Les cancers du foie sont la seconde cause de mort par cancer avec plus de 745,000 morts en 2012. Si l'on inclut les cas de cirrhose du foie, le nombre total de morts par an dans le monde atteint presque 2 million. Le meilleur traitement actuel pour ces patients est l'ablation chirurgicale de ces tumeurs. Pour les localiser et planifier l'opération, les chirurgiens se basent sur des images médicales pré-opératoires (obtenues par tomodensitométrie ou imagerie à résonance magnétique). Cependant, durant l'intervention, ces tumeurs, ainsi que le réseau vasculaire du foie, sont difficiles à localiser pour le chirurgien. Cela peut conduire à une résection incomplète des tumeurs où à la lésion accidentelle de vaisseaux sanguins. Le but de ce travail de thèse est de proposer aux chirurgiens une vue du foie et de ses structures interne en réalité augmentée durant l'opération pour les aider à réséquer les tumeurs de manière optimale en limitant les risques pour le patient. Pour cela, une méthode de recalage élastique des données pré-opératoires sur la vue intra-opératoire a été développée. Cette méthode, qui utilise un modèle biomécanique et certains repères anatomiques présents sur le foie, a été conçue pour limiter son impact sur la routine clinique et permet d'atteindre une erreur de recalage inférieure aux marges chirurgicales même en cas de déformation importante du foie entre son état pré-opératoire et intra-opératoire. Cet algorithme de recalage a été intégré à un logiciel, sofaOR, pour permettre les premiers essais cliniques. / Liver cancer is the 2nd most common cause of cancer death worldwide, with more than 745,000 deaths from liver cancer in 2012. When including deaths from liver cirrhosis, the toll reaches nearly 2 million people worldwide. Today, surgical tumors ablation remains the best treatment for liver cancer. To localize the hepatic tumors and to define the resection planes, clinicians rely on pre-operative medical images (obtained with computed tomography scanner or magnetic resonance imaging). However, the liver lesions and vascular system are difficult to localize during surgery. This may lead to incomplete tumor resection or haemorrhage. The purpose of this thesis work is to provide surgeons with an augmented view of the liver and its internal structures during surgery to help them to optimally resect the tumors while limiting the risk of vascular lesion. Therefore, an elastic registration method to align the pre-operative and intra-operative data has been developed. This method, which uses a biomechanical model and anatomical landmarks, was designed to limit its impact on the clinical workflow and reaches a registration accuracy below the resection margin even when the liver is strongly deformed between its pre-operative and intra-operative state. This registration algorithm has been integrated into a software, sofaOR, to conduct the first clinical tests.

Cette thèse regroupe un ensemble d'analysesmathématiques et de simulations numériques relatives aux équations primitives de l'océan (EP) sans viscosité, en domaine borné. Les EP sont des équations bien connues de la mécanique des fluides, qui s'appuient sur les approximations hydrostatique et de Boussinesq. On rappelle en introduction pourquoi ces équations, considérées avec des conditions aux limites de type local, sont mal posées. Dans une première partie (chapitres 1 à 4), on s'intéresse à une modification de l'équation hydrostatique au moyen d'un terme de friction proportionnel à un petit paramètre delta. On démontre des résultats d'existence, d'unicité et de régularité des solutions avant d'étudier le comportement de ces solutions lorsque delta tend vers $0$. Des résultats numériques montrent que des couches limites et des réflexions se produisent aux frontières du domaine. Les phénomènes observés numériquement sont alors confirmés par une preuve rigoureuse effectuée grâce à la théorie des correcteurs. Dans une seconde partie (chapitres 5 et 6), on revient à la formulation hydrostatique d'origine des EP, et l'on propose un jeu de conditions aux limites transparentes pour le système linéarisé. Une preuve du caractère bien posé du problème aux limites ainsi obtenu justifie l'introduction de telles conditions aux limites, qui sont ensuite implémentées dans une simulation numérique confirmant que les phénomènes de couches limites et de réflexions aux frontières sont ainsi évités, aussi bien sur les équations non linéaires que sur le linéarisé.

