Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l’équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c’est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d’ordre ε et des bases d’ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l’équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d’existence, d’unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l’ordre des étapes de résolution de l’algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l’obtention d’une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiques / In order to model the blood flow through vessels, the Stokes equation with the nonconstant viscosity is considered in a thin tube structure, i.e., in a connected union of thin rectangles with heights of order ε and bases of order 1 with smoothened boundary. An asymptotic expansion of the solution is constructed. In the case of random perturbations of the constant viscosity, we prove that the leading term for the velocity is deterministic, while for the pressure it is random, but the expectations of the pressure satisfies the deterministic Darcy equation. Estimates for the difference between the exact solution and its asymptotic approximation are proved. Finally, we give some numerical results. We extend the results for a thin tube structure composed by two thin rectangles with lateral elastic boundaries which are connected by a domain with rigid boundaries. After a variational approach of the problem which gives us existence, uniqueness, regularity results and some a priori estimates, we construct an asymptotic solution. We present and solve the problems for all the terms of the asymptotic expansion. For two different cases, we describe the order of steps of the algorithm of solving the problem and we construct the main term of the asymptotic expansion. And finally, we present a variational and an asymptotic analysis for a more general case where the viscosity depends on the infinitesimal strain tensor in a thin channel. By means of the a priori estimates, we justify our asymptotic constructions, by obtaining a small error between the exact and the asymptotic solutions

Cette thèse regroupe un ensemble d'analysesmathématiques et de simulations numériques relatives aux équations primitives de l'océan (EP) sans viscosité, en domaine borné. Les EP sont des équations bien connues de la mécanique des fluides, qui s'appuient sur les approximations hydrostatique et de Boussinesq. On rappelle en introduction pourquoi ces équations, considérées avec des conditions aux limites de type local, sont mal posées. Dans une première partie (chapitres 1 à 4), on s'intéresse à une modification de l'équation hydrostatique au moyen d'un terme de friction proportionnel à un petit paramètre delta. On démontre des résultats d'existence, d'unicité et de régularité des solutions avant d'étudier le comportement de ces solutions lorsque delta tend vers $0$. Des résultats numériques montrent que des couches limites et des réflexions se produisent aux frontières du domaine. Les phénomènes observés numériquement sont alors confirmés par une preuve rigoureuse effectuée grâce à la théorie des correcteurs. Dans une seconde partie (chapitres 5 et 6), on revient à la formulation hydrostatique d'origine des EP, et l'on propose un jeu de conditions aux limites transparentes pour le système linéarisé. Une preuve du caractère bien posé du problème aux limites ainsi obtenu justifie l'introduction de telles conditions aux limites, qui sont ensuite implémentées dans une simulation numérique confirmant que les phénomènes de couches limites et de réflexions aux frontières sont ainsi évités, aussi bien sur les équations non linéaires que sur le linéarisé.

Cette these se divise en deux parties.<br /><br />1/ L'etude de problemes de Cauchy hyperboliques a coefficients discontinus.<br />Nous traitons de discontinuites localises sur une hypersurface non-caracteristique, representant une interface, au moyen d'une approche a viscosite evanescente. Dans differents cadres, nous montrons que l'approche a petite viscosite considere permet de selectionner une solution unique. Des comportements qualitatifs differents sont exhibes suivant la nature de l'interface. Dans le cadre de systemes, cerner la nature de l'interface s'avere etre en general delicat.<br /><br />2/ Des methodes d' approximation de solutions de problemes aux limites hyperboliques bien poses au sens de Friedrichs ou de Kreiss sont donnees. Il s'agit de methodes de penalisation de domaines.<br />La qualite des methodes proposees est analysee en terme des couches limites engendrees.

