Orientador: Waldemar Donizete Bastos / Banca: Andrea Cristina Prokopczyk Arita / Banca: Juliana Conceição Precioso Pereira / Banca: Carlos Alberto Raposo da Cunha / Banca: Valéria Neves Domingos Cavalcanti / Resumo: Neste trabalho estudamos o problema de controlabilidade exata na fronteira para um sistema de equações de onda acopladas em paralelo, em domínios suave por partes do plano, sob ação de controle do tipo Neuman. Utilizando o método empregado por D. L. Russell em [33] obtemos controlabilidade em tempo suficientemente grande para dados iniciais de energia finita e controle de quadrado integrável. A fim de obter tempo de controle próximo a valores ótimos, procedemos como em [21]: estendemos a solução do problema de Cauchy para tempo complexo e provamos que o operador solução associado ao problema de Cauchy é compacto e depende analiticamente do tempo num setor adequado do plano complexo. Utilizando decaimento local de energia, analiticidade e compacidade do operador solução obtemos o resultado desejado. / Abstract: In this work we study the problem of exact controllability on the boundary for a system of wave equations coupled in parallel, in piecewise smooth domains of the plane, under the action of control of Neuman type. Using the method employed by D. L. Russell in [33] we obtain controllability in time sufficiently large for initial data of finite energy and square integrable control. In order to obtain control time close to optimal values, we proceed as in [21]: we extend the solution of the Cauchy problem to complex time and we prove that the solution operator associated with the Cauchy problem is compact and depends analytically of the time in an appropriate sector of the complex plane. Using local decay of energy, analyticity and compactness of the solution operator we obtain the desired result. / Doutor

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Dans cette thèse, nous étudions la stabilisation et la contrôlabilité exacte de certains problèmes distribués avec différents types d’amortissement. Dans la première partie, nous étudions la stabilité d'un système Bresse mono-dimensionnel avec un contrôle de type mémoire infini et/ou avec une conduction de chaleur donnée par la loi de Cattaneo agissant sur le déplacement de l'angle de cisaillement. Nous considérons le cas intéressant de conditions aux bords de types entièrement Dirichlet. En effet, sous la condition d'égalité de la vitesse de propagation des ondes, nous établissons la stabilité exponentielle du système. Cependant, dans le cas physique naturel lorsque les vitesses de propagation sont différentes, en utilisant une méthode de décomposition de spectre, nous montrons que le système de Bresse n'est pas uniformément stable. Dans ce cas, nous établissons un taux de décroissance énergétique polynomiale. Notre étude est valable pour toutes les autres conditions aux bords mixtes. Dans la deuxième partie, nous étudions la stabilisation d'un système élastique faiblement amorti d’un système couplé abstrait du second ordre. Dans le cadre de certains paramètres, en utilisant la méthode spectrale, nous établissons la stabilité exponentielle du système. Cependant, lorsque le système n'est pas uniformément stable, nous établissons le taux optimal de la décroissance polynomiale de l'énergie du système. Dans la troisième partie, nous étudions la contrôlabilité exacte indirecte d'un système de Timoshenko mono-dimensionnel. En effet, nous considérons les cas lorsque la vitesse de propagation des ondes sont égales ou différentes. Tout d'abord, nous utilisons des analyses non harmoniques pour établir une inégalité d'observabilité faible, qui dépend du rapport des vitesses de propagation des ondes. Ensuite, en utilisant la méthode HUM, nous prouvons que le Système est parfaitement contrôlable et que le temps de contrôle peut être faible. / In this work, we study the stabilization and the exact controllability of some distributed problems. In the first part, we study the stability of a one-dimensional Bresse System with infinite memory type control and/or with heat conduction given by Cattaneo's law acting in the shear angle displacement, where we consider the interesting case of fully Dirichlet boundary conditions. Indeed, under a equal speed of propagation condition, we establish the exponential stability of the System. However, in the natural physical case when the speeds of propagation are different, using a spectrum method, we show that the Bresse System is not uniformly exponentially stable. In this case, we establish a polynomial energy decay rate. Our study is valid for all other mixed boundary conditions. In the second part, we study the stabilization of a weakly damped elastic System of an abstract second order equation. Indeed, under some condition on the parameters, using a spectrum method, we establish the exponential stability of the System. However, when the System is not uniformly stable, using a spectrum method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the System. In the third part, we study the indirect boundary exact controllability of a one-dimensional Timoshenko System. Indeed, we consider the cases when the speed waves propagate with equal or different speeds. We use non harmonic analysis to establish weak observability inequality, which depends on the ratio of the waves propagation speeds. Next, using the HUM method, we prove that the System is exactly controllable, and that the control time can be small.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement / This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially

