptotiquement presque automorphe pour une équation intégro-dynamque avec conditon initiale non locale sur time scales. Enfin, en utilisant la notion de semi-groupe sur time scales de Hamza et Oraby, nous généralisons les résultats de Lizama et Mesquita en dimension infinie, c'est-à-dire, nous étudions l'existence et l'unicité des solutions presque automorphes pour des équations dynamiques semi linéaires abstraites sur time scales. / In this thesis, we refine the notion of almost automorphic functions on time scales introduced in the literature by Lizama and Mesquita, we explore some new properties of such functions and apply the results to study the existence and uniqueness of almost automorphic solution for a new class of dynamic equations on time scales. Then we introduce the concept of almost automorphic functions of order n on time scales, we investigate the fundamental properties of these functions and we use the findings to establish the existence and uniqueness and the global stability of almost automorphic solution of one to a first order dynamical equation with finite time varying delay. Then we present the concept of asymptotically almost automorphic functions of order n on time scales. We study the properties of these functions and we use the results to prove, under suitable hypothesis, that the unique solution to a problem with initial condition is asymptotically almost automorphic of order one at the one hand, and the existence and uniqueness of asymptotically almost automorphic solution for an integro-dynamic equation with nonlocal initial conditon on time scales in other hand. Finally, using the concept of semigroup on time scales introduced by Hamza and Oraby, we generalize the results in Lizama and Mesquita's paper for abstract Banach spaces, that is, we study the existence and uniqueness of almost automorphic solution for semilinear abstract dynamic equations on time scales.

Dans cette thèse, nous étudions la stabilisation et la contrôlabilité exacte de certains problèmes distribués avec différents types d’amortissement. Dans la première partie, nous étudions la stabilité d'un système Bresse mono-dimensionnel avec un contrôle de type mémoire infini et/ou avec une conduction de chaleur donnée par la loi de Cattaneo agissant sur le déplacement de l'angle de cisaillement. Nous considérons le cas intéressant de conditions aux bords de types entièrement Dirichlet. En effet, sous la condition d'égalité de la vitesse de propagation des ondes, nous établissons la stabilité exponentielle du système. Cependant, dans le cas physique naturel lorsque les vitesses de propagation sont différentes, en utilisant une méthode de décomposition de spectre, nous montrons que le système de Bresse n'est pas uniformément stable. Dans ce cas, nous établissons un taux de décroissance énergétique polynomiale. Notre étude est valable pour toutes les autres conditions aux bords mixtes. Dans la deuxième partie, nous étudions la stabilisation d'un système élastique faiblement amorti d’un système couplé abstrait du second ordre. Dans le cadre de certains paramètres, en utilisant la méthode spectrale, nous établissons la stabilité exponentielle du système. Cependant, lorsque le système n'est pas uniformément stable, nous établissons le taux optimal de la décroissance polynomiale de l'énergie du système. Dans la troisième partie, nous étudions la contrôlabilité exacte indirecte d'un système de Timoshenko mono-dimensionnel. En effet, nous considérons les cas lorsque la vitesse de propagation des ondes sont égales ou différentes. Tout d'abord, nous utilisons des analyses non harmoniques pour établir une inégalité d'observabilité faible, qui dépend du rapport des vitesses de propagation des ondes. Ensuite, en utilisant la méthode HUM, nous prouvons que le Système est parfaitement contrôlable et que le temps de contrôle peut être faible. / In this work, we study the stabilization and the exact controllability of some distributed problems. In the first part, we study the stability of a one-dimensional Bresse System with infinite memory type control and/or with heat conduction given by Cattaneo's law acting in the shear angle displacement, where we consider the interesting case of fully Dirichlet boundary conditions. Indeed, under a equal speed of propagation condition, we establish the exponential stability of the System. However, in the natural physical case when the speeds of propagation are different, using a spectrum method, we show that the Bresse System is not uniformly exponentially stable. In this case, we establish a polynomial energy decay rate. Our study is valid for all other mixed boundary conditions. In the second part, we study the stabilization of a weakly damped elastic System of an abstract second order equation. Indeed, under some condition on the parameters, using a spectrum method, we establish the exponential stability of the System. However, when the System is not uniformly stable, using a spectrum method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the System. In the third part, we study the indirect boundary exact controllability of a one-dimensional Timoshenko System. Indeed, we consider the cases when the speed waves propagate with equal or different speeds. We use non harmonic analysis to establish weak observability inequality, which depends on the ratio of the waves propagation speeds. Next, using the HUM method, we prove that the System is exactly controllable, and that the control time can be small.