Ce manuscrit porte sur les transitions compressible-incompressible dans les équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides. On s'intéresse à deux problèmes : les structures flottantes et les fluides en rotation. Dans le premier problème, l'introduction d'un objet flottant dans les vagues induit une contrainte sur le fluide et les équations gouvernant le mouvement acquièrent une structure compressible-incompressible. Dans le deuxième problème, le mouvement de fluides géophysiques compressibles est influencé par la rotation de la Terre. L'étude de la limite à rotation rapide montre que le champ vectoriel de vitesse tend vers une configuration horizontale et incompressible.Les structures flottantes constituent un exemple particulier d'interaction fluide-structure, où un solide partiellement immergé flotte à la surface du fluide. Ce problème mathématique modélise le mouvement de convertisseurs d'énergie marine. En particulier, on s'intéresse aux bouées pilonnantes, installées proche de la côte où les modèles asymptotiques en eaux peu profondes sont valables. On étudie les équations de Saint-Venant axisymétriques en dimension deux avec un objet flottant à murs verticaux se déplaçant seulement verticalement. Les hypothèses sur le solide permettent de supprimer le problème à bord libre associé avec la ligne de contact entre l'air, le fluide et le solide. Les équations pour le fluide dans le domaine extérieur au solide sont donc écrites comme un problème au bord quasi-linéaire hyperbolique. Celui-ci est couplé avec une EDO non-linéaire du second ordre qui est dérivée de l'équation de Newton pour le mouvement libre du solide. On montre le caractère bien posé localement en temps du système couplé lorsque que les données initiales satisfont des conditions de compatibilité afin de générer des solutions régulières.Ensuite on considère une configuration particulière: le retour à l'équilibre. Il s'agit de considérer un solide partiellement immergé dans un fluide initialement au repos et de le laisser retourner à sa position d'équilibre. Pour cela, on utilise un modèle hydrodynamique différent, où les équations sont linearisées dans le domaine extérieur, tandis que les effets non-linéaires sont considérés en dessous du solide. Le mouvement du solide est décrit par une équation intégro-différentielle non-linéaire du second ordre qui justifie rigoureusement l'équation de Cummins, utilisée par les ingénieurs pour les mouvements des objets flottants. L'équation que l'on dérive améliore l'approche linéaire de Cummins en tenant compte des effets non-linéaires. On montre l'existence et l'unicité globale de la solution pour des données petites en utilisant la conservation de l'énergie du système fluide-structure.Dans la deuxième partie du manuscrit, on étudie les fluides en rotation rapide. Ce problème mathématique modélise le mouvement des flots géophysiques à grandes échelles influencés par la rotation de la Terre. Le mouvement est aussi affecté par la gravité, ce qui donne lieu à une stratification de la densité dans les fluides compressibles. La rotation génère de l'anisotropie dans les flots visqueux et la viscosité turbulente verticale tend vers zéro dans la limite à rotation rapide. Notre interêt porte sur ce problème de limite singulière en tenant compte des effets gravitationnels et compressibles. On étudie les équations de Navier-Stokes-Coriolis anisotropes compressibles avec force gravitationnelle dans la bande infinie horizontale avec une condition au bord de non glissement. Celle-ci et la force de Coriolis donnent lieu à l'apparition des couches d'Ekman proche du bord. Dans ce travail on considère des données initiales bien préparées. On montre un résultat de stabilité des solutions faibles globales pour des lois de pression particulières. La dynamique limite est décrite par une équation quasi-géostrophique visqueuse en dimension deux avec un terme d'amortissement qui tient compte des couches limites. / This manuscript deals with compressible-incompressible transitions arising in partial differential equations of fluid mechanics. We investigate two problems: floating structures and rotating fluids. In the first problem, the introduction of a floating object into water waves enforces a constraint on the fluid and the governing equations turn out to have a compressible-incompressible structure. In the second problem, the motion of geophysical compressible fluids is affected by the Earth's rotation and the study of the high rotation limit shows that the velocity vector field tends to be horizontal and with an incompressibility constraint.Floating structures are a particular example of fluid-structure interaction, in which a partially immersed solid is floating at the fluid surface. This mathematical problem models the motion of wave energy converters in sea water. In particular, we focus on heaving buoys, usually implemented in the near-shore zone, where the shallow water asymptotic models describe accurately the motion of waves. We study the two-dimensional nonlinear shallow water equations in the axisymmetric configuration in the presence of a floating object with vertical side-walls moving only vertically. The assumptions on the solid permit to avoid the free boundary problem associated with the moving contact line between the air, the water and the solid. Hence, in the domain exterior to the solid the fluid equations can be written as an hyperbolic quasilinear initial boundary value problem. This couples with a nonlinear second order ODE derived from Newton's law for the free solid motion. Local in time well-posedness of the coupled system is shown provided some compatibility conditions are satisfied by the initial data in order to generate smooth solutions.Afterwards, we address a particular configuration of this fluid-structure interaction: the return to equilibrium. It consists in releasing a partially immersed solid body into a fluid initially at rest and letting it evolve towards its equilibrium position. A different hydrodynamical model is used. In the exterior domain the equations are linearized but the nonlinear effects are taken into account under the solid. The equation for the solid motion becomes a nonlinear second order integro-differential equation which rigorously justifies the Cummins equation, assumed by engineers to govern the motion of floating objects. Moreover, the equation derived improves the linear approach of Cummins by taking into account the nonlinear effects. The global existence and uniqueness of the solution is shown for small data using the conservation of the energy of the fluid-structure system.In the second part of the manuscript, highly rotating fluids are studied. This mathematical problem models the motion of geophysical flows at large scales affected by the Earth's rotation, such as massive oceanic and atmospheric currents. The motion is also influenced by the gravity, which causes a stratification of the density in compressible fluids. The rotation generates anisotropy in viscous flows and the vertical turbulent viscosity tends to zero in the high rotation limit. Our interest lies in this singular limit problem taking into account gravitational and compressible effects. We study the compressible anisotropic Navier-Stokes-Coriolis equations with gravitational force in the horizontal infinite slab with no-slip boundary condition. Both this condition and the Coriolis force cause the apparition of Ekman layers near the boundary. They are taken into account in the analysis by adding corrector terms which decay in the interior of the domain. In this work well-prepared initial data are considered. A stability result of global weak solutions is shown for power-type pressure laws. The limit dynamics is described by a two-dimensional viscous quasi-geostrophic equation with a damping term that accounts for the boundary layers.

Nous développons une méthode pour mesurer la viscosité apparente dans les fluides en rotation rapide. Celle-ci consiste à mesurer la vitesse azimutale du fluide pendant le régime transitoire de synchronisation qui apparaît lors des expériences de spin-up/spin-down (augmentation ou diminution de la vitesse de rotation du récipient). Les différences observées entre les régimes laminaires et les régimes turbulents donnent une information sur la contribution de la turbulence dans le transport de quantité de mouvement entre le fluide et la paroi.<br />Quatre dispositifs expérimentaux ont été utilisés afin d'évaluer l'impact de la géométrie du récipient et des mécanismes de forçage de la turbulence sur ces mesures de viscosité apparente. L'étude montre que tous deux contribuent fortement à la modification de viscosité apparente observée. Dans le cas d'expériences de convection thermique en géométrie sphérique, <br />afin d'expliquer l'augmentation uniforme de la viscosité apparente, une loi d'échelle faisant intervenir l'écart au seuil et le nombre d'Ekman est proposée. En ce qui concerne les autres expériences ( Convection thermique sphérique en gallium, couette spherique, convection thermique en géométrie cylindrique), la modification de viscosité n'est pas uniforme dans le volume et ne peut être reliée à des grandeurs globales. Dans ce deuxième cas, l'origine de la modification vient du mécanisme de forçage ou du développement d'instabilités associées au mouvement de spin-up en régime turbulent.<br /><br />Au dela de cette etude experimentale, nous avons calculé le couplage visco-magnétique à l'interface noyau liquide - manteau solide d'une Terre en nutation. Nous avons fait varier dans ce calcul la viscosité apparente du fluide et la conductivité électrique du manteau afin d'analyser les contributions des couples magnétiques et visqueux au couplage de l'interface. Différentes modélisations du champ magnétique terrestre sont envisagées afin d'estimer la contribution des petites échelles du champ à ces couplages.<br />La confrontation de ce calcul aux valeurs des constantes de couplage des modèles de nutations permet d'obtenir une estimation de la viscosité efficace nécessaire dans le noyau. Une viscosité efficace de $10^{-2}$ $m^{2}.s^{-1}$ dans le noyau terrestre est nécessaire pour expliquer les données de nutations.

Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l'équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c'est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d'ordre ε et des bases d'ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l'équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d'existence, d'unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l'ordre des étapes de résolution de l'algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l'obtention d'une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiques

La surface enneigée du continent Antarctique, sauf pour quelques heures les après-midi d'été, se refroidit constamment radiativement. Il en résulte une stratification stable persistante de la couche limite atmosphérique qui alimente un écoulement catabatique le long des pentes qui descendent du plateau vers l'océan. Les inversions de températures et les vitesses de vents associées sont extrêmes l'hiver où une inversion moyenne de 25°C sur le plateau et des vitesses dépassant les 200 km/h sur la côte sont régulièrement observées. L'été, les inversions restent très marquées la nuit, mais le réchauffement de la surface par le soleil conduit au développement de couches convectives l'après midi. Des replats et des pentes immenses et vides, inlassablement recouverts de neige : l'Antarctique est un laboratoire unique pour étudier les transitions entre les régimes turbulents, et surtout la turbulence dans les couches limites stables et catabatiques. Des processus délicats à étudier, puisque très sensibles aux hétérogénéités de la surface. Ce travail de thèse documente trois cas d'école estivaux typiques : le cycle diurne sur le plateau Antarctique, la génération d'un écoulement catabatique local, et la couche limite soumise à un forçage catabatique. Ces trois situations ont été explorées avec des observations in-situ. Pour deux d'entre elles, les observations ont nourri et ont été complétées par des simulations avec le modèle atmosphérique Méso-NH. Le premier cas s'intéresse au cycle diurne au Dôme~C. Le Dôme~C, sur le plateau Antarctique est une zone plate et homogène éloignée des perturbations océaniques. Depuis quelques années, une tour de 45 m échantillonne la couche limite. L'été, un cycle diurne marqué est observé en température et en vent avec un jet de basse couche surgéostrophique la nuit. Une période de deux jours, représentative du reste de l'été, a été sélectionnée, pour la construction du cas d'intercomparaison GABLS4, préparé en collaboration avec Météo-France. Les simulations uni-colonnes menées avec le modèle Méso-NH ont montré la nécessité d'adapter le schéma de turbulence afin qu'il puisse reproduire à la fois les inversions de température et l'intensité de la turbulence mesurées. Le deuxième cas d'école examine un écoulement catabatique généré localement, au coucher du soleil, observé sur une pente de 600 par 300 m en Terre Adélie. Certaines caractéristiques de la turbulence, en particulier l'anisotropie, ont été explorées à l'aide de simulations à fine échelle (LES). Le troisième cas s'intéresse à la couche limite mélangée typique des zones côtières soumises à un vent intense. Ce vent d'origine catabatique, a dévalé les 1000 km de pente en amont. En remobilisant la neige, il interagit avec le mélange turbulent. Le travail s'est intéressé dans ce troisième cas à l'impact du transport de neige sur l'humidité de l'air et au calcul des flux turbulents à partir des profils de température, vent et humidité. / Except during a few summer afternoon hours, the snow-covered surface of Antarctica is constantly cooling because of radiative processes. This results in a stable, persisting stratification of the atmospheric boundary layer that feeds katabatic winds along the slopes descending from the Plateau to the Ocean. Temperature inversions and wind speeds both peak during the winter, with inversions regularly reaching 25 degrees (C) over the Plateau and winds exceeding 200,km/h along the coast. In the summer, significant inversions remain at night but solar heating leads to the formation of convective layers near the surface in the afternoon. With berms and large, empty slopes constantly covered with snow, Antarctica is a unique and perfect laboratory for the study of transitions between turbulent regimes and of the turbulence within stable and katabatic boundary layers. The investigation of these processes is usually made difficult by their sensitivity to heterogeneities at the surface. This thesis work documents three typical "text-book" summer cases: the diurnal cycle on the Antarctic Plateau, the generation of a local katabatic wind and the katabatic forcing of the boundary layer. The investigation of these three cases uses in-situ data. For two of these cases, the observational data has fed and been completed with