Cette thèse est composée de deux parties dans lesquelles nous étudions d'une part des estimations d'erreurs pour des schémas numériques associés à des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. D'autre part, nous nous intéressons a l'étude de la stabilité et de la contrôlabilité exacte frontière indirecte des équations d'onde couplées.Dans un premier temps, en utilisant la technique de Crandall-Lions, nous établissons une estimation d'erreur d'un schéma numérique monotone aux différences finies pour des conditions de jonction dites a flux limité, pour une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ensuite, nous montrons que ce schéma numérique peut être généralisé à des conditions de jonction générales. Nous établissons alors la convergence de la solution discrétisée vers la solution de viscosité du problème continu. Enfin, nous proposons une nouvelle approche, à la Crandall-Lions, pour améliorer les estimations d'erreur déjà obtenues, pour une classe des Hamiltoniens bien choisis. Cette approche repose sur l'interprétation du type contrôle optimal de l'équation de Hamilton-Jacobi considérée.Dans un second temps, nous étudions la stabilisation et la contrôlabilité exacte frontière indirecte d'un système monodimensionnel d’équations d'ondes couplées. D'abord, nous considérons le cas d'un couplage avec termes de vitesses, et par une méthode spectrale, nous montrons que le système est exactement contrôlable moyennant un seul contrôle à la frontière. Les résultats dépendent de la nature arithmétique du quotient des vitesses de propagation et de la nature algébrique du terme de couplage. De plus, ils sont optimaux. Ensuite, nous considérons le cas d'un couplage d'ordre zéro et nous établissons un taux polynômial optimal de la décroissance de l'énergie. Enfin, nous montrons que le système est exactement contrôlable moyennant un seul contrôle à la frontière / The aim of this work is mainly to study on the one hand a numerical approximation of a first order Hamilton-Jacobi equation posed on a junction. On the other hand, we are concerned with the stability and the exact indirect boundary controllability of coupled wave equations in a one-dimensional setting.Firstly, using the Crandall-Lions technique, we establish an error estimate of a finite difference scheme for flux-limited junction conditions, associated to a first order Hamilton-Jacobi equation. We prove afterwards that the scheme can generally be extended to general junction conditions. We prove then the convergence of the numerical solution towards the viscosity solution of the continuous problem. We adopt afterwards a new approach, using the Crandall-Lions technique, in order to improve the error estimates for the finite difference scheme already introduced, for a class of well chosen Hamiltonians. This approach relies on the optimal control interpretation of the Hamilton-Jacobi equation under consideration.Secondly, we study the stabilization and the indirect exact boundary controllability of a system of weakly coupled wave equations in a one-dimensional setting. First, we consider the case of coupling by terms of velocities, and by a spectral method, we show that the system is exactly controllable through one single boundary control. The results depend on the arithmetic property of the ratio of the propagating speeds and on the algebraic property of the coupling parameter. Furthermore, we consider the case of zero coupling parameter and we establish an optimal polynomial energy decay rate. Finally, we prove that the system is exactly controllable through one single boundary control

La thèse est portée essentiellement sur la stabilisation et la contrôlabilité de deux équations des ondes moyennant un seul contrôle agissant sur le bord du domaine. Dans le cas du contrôle dynamique, le contrôle est introduit dans le système par une équation différentielle agissant sur le bord. C'est en effet un système hybride. Le contrôle peut être aussi applique directement sur le bord d'une équation, c'est le cas du contrôle indirecte mais non borne. La nature du système ainsi coupledépend du couplage des équations, et ceci donne divers résultats par la stabilisation (exponentielle et polynomiale) et la contrôlabilité exacte (espace contrôlable). Des nouvelles inégalités d'énergie permettent de mettre en oeuvre la Méthode fréquentielle et la Méthode d'Unicité de Hilbert. / This thesis is concerned with the stabilization and the exact controllability of two wave equations by means of only one control acting on the boundary of the domain. In the case of dynamic control, the control is introduced into the system by differential equation acting on the boundary. It is indeed a hybrid system. The control can be also applied directly on the boundary of one of the equations. In this case, the control is indirect but unbounded. The behavior of the obtained system depends on theways of coupling. Various results are established for the stabilization (exponential or polynomial) and the exact controllability (controllable space of initial data). A new inequality of energy allows to apply the Frequency Method and the Hilbert Uniqueness Method.