La mise en œuvre de méthodes d'assimilation d'ensemble est une technique assez récente visant à simuler les erreurs d'analyse et de prévision d'un système d'assimilation de données. Cela permet d'une part d'estimer des covariances spatiales des erreurs de prévision, qui sont un ingrédient essentiel des systèmes d'assimilation de données, dans la mesure où elles permettent de filtrer et de propager spatialement l'information observée. La dépendance de ces covariances d'erreur à la situation météorologique devient ainsi accessible avec ces techniques d'ensemble. D'autre part, l'assimilation d'ensemble est également une méthode de plus en plus utilisée pour fournir des perturbations initiales aux systèmes de prévision d'ensemble. Une telle approche peut être mise en place non seulement dans un système modélisant l'atmosphère sur l'ensemble du globe, mais aussi dans un système régional à aire limitée, en utilisant dans ce cas des conditions limites latérales appropriées. Le sujet de thèse proposé consiste à examiner certaines propriétés de sensibilité de ces techniques d'assimilation d'ensemble dans ces deux types de contextes (à savoir global et régional, respectivement). Il s'agit premièrement d'étudier la sensibilité d'un système global d'assimilation d'ensemble à son initialisation. Cela sera mené en comparant une technique d'initialisation "à froid" (basée sur des perturbations initiales nulles) avec une méthode basée sur des perturbations initiales tirées d'un modèle de covariance. Dans une deuxième partie, la sensibilité d'une assimilation d'ensemble régionale aux conditions limites latérales sera examinée. Dans cette perspective, une comparaison entre différentes techniques de production des perturbations latérales sera réalisée. Il s'agit notamment de comparer les approches basées sur des perturbations latérales qui sont soit nulles, soit tirées d'un ensemble global, ou encore produites à l'aide d'un modèle de covariance. Ces études de sensibilité seront menées d'une part en utilisant des expérimentations avec les systèmes global Arpege et régional Aladin. Ce travail s'appuiera d'autre part sur une formalisation des équations qui gouvernent l'évolution des perturbations au sein d'une assimilation d'ensemble. Ces études devraient permettre de documenter les propriétés de ces assimilations d'ensemble, et de définir des stratégies de mise en œuvre en grandeur réelle pour l'assimilation de données ainsi qu'éventuellement pour la prévision d'ensemble. / The implementation of ensemble assimilation methods is a fairly recent technique used to simulate the analysis and forecast errors within a data assimilation system. On the one hand, this allows to estimate the spatial covariances of forecast errors, which are an essential component in data assimilation systems, insofar as they are used to filter and disseminate spatially the observed information. The dependence of such error covariances to the weather situation becomes accessible with these ensemble techniques. On the other hand, the ensemble assimilation is a method increasingly used to provide initial perturbations to ensemble prediction systems. Such approach may be implemented not only in a system modeling the atmosphere throughout the globe, but also in a regional system with limited area using suitable lateral boundary conditions. The proposed thesis consists on examining some sensitivity properties of these ensemble assimilation techniques in both contexts (global and regional, respectively). In the first part, the sensitivity of a global ensemble assimilation system to its initialization will be examined. This will be conducted by comparing a "cold" initialization technique (initial perturbations equal to zero) with a method based on initial perturbations drawn from a covariance model. In the second part, the sensitivity of a regional ensemble assimilation to lateral boundary conditions will be considered. In this context, a comparison between different techniques producing lateral boundaries will be achieved. It involves comparing approaches using lateral boundaries which are equal to zero or drawn from a global ensemble, or generated using a covariance model. These sensitivity studies will be conducted using experiments using the global and regional modeling systems, Arpège and Aladin respectively. Furthermore, this work will be based on a formalization of the equations governing the evolution of perturbations in an ensemble assimilation. These studies should help to document the ensemble assimilation properties, and develop strategies for implementing in real scale for data assimilation and possibly for ensemble prediction system.

Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle classe de conditions aux limites absorbantes locales de type DtN (ou Robin généralisées) à utiliser pour des frontières artificielles de forme elliptique (2D) ou sphéroïdale prolate (3D), c'est-à-dire adaptées à des obstacles de forme allongée. Ces nouvelles conditions absorbantes sont construites de façon à être exactes pour les premiers modes. Elles peuvent être facilement incorporées dans un code d'éléments finis tout en préservant la structure locale du système algébrique. De plus, comme elles sont adaptées à des obstacles allongés, elles permettent de prendre en compte un domaine de calcul plus petit, ce qui contribue à limiter les coûts numériques. Nous montrons que la condition DtN d'ordre 2 construite est performante en régime basse fréquence pour les problèmes de scattering 2D et 3D, dans le cadre d'une formulation On-Surface Radiation Condition (OSRC). Cette condition conserve sa précision quel que soit l'allongement de la frontière artificielle elliptique (2D) ou ellipsoïdale (3D). Pour des régimes de fréquences plus élevées, on étudie la formulation en volume du problème. On observe qu'il n'est pas nécessaire de trop éloigner la frontière pour avoir un bon niveau de précision, et tout particulièrement lorsque l'on considère la condition DtN d'ordre 2. Afin de préciser cette observation, nous avons mené une analyse haute fréquence pour mesurer l'amplitude des réflexions parasites générées par la frontière artificielle. On montre que le coefficient de réflexion associé à une famille de modes propagatifs tend vers 0 comme une puissance inverse de λka où λ exprime la distance entre l'obstacle et la frontière artificielle et ka désigne la fréquence. De plus, en choisissant une sous-classe particulière de modes, on affine ce résultat et on obtient que si l'excentricité est supérieure à 0.5, le coefficient de réflexion tend vers 0 de façon exponentielle et ce résultat est valable pour toute la sous-classe de modes considérés, qu'ils soient propagatifs, rampants ou évanescents.

Ce travail est dédié à la mise en place de modèles d'écoulements de fluides complexes, à leur analyse théorique ainsi qu'au développement et à l'analyse de convergence de schémas numériques appropriés. <br /><br />Une première partie du travail concerne l'étude de modèles dits à interface diffuse pour les écoulements incompressibles multiphasiques. Après une étude assez précise du cadre diphasique, on propose la généralisation au cadre triphasique, ce qui nécessite d'introduire la notion importante de consistance des modèles. Des résultats numériques confirment la pertinence des modèles proposés. Ensuite, on s'intéresse au modèle plus classique de Navier-Stokes non-homogène incompressible pour lequel on établit le caractère bien posé du problème pour des conditions aux limites ouvertes non-linéaires en sortie d'un écoulement. Une brique essentielle de ce travail est l'étude détaillée du problème de traces pour l'équation de transport associée à un champ de vitesse peu régulier. Ce travail, dont l'intérêt dépasse le cadre applicatif décrit ci-dessus, fait l'objet d'un chapitre à part entière.<br /><br />Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'approximation numérique par des méthodes de volumes finis des solutions de problèmes elliptiques non-linéaires monotones (du type p-laplacien). Un premier chapitre décrit un certain nombre de résultats obtenus dans le contexte de maillages cartésiens. Un second chapitre est consacré à l'étude d'un cadre géométrique plus général par le biais de méthodes dites en dualité discrète. Une attention particulière est portée au cas où les coefficients du problème présentent des discontinuités spatiales, ce qui mène à des problèmes de transmission non-linéaire entre deux milieux.<br /><br />Le mémoire s'achève par la description de quelques travaux connexes, d'une part sur une classe de schémas VF pour les équations elliptiques linéaires adaptés à des maillages non orthogonaux, et d'autre sur l'étude numérique de problèmes elliptiques couplés 2D/1D issus de la description asymptotique d'écoulements dans des milieux poreux fracturés.

