La propagation des vagues est un phénomène complexe. La simulation directe de ce phénomène à l'aide des équations d'Euler ou de Navier Stokes à surface libre sont complexes et très coûteuses numériquement. Si certains phénomènes aux grandes échelles sont bien décrits par des modèles réduits plus simples à simuler numériquement, des modèles plus avancés sont nécessaires pour décrire des échelles plus fines. La première partie de cette thèse est consacrée aux modèles prenant en compte les effets de vorticité. Deux modèles moyennés sur la profondeur sont dérivés sous l'hypothèse d'eau peu profonde. Le premier concerne la propagation des ondes de surface et des ondes internes dans le cadre d'un système de deux fluides non miscibles. Le deuxième est un modèle de propagation des ondes côtières. Les effets turbulents sont pris en compte à travers l'équation de vorticité. Un algorithme numérique est construit pour la validation du second modèle et des comparaisons avec des résultats expérimentaux sont proposées. Dans la deuxième partie on s'intéresse à l'étude des conditions aux limites. Les problèmes initialement posés dans l'espace infini demandent des conditions aux limites spéciales pour le traitement numérique. On s'intéresse ici au cas des équations de Green-Naghdi. Dans un premier temps, des conditions aux limites transparentes sont dérivées, et des validations numériques sont proposées. Les tests montrent que des conditions aux limites similaires peuvent s'appliquer pour des ondes rentrantes. Dans un deuxième temps, on considère une technique de relaxation pour un système Green-Naghdi mis sous forme d'un système hyperbolique. En particulier, ce formalisme nous permet d'appliquer la technique de Perfect Mached Layers (PML) pour traiter les ondes sortantes et rentrantes. / Water waves propagation is a complex physical process. The direct numerical simulation using Navier-Stokes/Euler equations is a time-consuming and mathematically complicated solution. A good description of large-scale phenomena can be obtained by using relatively simple approximate models. However, if we are interested in a precise description of wave profiles, advanced modelling approaches are required. Once the model is derived, it needs to be solved numerically, and one faces another kind of challenges related to numerical simulations. The first part of the present thesis is devoted to the modelling of surface and internal ocean waves propagation, including dispersive effect and dynamics of the vorticity. In the framework of shallow water hypothesis, two models are derived. Both models involve additional equations for the vorticity evolution. To include the internal waves propagation, first, we consider a system of two immiscible fluids with constant densities. It represents a simple model of the ocean where the upper layer corresponds to the (thin) layer of fluid above the thermocline whereas the lower layer is under the thermocline. The second model includes a surf zone phenomenon. Shearing and turbulence effects in breaking waves are taken into account by a vorticity generation. Both models are governed by dispersive systems and reduce to a classical Green-Naghdi model in the case of vanishing vorticity. Additionally, an algorithm for the numerical resolution of the second model is proposed, and the validation by experimental results is performed. When dispersive/non-hydrostatic effects are taken into account, this usually leads to more accurate models of wave propagation like Green-Naghdi equations, or the two models derived in the first part, for example. The counterpart is that such a type of models requires advanced numerical techniques. In particular, one of the main issues is to define boundary conditions allowing the simulation of wave propagation in infinite physical space but on bounded numerical domains. In the second part of the present research, we focus on a definition of such boundary conditions for the Green-Naghdi equations. Artificial boundary conditions are first proposed for the linearised system. Then we address a hyperbolic system recently proposed to approximate the Green-Naghdi equations. A relatively simple structure of this new hyperbolic system allows for successful applications of Perfect Matched Layer (PML) techniques in order to deal with artificial numerical boundaries. Numerical tests are performed to validate the proposed approaches. In result, we have a correct description of numerical boundaries for non-linear cases. We have shown that the PML equations can be applied to the nonlinear system. Both approaches are then reformulated to solve the problem of injecting propagating waves in a computational domain.

Nous nous intéressons à l’étude théorique et numérique de plusieurs modèles d’écoulement (Saint-Venant, multicouches, milieux poreux stationnaires et non stationnaires) et de leurs applications à l’optimisation de formes de certains ouvrages hydrauliques. Nous explorons le caractère bien posé des systèmes, nous dérivons un système adjoint lié à chaque modèle.Une méthode de pénalisation est utilisée pour relaxer la contrainte d’incompressibilité de la vitesse.Nous exprimons le gradient de forme en fonction de la vitesse u comme variable d’état, des variables adjointes, et le vecteur unité normal au bord du domaine.Nous adoptons une méthode d’éléments finis discrète pour approcher la solution du problème pénalisé et établissons des estimations à priori afin de prouver la convergence de la solution approchée vers la solution du système non perturbé.Le problème d’optimisation est implémenté en utilisant la méthode adjointe continue et la méthode d’éléments finis. / We are interested in the theoretical and numerical study of different flow models (shallow water system, multilayer, stationary and non stationary porous media) and their applications to the shape optimization of some hydraulic structures.We explore the well-posedness of the models and derive the adjoint equations related to each system.A penalty method is used to relax the incompressibility constraint for the velocity. We express the shape gradient of the cost function in terms of the velocity value as a state variable, the adjoint variables and the unit normal vector to the boundary of the domain.We propose a discrete finite element method to approximate the solution for the penalizedproblem and establish a priori estimates to prove the convergence of the approximate solution to the solution of the non perturbed problem. Error estimates for the velocity and the pressure are established.The optimization procedure is implemented using the continuous adjoint method and the finite element method.