La propagation des vagues est un phénomène complexe. La simulation directe de ce phénomène à l'aide des équations d'Euler ou de Navier Stokes à surface libre sont complexes et très coûteuses numériquement. Si certains phénomènes aux grandes échelles sont bien décrits par des modèles réduits plus simples à simuler numériquement, des modèles plus avancés sont nécessaires pour décrire des échelles plus fines. La première partie de cette thèse est consacrée aux modèles prenant en compte les effets de vorticité. Deux modèles moyennés sur la profondeur sont dérivés sous l'hypothèse d'eau peu profonde. Le premier concerne la propagation des ondes de surface et des ondes internes dans le cadre d'un système de deux fluides non miscibles. Le deuxième est un modèle de propagation des ondes côtières. Les effets turbulents sont pris en compte à travers l'équation de vorticité. Un algorithme numérique est construit pour la validation du second modèle et des comparaisons avec des résultats expérimentaux sont proposées. Dans la deuxième partie on s'intéresse à l'étude des conditions aux limites. Les problèmes initialement posés dans l'espace infini demandent des conditions aux limites spéciales pour le traitement numérique. On s'intéresse ici au cas des équations de Green-Naghdi. Dans un premier temps, des conditions aux limites transparentes sont dérivées, et des validations numériques sont proposées. Les tests montrent que des conditions aux limites similaires peuvent s'appliquer pour des ondes rentrantes. Dans un deuxième temps, on considère une technique de relaxation pour un système Green-Naghdi mis sous forme d'un système hyperbolique. En particulier, ce formalisme nous permet d'appliquer la technique de Perfect Mached Layers (PML) pour traiter les ondes sortantes et rentrantes. / Water waves propagation is a complex physical process. The direct numerical simulation using Navier-Stokes/Euler equations is a time-consuming and mathematically complicated solution. A good description of large-scale phenomena can be obtained by using relatively simple approximate models. However, if we are interested in a precise description of wave profiles, advanced modelling approaches are required. Once the model is derived, it needs to be solved numerically, and one faces another kind of challenges related to numerical simulations. The first part of the present thesis is devoted to the modelling of surface and internal ocean waves propagation, including dispersive effect and dynamics of the vorticity. In the framework of shallow water hypothesis, two models are derived. Both models involve additional equations for the vorticity evolution. To include the internal waves propagation, first, we consider a system of two immiscible fluids with constant densities. It represents a simple model of the ocean where the upper layer corresponds to the (thin) layer of fluid above the thermocline whereas the lower layer is under the thermocline. The second model includes a surf zone phenomenon. Shearing and turbulence effects in breaking waves are taken into account by a vorticity generation. Both models are governed by dispersive systems and reduce to a classical Green-Naghdi model in the case of vanishing vorticity. Additionally, an algorithm for the numerical resolution of the second model is proposed, and the validation by experimental results is performed. When dispersive/non-hydrostatic effects are taken into account, this usually leads to more accurate models of wave propagation like Green-Naghdi equations, or the two models derived in the first part, for example. The counterpart is that such a type of models requires advanced numerical techniques. In particular, one of the main issues is to define boundary conditions allowing the simulation of wave propagation in infinite physical space but on bounded numerical domains. In the second part of the present research, we focus on a definition of such boundary conditions for the Green-Naghdi equations. Artificial boundary conditions are first proposed for the linearised system. Then we address a hyperbolic system recently proposed to approximate the Green-Naghdi equations. A relatively simple structure of this new hyperbolic system allows for successful applications of Perfect Matched Layer (PML) techniques in order to deal with artificial numerical boundaries. Numerical tests are performed to validate the proposed approaches. In result, we have a correct description of numerical boundaries for non-linear cases. We have shown that the PML equations can be applied to the nonlinear system. Both approaches are then reformulated to solve the problem of injecting propagating waves in a computational domain.

Les travaux de recherches présentés dans ce document sont axés autour de deux thèmes. La première thématique concerne l'élaboration de méthodes numériques pour la simulation des solutions d'équations de type Schrödinger linéaire et non linéaire intervenant en mécanique des fluides et en optique non linéaire, en couplant l'analyse de schémas numériques et la construction de conditions aux limites artificielles. Le deuxième thème aborde la modélisation de phénomènes d'instabilité dans le plasma ionosphérique terrestre.