Dans le premier chapitre de cette thèse, on rappelle les principes de base de la mécanique des milieux continus à partir desquels on déduit les équations modélisant l'écoulement non isotherme d'un fluide newtonien incompressible. Au deuxième chapitre, on considère le cas stationnaire dans un domaine mince et on rajoute les conditions aux limites dont une est de type Tresca sur une partie du bord du domaine. On déduit le problème variationnel correspondant qui est fortement couplé, composé d'une inéquation et une équation variationnelles, dont les inconnues sont le champ de vitesse du fluide, sa pression et sa température. La difficulté principale est la présence dans l'équation variationnelle d'un terme comportant le carré du tenseur des taux de déformation, qui ne permet pas de donner un sens au problème variationnel, si on cherche la vitesse dans un convexe de $H^1$. Pour lever cette difficulté, on cherche la régularité $H^2$ de la vitesse, qui nécessite la régularité $\mathcal(C)^(0,1)$ de la température, qui est dans les coefficients de l'inéquation variationnelle. En utilisant le théorème du point fixe de Banach, on montre l'existence, l'unicité et la régularité de la solution faible. Le troisième chapitre est consacré à l'analyse asymptotique de ce problème variationnel couplé dans $\Om^\eps$. On établit des estimations indépendantes de $\eps$ en norme $H^1$ pour les dérivées partielles de la vitesse et de la température, et en norme $L^2$ pour les dérivées partielles de la pression. Ce qui nous permet d'obtenir des limites fortes. On obtient alors le problème limite, l'équation de Reynolds généralisée et on montre l'unicité des solutions de ce problème limite. Au quatrième chapitre, on présente une approximation du problème limite par une méthode d'éléments finis, on étudie la convergence des solutions approchées et on donne les estimations d'erreur d'approximation. Au dernier chapitre, on remplace la condition aux limites de Tresca par celle de Coulomb dans l'étude précédent et on obtient des résultats similaires.

Le bruit de roulement est la principale source de bruit des transports ferroviaires, pour un large intervalle de vitesses. Pour prédire le bruit de roulement, la SNCF utilise un outil de simulation, basé une approche fréquentielle. Bien que très efficace dans les cas de voies ballastées standard, en ligne droite et à vitesse constante, cette approche est limitée aux roues et aux rails sans défaut important. Une approche temporelle a donc été envisagée pour étendre la modélisation du bruit de roulement à celle du bruit d'impact dû aux irrégularités discrètes sur l'une et/ou l'autre des deux structures, telles que des joints sur le rail ou des méplats sur la roue. L'objectif principal de la thèse est donc de construire un outil de simulation, dans le domaine temporel, de l'interaction verticale entre la roue et le rail, pour la prédiction du bruit de roulement. Les données d'entrée du modèle d'interaction, le modèle de contact roue/rail et le modèle vibratoire de la roue ont d'abord été formulés. Les données d'entrée du modèle consistent à définir un déplacement vertical relatif entre la roue et le rail, appelé rugosité relative, à partir de données spatiales de rugosité. Le modèle de contact, non linéaire et autorisant des pertes de contact, est basé sur la théorie de Hertz. Un modèle masse-ressort-amortisseur est suffisant pour représenter le déplacement vertical de la roue, dans le contexte de la simulation des vibrations engendrées dans le rail dans la même direction. La seconde étape de l'outil de simulation est d'élaborer un modèle de voie ferrée, permettant de simuler une structure infinie à partir d'une représentation numérique finie, indispensable pour l'approche temporelle. Le rail est modélisé par une poutre de longueur finie, supportée périodiquement par des systèmes masse-ressort-amortisseur (décrivant le système des supports semelle-traverseballast). Les conditions aux limites de la poutre permettent d'absorber les réflexions des ondes aux bords de celle-ci. Des conditions aux limites absorbantes numériques ont donc été formulées. Le second objectif de cette thèse est de caractériser expérimentalement le bruit de roulement et le bruit d'impact, dans les cas de défauts importants sur la roue et/ou le rail. Un essai en situation réelle a donc été réalisé. Deux sites de mesures ont été installés ; le premier sur une zone équipée de Longs Rails Soudés (LRS) et le second sur une zone avec un joint de rail (JR). De plus, certains essieux du train d'essai ont été spécialement sélectionnés pour les défauts de surface sur les roues. Des mesures de caractérisation telles que la rugosité de surface des roues et du rail mais aussi les accélérances de la voie ont été réalisées. Les niveaux vibratoires du rail et des traverses ainsi que le bruit au passage du train d'essai ont été mesurés. L'utilité de ces mesures est double. D'une part, elles permettent de réaliser une caractérisation expérimentale du comportement acoustique et vibratoire du système roue/rail, dans différentes situations. Ces conclusions aboutissent à un cahier des charges pour l'élaboration d'un outil expérimental de détection de défauts de roue, à partir de mesures acoustique et vibratoire en bord de voie. La seconde utilité de ces mesures est de pouvoir à la fois alimenter le modèle temporel d'interaction roue/rail, développé pendant la thèse, et de quantifier ses performances. Le problème d'interaction roue / rail complet est résolu par la méthode des différences finies. L'évaluation des performances de ce modèle a été menée grâce à différentes comparaisons. L'efficacité des conditions aux limites absorbantes a d'abord été estimée. Une comparaison entre les résultats de simulation et ceux des mesures a ensuite été effectuée. Dans un premier temps, la capacité du modèle temporel à reproduire les caractéristiques dynamiques de la voie a été évaluée. Dans un second temps, la simulation des différentes situations mesurées pendant la campagne de mesure est réalisée. La comparaison entre les niveaux vibratoires simulés et mesurés au passage des roues avec différents états de surface est discutée.