Ce travail de thèse a pour but de construire et d’étudier une fibration de Hitchin pour les groupes qui apparaît naturellement lorsque l’on essaie de géométriser la formule des traces. On commence par construire une telle fibration en utilisant le semi-groupe de Vinberg. Sur ce semi-groupe de Vinberg, on montre qu’il existe un certain morphisme « polynôme caractéristique » muni d’une section naturelle, de même que dans le cas des algèbres de Lie. On montre également que l’on peut construire un centralisateur régulier au-dessus de cette base des polynômes caractéristiques qui est un schéma en groupes commutatif et lisse.On s’intéresse alors à des variantes pour les groupes des fibres de Springer affines pour lesquelles on remarque que l’introduction du semi-groupe de Vinberg permet d’obtenir une condition d’intégralité analogue à celle de Kazhdan-Lusztig. Ces fibres de Springer affines sont des analogues locaux des fibres de Hitchin. On obtient alors une formule de dimension pour ces fibres.Dans un troisième temps, on s’intéresse à l’aspect global de cette fibration pour laquelle on donne une interprétation modulaire et sur laquelle on construit l’action d’un champ de Picard, issu du centralisateur régulier. L’espace total de cette fibration étant en général singulier, nous étudions son complexe d’intersection. Cet espace de Hitchin s’obtient naturellement comme l’intersection du champ de Hecke avec la diagonale du champ des G-torseurs et on démontre que sur un ouvert suffisamment gros de la base de Hitchin, le complexe d’intersection de l’espace de Hitchin s’obtient par restriction de celui du champ de Hecke corrrespondant.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, on établit un théorème du support dans le cas où l’espace total est singulier analogue à celui de Ngô et l’on démontre que, dans le cas de la fibration de Hitchin, les supports qui interviennent sont reliés aux strates endoscopiques. / This main goal of this work is to construct and study the properties of Hitchin fibration for groups which appears naturally when we try to geometrize the trace formula. We begin by constructing this fibration using the Vinberg’s semigroup. On this semigroup, we show that there exists a characteristic polynomial morphism equipped with a natural section, analog at the Kostant’s one in the case of Lie algebras. We also show that there exists on the base of characteristic polynomials a regular centralizer scheme, which is a smooth commutative group scheme.Then, we are interested in some variant of affine Springer fibers, for which we see that the Vinberg’s semigroup appears naturally to obtain an integrality condition analog to Kazhdan-Lusztig’s one. These affine Springer fibers are local incarnation of Hitchin fibers.In a third time, we go back to the global case and give a modular interpretation of this new Hitchin fibration on which we construct an action of a Picard stack, coming from the regular centralizer.The total space of this fibration, even on the generically regular semisimple locus will be singular and we want to understand his intersection complex. This space can be obtained as the intersection of the Hecke stack with the diagonal of the stack of G-bundles and we show that on a sufficiently big open subset of the Hitchin base, the intersection complex of the Hitchin’s space is the restriction of the corresponding intersection complex on the Hecke stack.Finally, in the last part of this work, we establish a support theorem in the case of a singular total space, generalizing Ngo’s theorem et we show that in the case of Hitchin fibration, the supports that appear are related to the endoscopic strata.