En vue de simuler une expérience de contrôle non destructif par ondes ultrasonores guidées, on considère un guide élastique 2D (une plaque) ou 3D (une barre) qui comporte un défaut (fissure, hétérogénéité locale due à une soudure etc...). L'objectif est de résoudre numériquement le problème de la diffraction d'un mode du guide par le défaut. Nous nous sommes attachés à mettre au point une méthode couplant des éléments finis dans une portion (aussi petite que possible) du guide, contenant le défaut, avec des décompositions modales de part et d'autre du défaut. La difficulté consiste à écrire la bonne condition de raccord entre ces deux représentations. Le point important est d'avoir à sa disposition une relation d'orthogonalité permettant de projeter la solution éléments finis sur les modes. Ceci conduit à formuler le problème à l'aide de vecteurs hybrides déplacement/contrainte pour lesquels il existe une relation de bi-orthogonalité : la relation dite de Fraser. On peut alors écrire une condition exacte (ou transparente) à la troncature modale près, sur les frontières artificielles du domaine de calcul. Il faut enfin intégrer cette condition aux limites dans une approche variationnelle (en déplacements) en vue de développer une méthode d'éléments finis. Du fait du caractère hybride de la condition, on doit pour cela introduire comme inconnue supplémentaire la composante normale de la contrainte normale définie sur la frontière artificielle et écrire une formulation mixte. Nous avons traité numériquement les cas bidimensionnel et tridimensionnel d'un guide isotrope à bords libres. Les modes du guide sont calculés numériquement par une approche originale utilisant à nouveau les vecteurs hybrides déplacement/contrainte, qui permet de conserver au niveau discret la relation de biorthogonalité. Le code développé permet de calculer très rapidement la "matrice de scattering

Les milieux périodiques présentent des propriétés intéressantes dans un grand nombre d'applications (les cristaux photoniques en optique, les matériaux composites en mécanique,...). Dans ces applications, on rencontre souvent ces milieux présentant des défauts localisés, c'est-à-dire des milieux qui diffèrent de milieux périodiques dans des régions bornées. Il nous semble intéressant de proposer des méthodes mathématiques et numériques nouvelles spécifiques au traitement des structures périodiques de grande taille, pouvant présenter des défauts localisés. Les caractéristiques du problème rendant très souvent les méthodes d'homogénéisation inapplicables, l'idée est d'exploiter la structure particulière des milieux périodiques pour restreindre les calculs au voisinage du défaut. Nous avons donc approfondi la question de trouver des conditions aux bords parfaitement transparentes. C'est pourquoi nous avons cherché à généraliser les techniques de conditions transparentes non locales, de type Neumann-to-Dirichlet, bien établies pour les milieux homogènes à l'extérieur de la perturbation. La difficulté est que lorsque le milieu extérieur est homogène, on ne dispose plus d'une représentation explicite de la solution. Nous traitons successivement trois situations de difficulté croissante : le cas mono-dimensionnel qui est un cas classique mais dont l'étude a des vertus pédagogiques, le problème du guide périodique localement perturbé et le problème plus complexe du milieu périodique dans les deux dimensions. Pour chaque situation, la démarche est la même : elle consiste tout d'abord à résoudre le problème pour un milieu absorbant puis pour un milieu non absorbant par absorption limite. Nous pouvons alors montrer que les opérateurs DtN peuvent être caractérisés en utilisant la solution de problèmes de cellule locaux, l'utilisation d'outils mathématiques tels que la Transformée de Floquet-Bloch et la solution d'équations quadratiques et linéaires à valeurs et inconnus opérateurs.

Cette thèse concerne l'étude des graphes quantiques, c'est à dire, des systèmes quantiques dans lesquels une particule non relativiste est confinée sur un graphe. Nous proposons une nouvelle voie pour représenter des conditions aux limites, et à l'aide de ce résultat nous résolvons le problème, resté longtemps ouvert, d'approximation par des graphes réguliers de tous les couplages singuliers aux sommets dans un graphe quantique. Nous présentons une construction dans laquelle les arêtes sont disjointes et les paires d'extrémités ainsi obtenues sont raccordés par des arêtes additionnelles de longueur 2d. Chacune de ces arêtes porte un potentiel delta et un potentiel vectoriel . Nous montrons que lorsque d tend vers zéro et les potentiels dépendent convenablement de d, la limite peut produire tout couplage singulier de sommets requis. Ce type de conditions aux limites est utilisé pour examiner les propriétés de diffusion par des sommets singuliers de degré 3. Nous montrons que les couplages entre chaque paire de lignes issues du sommet sont réglables individuellement ce qui pourrait permettre la conception de filtre quantique de type "aiguillage spectral". Nous étudions aussi les opérateurs de Schrödinger sur un graphe infini en forme de chaîne composée de cercles identiques couplés aux points de contact par les interactions. delta Si le graphe est périodique, l'hamiltonien a un spectre de bande. Nous considérons une déformation "courbée" de la chaîne qui consiste en un changement de la position du point de contact entre deux cercles. On montre que cette déformation a pour conséquence la naissance de valeurs propres et analyse leur dépendance par rapport à l"angle de courbature".

Nous proposons un modèle mathématique intégré du poumon dont l'approche globale repose sur une modélisation multibloc. En effet, on décompose en trois niveaux l'arbre bronchique qui s'étend sur vingt quatre générations de bronches allant de la trachée aux alvéoles. Au premier niveau (les six premières générations), a lieu un écoulement de Navier-Stokes, qui est simulé directement. Au deuxième niveau (de la génération sept à la génération dix sept), les flux à travers les bronches sont régis par la loi de Poiseuille. La linéarité de cette loi nous permet de condenser cette partie de l'arbre et de proposer des conditions aux bords dissipatives adaptées à la similation de la ventilation et permettant d'éviter le maillage de cette partie géométriquement complexe. Le dernier niveau du modèle, prend en compte la partie distale de l'arbre qui est la zone alvéolaire. Elle est composée des acini, qui agissent comme un ensemble de petites pompes et dont l'effet macroscopique est le moteur même de la respiration. A ce niveau, on propose les déplacements d'un piston comme modèle simplifié des mouvements du diaphragme pulmonaire. Dans un premier temps, on se place dans le cadre particulier des équations de Stokes et on s'intéresse au couplage des deux premiers compartiments, dont la validité est illustrée par des tests numériques. On explique également le calcul de la résistance globale équivalente qui intervient dans le calcul de la condition aux limites qui remplace la zone condensée. L'étude est ensuite généralisée au cas des équations de Navier-Stokes. La difficulté réside dans le contrôle du flux d'énergie cinétique, on introduit alors une classe de conditions aux limites, qu'on désigne par dissipatives essentielles, pour lesquelles la trace du champ de vitesse sur les sections d'entrée et de sorties vit dans un espace de dimension fini, et pour lesquelles on prouve des résultats d'existence de solutions faibles locales en temps pour données quelconques et globales en temps pour données petites. Pour le cas de conditions dites dissipatives naturelles, c'est à dire sans contrainte sur la trace du champ de vitesse, on a existence de solutions faibles locales en temps pour données petites et globales en temps pour données plus petites, mais seulement en dimension deux. Cependant, on prouve pour ces conditions aux limites, que pour une classe de solutions plus régulières on a l'existence d'une unique solution locale en temps ainsi que l'existence d'une solution globale en temps pour données petites. Pour le couplage global, incluant le piston, on prouve l'existence de solutions faibles locales en temps pour des données quelconques en ce qui concerne les conditions aux limites dissipatives essentielles, tandis que pour les conditions dissipatives naturelles, on obtient l'existence de solutions locales en temps pour données petites et toujours seulement en dimension deux. Finalement, on propose une discrétisation en temps du problème global et on établit un bilan énergétique à l'ordre 1 pour le problème régulier en espace et discrétisé en temps. Nous présentons ainsi plusieurs simulations numériques bi-dimensionnelles correspondants aussi bien à un poumon sain que pathologique et notamment asthmatique.

Ce travail de thèse concerne les méthodes numériques à base d'ondelettes pour la simulation de la turbulence incompressible. L'objectif principal est la prise en compte de conditions aux limites physiques dans la résolution des équations de Navier-Stokes. Contrairement aux travaux précédents où la <i>vorticité</i> était décomposée sur base d'ondelettes <i>classiques</i>, le point de vue qui est adopté ici vise à calculer le champ de <i>vitesse</i> de l'écoulement sous la forme d'une série d'ondelettes à divergence nulle. On est alors dans le cadre des équations de Navier-Stokes incompressibles en formulation <i>vitesse-pression</i>, pour lesquelles les conditions aux limites sur la <i>vitesse</i> s'écrivent explicitement, ce qui diffère de la formulation <i>vitesse-tourbillon</i>. Le principe de la méthode développée dans cette thèse consiste à injecter directement les conditions aux limites sur la base d'ondelettes. Ce travail prolonge la thèse de E. Deriaz réalisée dans le cas périodique. La première partie de ce travail a donc été la définition et la mise en œuvre de nouvelles bases d'ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul sur $[0,1]^n$, permettant la prise en compte de conditions aux limites, à partir des travaux originaux de P. G. Lemarié-Rieusset, K. Urban, E. Deriaz et V. Perrier. Dans une deuxième partie, des méthodes numériques efficaces utilisant ces nouvelles ondelettes sont proposées pour résoudre différents problèmes classiques : équation de la chaleur, problème de Stokes et calcul de la décomposition de Helmholtz-Hodge en non périodique. L'existence d'algorithmes rapides associés rend les méthodes compétitives. La dernière partie est consacrée à la définition de deux nouveaux schémas de résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles par ondelettes, qui utilisent les ingrédients précédents. Des expériences numériques menées pour la simulation d'écoulement en cavité entraînée en dimension deux ou le problème de la reconnection de tubes de vortex en dimension trois montrent le fort potentiel des algorithmes développés.

La mise en œuvre de méthodes d'assimilation d'ensemble est une technique assez récente visant à simuler les erreurs d'analyse et de prévision d'un système d'assimilation de données. Cela permet d'une part d'estimer des covariances spatiales des erreurs de prévision, qui sont un ingrédient essentiel des systèmes d'assimilation de données, dans la mesure où elles permettent de filtrer et de propager spatialement l'information observée. La dépendance de ces covariances d'erreur à la situation météorologique devient ainsi accessible avec ces techniques d'ensemble. D'autre part, l'assimilation d'ensemble est également une méthode de plus en plus utilisée pour fournir des perturbations initiales aux systèmes de prévision d'ensemble. Une telle approche peut être mise en place non seulement dans un système modélisant l'atmosphère sur l'ensemble du globe, mais aussi dans un système régional à aire limitée, en utilisant dans ce cas des conditions limites latérales appropriées. Le sujet de thèse proposé consiste à examiner certaines propriétés de sensibilité de ces techniques d'assimilation d'ensemble dans ces deux types de contextes (à savoir global et régional, respectivement). Il s'agit premièrement d'étudier la sensibilité d'un système global d'assimilation d'ensemble à son initialisation. Cela sera mené en comparant une technique d'initialisation "à froid" (basée sur des perturbations initiales nulles) avec une méthode basée sur des perturbations initiales tirées d'un modèle de covariance. Dans une deuxième partie, la sensibilité d'une assimilation d'ensemble régionale aux conditions limites latérales sera examinée. Dans cette perspective, une comparaison entre différentes techniques de production des perturbations latérales sera réalisée. Il s'agit notamment de comparer les approches basées sur des perturbations latérales qui sont soit nulles, soit tirées d'un ensemble global, ou encore produites à l'aide d'un modèle de covariance. Ces études de sensibilité seront menées d'une part en utilisant des expérimentations avec les systèmes global Arpege et régional Aladin. Ce travail s'appuiera d'autre part sur une formalisation des équations qui gouvernent l'évolution des perturbations au sein d'une assimilation d'ensemble. Ces études devraient permettre de documenter les propriétés de ces assimilations d'ensemble, et de définir des stratégies de mise en œuvre en grandeur réelle pour l'assimilation de données ainsi qu'éventuellement pour la prévision d'ensemble.