some Meso-NH model simulation outputs. The first case focusses on the diurnal cycle at Dome C. On the Antarctic Plateau, Dome C is a flat, homogeneous area far from oceanic perturbations. Since a few years, a 45 meters tower samples the boundary layer there. In the summer, the diurnal cycle there is characterized by clean signals in both temperature and winds, with a nocturnal low-level jet within the boundary layer. A two-days data set representative of the rest of the summer has been selected for analysis and is used in the GABLS4 comparison study prepared in collaboration with Meteo France. Single-column simulations have been run for this comparison work launched in June. The second case examines a local katabatic flow generated at sunset over a 600 by 300 meters slope in Terre Adelie. Characteristics of the turbulence of this flow, in particular, its anisotropy, are investigated using small-scale model simulations. A measuring station has been deployed in order to prepare and evaluate these simulations. The third case is concerned with boundary layers typical of coastal areas with strong winds of katabatic origins, which have flown over 1000 km-long slopes towards the sea. By moving around the snow at the surface, these winds interact with turbulent mixing processes. For this final case, the work is interested in the impact of blowing snow on atmospheric moisture and with the calculation of turbulent fluxes based on temperature, wind and humidity profiles.

La présente thèse traite de deux questions de stabilité en mécanique des fluides. Les deux premiers résultats de la thèse sont consacrés au problème de la limite non-visqueuse pour les équations de Navier-Stokes. Il s'agit de déterminer si une famille de solutions de Navier-Stokes dans un demi-espace avec une condition de Navier au bord converge vers une solution du modèle non visqueux, l'équation d'Euler, lorsque les paramètres de viscosité tendent vers zéro. Dans un premier temps, on considère le modèle incompressible 2D. Nous obtenons la convergence dans L2 des solutions faibles de Navier-Stokes vers une solution forte d'Euler, et une instabilité dans L∞ en temps très court pour certaines données initiales qui sont des solutions stationnaires de l'équation d'Euler. Ces résultats ne sont pas contradictoires, et on construit un exemple de donnée initiale permettant de voir se réaliser les deux phénomènes simultanément dans le cadre périodique. Dans un second temps, on s'intéresse au modèle compressible isentropique (température constante) en 3D. On démontre l'existence de solutions dans des espaces de Sobolev conormaux sur un temps qui ne dépend pas de la viscosité lorsque celle-ci devient très petite, et on obtient la convergence forte de ces solutions vers une solution de l'équation d'Euler sur ce temps uniforme par des arguments de compacité. Le troisième résultat de cette thèse traite d'un problème de stabilité d'ondes solitaires. Précisément, on considère un fluide isentropique et non visqueux avec capillarité interne, régi par le modèle d'Euler-Korteweg, et on montre l'instabilité transverse non-linéaire de solitons, c'est-à-dire que des perturbations 2D initialement petites d'une solution sous forme d'onde progressive 1D peuvent s'éloigner de manière importante de celle-ci. / This thesis deals with a couple of stability problems in fluid mechanics. In the first two parts, we work on the inviscid limit problem for Navier-Stokes equations. We look to show whether or not a sequence of solutions to Navier-Stokes in a half-space with a Navier slip condition on the boundary converges towards a solution of the inviscid model, the Euler equation, when the viscosity parameters vanish. First, we consider the 2D incompressible model. We obtain convergence in L2 of weak solutions of Navier-Stokes towards a strong solution of Euler, as well as the instability in L∞ in a very short time of some initial data chosen as stationary solutions to the Euler equation. These results are not contradictory, and we construct initial data that allows both phenomena to occur simultaneously in the periodic setting. Second, we look at the 3D isentropic (constant temperature) compressible equations. We show that solutions exist in conormal Sobolev spaces for a time that does not depend on the viscosity when this is small, and we get strong convergence towards a solution of the Euler equation on this uniform time of existence by compactness arguments. In the third part of the thesis, we work on a solitary wave stability problem. To be precise, we consider an isentropic, compressible, inviscid fluid with internal capillarity, governed by the Euler-Korteweg equations, and we show the transverse nonlinear instability of solitons, that is that initially small 2D perturbations of a 1D travelling wave solution can end up far from it.