Nous étudions dans cette thèse, composée de deux parties, la modélisation des écoulements en eaux peu profondes par la méthode de Boltzmann sur réseau et l'analyse des propriétés de commandabilité et d'observabilité des modèles obtenus. Dans la première partie, nous nous consacrons d'abord à la modélisation par la méthode de Boltzmann sur réseau des équations de Saint-Venant. En utilisant une linéarisation autour d'un profil d'équilibre, une représentation sous forme d'état des modèles de Boltzmann sur réseau est définie. Cette représentation incorpore les termes de force, et permet une définition complète des entrées (commandes) et des sorties (mesures). Nous représentons ensuite les phénomènes de sédimentation dans les écoulements en eaux peu profondes avec la méthode de Boltzmann sur réseau. Ce modèle défini en une dimension est validé numériquement en le comparant avec un modèle de volumes finis qui résout les équations de Saint-Venant-Exner. Le modèle LB défini est moins gourmand en temps de calcul et plus facile à manipuler que les modèles traditionnels. Dans la deuxième partie, nous traitons de l'analyse des propriétés de commandabilit é et d'observabilité des modèles LB obtenus. La première analyse est faite sur les critères algébriques de Kalmann et permet d'établir la non conservation des propriétés de commandabilité et d'observabilité lorsque l'ordre de réduction du système est augmenté. Une analyse plus approfondie basée sur la détermination les grammiens de commandabilit é et d'observabilité montre également que le constat reste valide pour les méthodes de discrétisation classique. La résolution des grammiens est faite avec des méthodes particulièrement adaptées aux structures creuses et de grande dimension que sont les matrices de la dynamique, de commande et/ou d'observation des modèles LB. Enfin, nous établissons que pour une commande aux frontières classique des canaux d'irrigation en débit et hauteur, la famille de systèmes des modèles LB d'ordre réduit n'est pas uniformément commandable alors qu'avec l'utilisation des variables de scattering comme variables de commande, cette famille devient uniformément commandable.

Nous étudions dans cette thèse, composée de deux parties, la modélisation des écoulements en eaux peu profondes par la méthode de Boltzmann sur réseau et l'analyse des propriétés de commandabilité et d'observabilité des modèles obtenus. Dans la première partie, nous nous consacrons d'abord à la modélisation par la méthode de Boltzmann sur réseau des équations de Saint-Venant. En utilisant une linéarisation autour d'un profil d'équilibre, une représentation sous forme d'état des modèles de Boltzmann sur réseau est définie. Cette représentation incorpore les termes de force, et permet une définition complète des entrées (commandes) et des sorties (mesures). Nous représentons ensuite les phénomènes de sédimentation dans les écoulements en eaux peu profondes avec la méthode de Boltzmann sur réseau. Ce modèle défini en une dimension est validé numériquement en le comparant avec un modèle de volumes finis qui résout les équations de Saint-Venant-Exner. Le modèle LB défini est moins gourmand en temps de calcul et plus facile à manipuler que les modèles traditionnels. Dans la deuxième partie, nous traitons de l'analyse des propriétés de commandabilit é et d'observabilité des modèles LB obtenus. La première analyse est faite sur les critères algébriques de Kalmann et permet d'établir la non conservation des propriétés de commandabilité et d'observabilité lorsque l'ordre de réduction du système est augmenté. Une analyse plus approfondie basée sur la détermination les grammiens de commandabilit é et d'observabilité montre également que le constat reste valide pour les méthodes de discrétisation classique. La résolution des grammiens est faite avec des méthodes particulièrement adaptées aux structures creuses et de grande dimension que sont les matrices de la dynamique, de commande et/ou d'observation des modèles LB. Enfin, nous établissons que pour une commande aux frontières classique des canaux d'irrigation en débit et hauteur, la famille de systèmes des modèles LB d'ordre réduit n'est pas uniformément commandable alors qu'avec l'utilisation des variables de scattering comme variables de commande, cette famille devient uniformément commandable. / We study in this thesis, subdivided into two parts, the modeling of the free surface shallow water flows with the lattice Boltzmann method and the analysis of the properties of controllability and observability of the resulting models. The first part focusses on the modeling of the shallow water flows with the lattice Boltzmann method. Using a linearization around a given equilibrium profile, we give a state space representation of the defined lattice Boltzmann models. This representation takes into account the force term, and allows a complete definition of the inputs (controls) and outputs (measures) variables. After this, we extend the model to include the phenomena of sedimentation. The defined one-dimensional model is validated numerically by comparing it with a finite volume model which solves the Saint-Venant-Exner's equations. The defined LB model is less complex (from a numerical point of view) and easier to handle. In the second part, we deal with the analysis of the properties of controllability and observability of the models obtained from the LB modeling of the shallow water flows. The first analysis, which is done with the Kalmann's algebraic criterias, leads to the establishment of the loss of controllability when the number of discretization sites increases. An extensive analysis, based on the determination of the controllability and observability gramians, allows to show that this conclusion remains with the classical methods of discretization. The determination of the gramians is done with particular methods well suited for the sparse and large matrices which are the dynamical, control and/or observation matrices of the LB models. Finally, we establish that for a classical boundary control of the irrigation canal with flow and level, the family of LB systems variables is not uniformly controllable, while using scattering variables as the control variables, the family becomes uniformly controllable.