De nombreux problèmes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles posées dans un domaine pour lesquels la géométrie ainsi que les coefficients sont décrits par des fonctions périodiques, hormis dans certaines régions de taille modeste par rapport à celle du domaine d'intérêt (on parle alors de perturbations pour ces régions). Les caractéristiques du problème sortant très souvent du cadre d'application des méthodes d'homogénéisation, nous avons développé des méthodes alternatives tirant parti de la periodicité afin de restreindre le domaine de calcul à des domaines bornés. Pour cela, nous avons généralisé les approches de type Lippmann-Schwinger, ce qui nous permet de traiter le cas de défauts bornés ou le cas de défauts non bornés structurés, la difficulté tenant au fait que l'on ne dispose pas dans le cas d'un milieu périodique quelconque d'une représentation analytique de la solution en l'absence de perturbation (i.e la fonction de Green est inconnue en général). Notre approche repose sur la connaissance des opérateurs de Dirichlet- to-Neumann (DtN) de bandes périodiques non bornés dans une seule direction. Nous traitons deux grandes familles de problèmes, les problèmes harmoniques, pour lesquels les opérateurs DtN dans les bandes sont connus, et les problèmes d'évolution, pour lesquels nous proposons une méthode de construction de ces opérateurs. Nous traitons dans ces deux situations le cas d'une perturbation bornée ou non, puis nous généralisons les techniques de scattering multiple du milieu homogène au cas périodique, afin de pouvoir traiter le cas de plusieurs perturbations.

Dans la première partie nous présentons deux méthodes numériques non conformes espace-temps pour la propagation d'ondes en interaction fluide-structure. Ces méthodes, robustes et précises, sont basées sur deux formulations mixtes dites duale-duale et primale-primale. Elles sont explicites, sauf à l'interface, et conservatives, ce qui en assure la stabilité. Nous les validons à l'aide de solutions analytiques calculées par la méthode de Cagniard-de Hoop (CdH). Dans la deuxième partie nous obtenons, via la méthode CdH, des estimations d'erreur pour l'utilisation de conditions aux limites absorbantes (CLA) ou couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) pour la résolution de l'équation des ondes dans le demi-espace. La troisième partie est consacrée aux PMLs pour l'acoustique en écoulement: analyse (par CdH) de l'instabilité des PMLs classiques et construction de PMLs stabilisées. La dernière partie consiste en une présentation mathématique détaillée de la méthode CdH.

La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant d'une modélisation multi-échelle de l'écoulement de l'air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l'écoulement de l'air dans les poumons : l'écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord. Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons deux inégalités de stabilité logarithmiques, l'une valable en dimension 2 et l'autre valable en toute dimension. Toutes deux sont basées sur des inégalités de Carleman, globale dans le premier cas et locales dans le second. Les inégalités de stabilité sont d'abord montrées sur le problème stationnaire puis la théorie des semi-groupes permet de passer au problème non stationnaire. De plus, sous l'hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux, nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème stationnaire. Nous concluons cette thèse en revenant au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l'identification de certains paramètres du modèle.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique.