Cette thèse est constituée de trois parties. La première est consacrée à dégager les notions de "bonne mesure" et de "mesure réduite" pour deux problèmes paraboliques non linéaires. Pour chacun de ces problèmes et suite à un phénomène de relaxation, on construit une suite qui converge vers la plus "grande" sous-solution du problème donné. En plus, on cherche des "capacités universelles" et on établit des équivalences avec des mesures de Hausdorff. Dans la deuxième partie, on cherche des conditions d'existence et d'unicité de "grande solutions" pour des problèmes paraboliques dont le terme non linéaire est un terme d'absorption. Des conditions sur le bord du domaine permettent de prouver l'unicité de la solution. Dans la troisième partie, on étudie les "singularités" de deux problèmes paraboliques non linéaires. / The thesis at hand is composed of three parts. The first part is devoted to present the notions of "good measure" and "reduced measure" for two non-linear parabolic problems. For each of these problems we construct a sequence, after a relaxation phenomenon, which converges to the "greatest" sub-solution of the given problem. Moreover, we look for "universal capacities" and we establish equivalence with Hausdorff measure. In the second part, we establish existence and uniqueness conditions for "large solutions" of parabolic problems whose non-linear term is an absorption one. Some boundary conditions will permit to prove uniqueness of solutions. In the last part we study the "singularities" of two non-linear parabolic problems.

Notre principal but est le probleme de l'unicite pour les operateurs de diffusion dans $L^\infty$. Ce travail commence par un etude des $C_0$-semi-groupes et des semi-groupes integres dans un contexte tres general. Nous etudions les $C_0$-semi-groupes sur un espace localement convexe et nous introduisons une nouvelle topologie sur l'espace dual tel que l'adjoint d'un $C_0$-semi-groupe est de classe $C_0$ par rapport a cette topologie. Les resultats les plus importants sont un theoreme de caracterisation d'un core du generateur et un theoreme de caracterisation complet d'un generateur essentiel sur un espace localement convexe. Finalement, nous presentons quelques exemples des generateurs essentiels dans $L^\infty$. Dans cette these ont ete obtenues pour la premiere fois la $L^\infty$-unicite des operateurs de Schroedinger et des operateurs de Schroedinger generalises sur une variete riemannienne complete, ainsi que $L^1$-unicite des solutions faibles pour l'equation de transport de masse.

Cette thèse est consacrée à l’enrichissement du modèle mathématique classique des structures intelligentes, en tenant compte des effets thermiques, et à son étude analytique et numérique. Il s'agit typiquement de structures se présentant sous forme de capteurs ou actionneurs, piézoélectriques et/ou magnétostrictifs, dont les propriétés dépendent de la température. On présente d'abord des résultats d'existence et unicité concernant deux problèmes posés sur un domaine tridimensionnel : le problème dynamique et le problème quasi-statique. A partir du problème quasi-statique on déduit un modèle bidimensionnel de plaque grâce à la méthode des développements asymptotiques en considérant quatre types différents de conditions aux limites, chacun visant à modéliser un comportement de type capteur et/ou actionneur. Chacun des quatre problèmes se découple en un problème membranaire et un problème de flexion. Ce dernier est un problème d'évolution qui tient compte d'un effet d'inertie de rotation. On focalise ensuite notre attention sur ce problème et on en présente une étude mathématique et numérique. L'analyse numérique est complétée avec des tests effectués sous l'environnement FreeFEM++. / This thesis is devoted to the enrichment of the usual mathematical model of smart structures, by taking into account thermal effects, and to its mathematical and numerical study. By the expression "smart structures" we refer to structures acting as sensors or actuators, whose properties depend on the temperature. We present at first the results of existence and uniqueness concerning two problems posed on a three-dimensional domain: the dynamic problem and the quasi-static problem. Based on the quasi-static problem, we infer a two-dimensional plate model by means of the asymptotic expansion method by considering four different sets of boundary conditions, each one featuring a sensor-like or an actuator-like behavior. Each of the four problems decouples into a membrane problem and a flexural problem. The latter is an evolution problem that accounts for a rotational inertia effect. Attention is then focused on this problem by presenting a mathematical and numerical study of it. Our numerical analysis is complemented with numerical tests carried out under the FreeFEM++ environment.