Cette thèse est consacrée à l'étude du contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires issues de la mécanique des fluides. On s'intéresse notamment à l'équation de Burgers et à l'équation de Navier-Stokes. L'objectif principal est de démontrer des résultats de contrôle globaux en temps petit y compris en présence de couches limites. On montre que cela est possible en introduisant une nouvelle méthode dite "de la dissipation bien préparée". Cette méthode consiste à procéder en deux phases : une phase très courte non visqueuse suivi d'une phase plus longue d'auto-dissipation de la couche limite. Aussi bien pour Burgers que pour Navier-Stokes avec des conditions au bord de glissement avec frottement, on démontre que cette dissipation est suffisante si elle a été bien préparée. De plus, on étudie une question de contrôlabilité locale pour l'équation de Burgers lorsqu'un seul contrôle scalaire est utilisé. On démontre en améliorant une technique de noyau quadratique que le système n'est pas localement contrôlable en temps petit. / This thesis is devoted to the study of the controllability of non linear partial differential equations in fluid mechanics. We are mostly interested in Burgers equation and Navier-Stokes equation. Our main goal is to prove small-time global results, even in the presence of boundary layers. We prove that it is possible to obtain such results by introducing a new method named: ``well prepared dissipation''. This method proceeds in two phases: first, a quick phase using the inviscid behavior of the system, then a longer phase during which the boundary layer dissipates all by itself. Both for Burgers and for Navier-Stokes with Navier slip-with-friction boundary conditions, we prove that this dissipation is sufficient if it has been well prepared. Moreover, we study a question of local null controllability for the Burgers equation with a single scalar control. We prove by enhancing a second order kernel approach that the system is not small time locally null controllable.

Dans cette thèse, nous présentons des résultats d’homogénéisation périodique d’un problème spectral et de l’équation d’ondes de Bloch. Il permet de modéliser les ondes à basse et haute fréquences. La partie modèle à basse fréquence est bien connu et n’est pas donc abordée dans ce travail. A contrario ; la partie à haute fréquence du modèle, qui représente des oscillations aux échelles microscopiques et macroscopiques, est un problème laissé ouvert. En particulier, les conditions aux limites de l’équation macroscopique à hautes fréquences établies dans [36] n’étaient pas connues avant le début de la thèse. Ce dernier travail apporte trois contributions principales. Les deux premières contributions, portent sur le comportement asymptotique du problème d’homogénéisation périodique du problème spectral et de l’équation des ondes en une dimension. La troisième contribution consiste en une extension du modèle du problème spectral posé dans une bande bi dimensionnelle et bornée. Le résultat d’homogénéisation comprend des effets de couche limite qui se produisent dans les conditions aux limites de l’équation macroscopique à haute fréquence. / In this dissertation, we present the periodic homogenization of a spectral problem and the waveequation with periodic rapidly varying coefficients in a bounded domain. The asymptotic behavioris addressed based on a method of Bloch wave homogenization. It allows modeling both the lowand high frequency waves. The low frequency part is well-known and it is not a new point here.In the opposite, the high frequency part of the model, which represents oscillations occurringat the microscopic and macroscopic scales, was not well understood. Especially, the boundaryconditions of the high-frequency macroscopic equation established in [36] were not known prior to thecommencement of thesis. The latter brings three main contributions. The first two contributions, areabout the asymptotic behavior of the periodic homogenization of the spectral problem and waveequation in one-dimension. The third contribution consists in an extension of the model for thespectral problem to a thin two-dimensional bounded strip Ω = (0; _) _ (0; ") _ R2. The homogenizationresult includes boundary layer effects occurring in the boundary conditions of the high-frequencymacroscopic equation.