L'objet de l'étude est double. Dans un premier temps, on s'intéresse<br />à la classification des symétries du phénomène de couplage piézoélectrique<br />linéaire; on se focalise ensuite sur la dérivation de modèles de plaques,<br />toujours dans le cadre de la piézoélectricité linéarisée. On obtient ainsi<br />des résultats qui permettent de présenter des propriétés de solides<br />piézoélectriques relatives au matériau, à la structure ainsi qu'à leurs<br />interactions.<br /><br />Les trois premiers Chapitres concernent les symétries. On rappelle d'abord<br />que ces dernières peuvent être de différentes natures. Ensuite, les outils<br />qui permettent de les appréhender et de les lier entre elles sont présentées.<br />Les divers outils utilisés conduisent alors au principal résultat de la<br />première partie : la classification des symétries du phénomène de couplage<br />piézoélectrique linéaire en quinze familles distinctes.<br /><br />Dans les deux derniers Chapitres, on obtient des modèles de plaques<br />linéairement piézoélectriques à l'aide d'une méthode mathématique rigoureuse<br />consistant à étudier le comportement d'un solide tridimensionnel lorsque son<br />épaisseur, vue comme un paramètre, tend vers zéro. Dans le cas statique, il<br />apparaît deux modèles différents. Ils dépendent en fait du type de chargement<br />électrique et sont reliés aux cas pour lesquels les plaques piézoélectriques<br />sont utilisés comme capteurs ou comme actionneurs. Les cinématiques limites<br />sont précisées et les deux lois de comportement sont explicitement fournies<br />pour tous les types de matériau constitutif. Dans le cas dynamique, on montre<br />que c'est l'ordre de grandeur du rapport entre l'épaisseur et la densité de<br />la plaque qui joue un rôle déterminant.

La convergence de la formule de Trotter en norme d'opérateur a été établie depuis 1990 avec différentes conditions pour des générateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert. Cette thèse étudie au contraire des semi-groupes holomorphes dont les générateurs ne sont pas auto-adjoints. Dans le premier ensemble de résultats, il s'agit d'estimations d'erreur en norme d'opérateur pour la formule de Trotter : je considère des perturbations accrétives dans un espace de Banach général, puis dans un espace de Hilbert. Dans la deuxième partie, j'étends certains résultats de convergence de la formule de Trotter au cas de générateurs m-sectoriels et pour la norme d'opérateur ou la norme de la trace. Enfin la dernière partie consiste en une généralisation de la théorie de Chernoff au cas de l'approximation des semi-groupes holomorphes en norme d'opérateur. Cette partie est fondée en particulier sur la notion nouvelle de contraction quasi-sectorielle, le résultat principal montre le lien entre la convergence généralisée (ou convergence au sens de la norme de la résolvante) des générateurs m-sectoriels et l'approximation en norme d'opérateur des semi-groupes holomorphes contractants par des puissances de contractions quasi-sectorielles.

Les travaux de cette thèse relèvent du domaine de la théorie des opérateurs, et se situent à l'interface de l'analyse complexe, de la théorie des semi-groupes et de la théorie de l'universalité. Le premier résultat principal de cette thèse relève de l'étude des opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes : nous déterminons le spectre d'un opérateur de composition par un symbole de Koenigs sur l'espace des fonctions holomorphes sur le disque unité, et en déduisons des informations sur la forme générale du spectre des opérateurs de composition par un symbole de Koenigs sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes. L'outil principal que nous développons pour notre étude est une description des projections spectrales associées à ces opérateurs. Le second résultat principal de cette thèse relève de la théorie de l'universalité : nous étendons aux semi-groupes d'opérateurs la notion d'opérateur universel, et établissons l'existence d'un semi-groupe universel pour les semi-groupes quasi-contractifs en exhibant un semi-groupe sur un espace de fonctions holomorphes. Nous élargissons ensuite ce résultats aux semi-groupes d'opérateurs concaves / The works in this thesis address topics from operator theory and involves ideas and notions arising from complex analysis, the theory of operator semigroups and the theory of universality. The first main result of this thesis relates to the study of composition operators on spaces of holomorphic functions: we compute the spectrum of an operator of composition by a Koenigs's symbol acting on the space of holomorphic functions on the open unit disk, and derive from it the general description of the spectrum of composition operators on Banach spaces of holomorphic functions. The key tool we develop in this study is a description of spectral projections associated with such operators.The second main result of this thesis relates to the thoery of universality: we extend to operator semigroups the notion of universality. Then, we prove the existence of a universal semigroup for quasi-contractive operators semigroups. We then show a similar result for concave semigroups

L’objectif de ce travail de thèse est d’étudier quelques problèmes elliptiques et paraboliques d’écoulement de fluides non Newtoniens incompressibles et non isothermes gouvernés par l’équation aux dérivées partielles de Stokes avec la condition de Tresca sur une partie du bord quand la viscosité dépend à la fois de la température, de la vitesse et du module du tenseur des taux de déformations. Dans le premier chapitre, on a fait une introduction générale. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons au couplage entre le système de Stokes et l’équation de la chaleur en régime stationnaire. On montre l’existence de la solution de l’inéquation variationnelle décrivant le système de Stokes pour une température donnée quand la viscosité dépend à la fois de la température, de la vitesse et du module du tenseur des taux de déformations en utilisant la méthode de monotonie pour la vitesse et le théorème de De Rham pour la pression. Dans un deuxième temps, on étudie l’existence et l’unicité de la température solution de l’équation de la chaleur avec un terme L1(Ω) au second membre quand la viscosité dépend à la fois de la température, de la vitesse et du module du tenseur des taux de déformations. On montre ensuite l’existence de la solution du problème variationnel couplé avec la viscosité dépend de la température et du module du tenseur des taux de déformations, en utilisant le théorème de point fixe de Schauder. Dans le troisième et le quatrième chapitre, on traite l’existence et l’unicité de la solution du système de Stokes en régime instationnaire quand la viscosité dépend de la température et du module du tenseur des taux de déformations dans les cas p = 2, p > 2 et 6 5 < p < 2 en utilisant la notion des semi-groupes et la méthode de monotonie pour la vitesse et le théorème de De Rham pour la pression. Par contre, lorsque la viscosité dépend de plus de la vitesse on obtient seulement l’existence par le théorème de point fixe de Schauder / The objective of this thesis is to study some elliptic and parabolic problems of the non-Newtonian flow of an incompressible and non isothermal fluid governed by partial differential equation of Stokes with Tresca’s condition on a part of the boundary when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor and the velocity of the fluid. In the first chapter, we did a general introduction. In the second chapter, we consider the coupling between the Stokes systemand the heat equation in steady state. We prove the existence of a solution of the variational inequality describing the Stokes system when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor and the velocity of the fluid of a given temperature by using the monotony methods for the velocity and De Rham’s theorem for the pressure. We study the existence and uniqueness of the temperature solution of the heat equation with L1 (Ω) term to the second member when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor and the velocity of the fluid. We show the existence of a solution of the coupled variational problem when the fluid viscosity depends on temperature and also on the modulus of strain rate tensor by using Schauder fixed point theorem. In the third and the fourth chapter, we treate the existence and uniqueness of a solution of the Stokes system in unsteady state when the fluid viscosity depends only on temperature and on the modulus of strain rate tensor in the cases p = 2, p > 2 and 6 5 < p < 2 by using the notion of semigroup and monotony methods for the velocity and De Rham’s theorem for the pressure. However, when the fluid viscosity depends also on the velocity of the fluid we obtain only the existence by Schauder fixed point theorem

On considère une famille (Pδ)δ>0 de problèmes aux limites et de transmission dans un domaine avec couche mince, écrit sous la forme d'une équation différentielle d'ordre deux abstraite de type elliptique . Une nouvelle approche pour la résolution de (Pδ)δ>0 est présentée dans ce travail utilisant le concept physique d'impédance. Cette méthode est différente de celle qui utilise un changement d'échelle sur la couche mince voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.]. Elle permet d'obtenir un problème direct et simplifié où l'effet de la couche mince se retrouve complètement décrit par l'opérateur d'impédance. Les techniques employées sont essentiellement basées sur le calcul fonctionnel de Dunford, la théorie des semi-groupes, l'interpolation et quelques idées des travaux de [R. Labbas, Thèse d'état], [Dore G., Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.] et [Favini A., Labbas R., Maingot S., Tanabe H., Yagi A.]. On obtient des résultats nouveaux d'existence, d'unicité et de régularité maximale dans les espaces de Hölder pour fixé et ensuite on étudie le passage à la limite quand δ→0 de (Pδ)δ>0. Ce travail complète ainsi ce qui a été obtenu dans le cadre Lp, voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.].

Cette thèse regroupe un ensemble d'analysesmathématiques et de simulations numériques relatives aux équations primitives de l'océan (EP) sans viscosité, en domaine borné. Les EP sont des équations bien connues de la mécanique des fluides, qui s'appuient sur les approximations hydrostatique et de Boussinesq. On rappelle en introduction pourquoi ces équations, considérées avec des conditions aux limites de type local, sont mal posées. Dans une première partie (chapitres 1 à 4), on s'intéresse à une modification de l'équation hydrostatique au moyen d'un terme de friction proportionnel à un petit paramètre delta. On démontre des résultats d'existence, d'unicité et de régularité des solutions avant d'étudier le comportement de ces solutions lorsque delta tend vers $0$. Des résultats numériques montrent que des couches limites et des réflexions se produisent aux frontières du domaine. Les phénomènes observés numériquement sont alors confirmés par une preuve rigoureuse effectuée grâce à la théorie des correcteurs. Dans une seconde partie (chapitres 5 et 6), on revient à la formulation hydrostatique d'origine des EP, et l'on propose un jeu de conditions aux limites transparentes pour le système linéarisé. Une preuve du caractère bien posé du problème aux limites ainsi obtenu justifie l'introduction de telles conditions aux limites, qui sont ensuite implémentées dans une simulation numérique confirmant que les phénomènes de couches limites et de réflexions aux frontières sont ainsi évités, aussi bien sur les équations non linéaires que sur le linéarisé.

La gestion des ressources marines est l'un des enjeux majeurs du XXIe siècle. Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'étude du comportement migratoire des civelles (larves d'anguilles) dans l'estuaire de l'Adour. Le modèle, qui est constitué d'une équation aux dérivées partielles dégénérée de convection diffusion en 2D, prend en compte l'influence de la marée dynamique (système d'équations non linéaires dégénérées de Saint-Venant) et l'intensité lumineuse dans la colonne d'eau. Dans un premier temps, en appliquant la théorie du degré topologique nous avons montré l'existence de solutions stationnaires du modèle hydrodynamique. Par la suite, en injectant ces solutions dans notre modèle migratoire, nous avons établi l'existence de solutions en employant la théorie des semi-groupes, la méthode des caractéristiques et le théorème de J.-L. Lions. La positivité et des estimations a priori des densités biologiques avaient été fournies auparavant. Dans un second temps, nous présentons notre approche numérique. A l'aide des directions alternées et des pas fractionnaires dans un domaine réel de 30 km de long et de hauteur d'eau variable (bathymétrie réelle et influence de la marée) les résultats obtenus reproduisent bien qualitativement ce qui était attendu.