La chronologie des recherches théoriques et numériques exposées dans cet ouvrage est étroitement liée à notre attachement à lexpérimental et aux préoccupations pratiques des grands projets de constructions hydrauliques. Les applications variées qui sont envisagées quotidiennement au HACH (Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques Secteur Mécanique des Solides, des Fluides et des Structures - Département ArGEnCo Université de Liège), dont plusieurs exemples sont présentés, ont permis didentifier aussi bien des pistes damélioration des modèles numériques existants au sein de la suite WOLF(suite logicielle intégrée développée par le HACH pour la modélisation et loptimisation des écoulements à surface libre), que des besoins en nouvelles potentialités de représentation. Cest de là que sont nés la plupart des développements détaillés ici, avec comme objectif principal laugmentation des capacités des logiciels du HACH pour laide à la gestion et au design douvrages hydrauliques. Le dimensionnement de structures hydrauliques, tout comme la majeure partie des problèmes touchant à lhydrodynamique des écoulements à surface libre rencontrés dans la pratique, nécessite des études à grande et petite échelles, à laide de modèles adaptés localement aux phénomènes représentés, et donc variables au sein dune même étude selon le point particulier examiné. Dautre part, loptimisation de la forme ou du fonctionnement douvrages hydrauliques requiert des outils de calibration robustes permettant une approche objective. Ces derniers doivent de plus être couplés à des logiciels de simulation dont la représentativité et les temps de calcul sont en accord avec les exigences de loptimisation. Ces deux constats principaux posent le cadre des recherches entreprises et sont à la base de la définition des objectifs du travail. Les premiers chapitres de développements sattachent à décrire le cadre numérique de la suite logicielle WOLF, et plus particulièrement des codes 1D et 2D. La rationalisation des temps de calcul des simulations filaires à grande échelle est améliorée à ce stade par limplémentation au sein du logiciel unidimensionnel dun schéma dintégration temporelle implicite, en parallèle du schéma explicite existant. De même, certaines améliorations sont déjà apportées au logiciel WOLF2D. Elles concernent lextension automatique du domaine de calcul en fonction des mailles immergées émergées, le traitement des termes sources de pente de fond et de frottement en accord avec une approche énergétique, la conservation volumique du modèle ainsi que la réorganisation de la filière de résolution des équations de façon à permettre une totale latitude dans le choix du modèle de calcul utilisé. Lenrichissement des potentialités de modélisation des outils de la suite WOLF est ensuite poursuivi par létablissement, limplémentation et lapplication à des cas théoriques et pratiques, dun modèle de turbulence adapté aux caractéristiques spécifiques de la simulation des écoulements intégrée sur la hauteur deau. Afin de dépasser les limitations, tant informatiques que de discrétisation, inhérentes à lutilisation dune taille de maille unique sur un domaine de simulation bidimensionnel, des développements sont entrepris pour permettre de mener les calculs bidimensionnels sur un maillage structuré cartésien constitué de plusieurs zones à la taille de maille différente. Dans le même ordre didée, des développements sont réalisés pour permettre lutilisation de lensemble des outils de modélisation disponibles au sein du logiciel WOLF2D de façon simultanée et automatique au sein dune même simulation. Létape ultime de ces développements est réalisée en couplant les modèles uni- et bidimensionnel au sein dune simulation unique. Une fois toutes ces étapes de développement des modèles hydrodynamiques franchies, un logiciel adapté de calage automatique de paramètres est mis au point. Utilisable avec nimporte quel code de la suite WOLF, il permet la calibration de lensemble des paramètres physiques présents au sein des logiciels hydrodynamiques, ainsi que la résolution de tout problème doptimisation ou de calibration à laide des mêmes modèles. La parallélisation de ce logiciel basé sur la méthode des Algorithmes Génétiques ouvre la porte à des applications denvergure, dont le dimensionnement hydraulique douvrages sur base de simulations bidimensionnelles découlements turbulents à surface libre sur maillage multibloc. A chaque étape, la validation des développements est réalisée de façon rigoureuse par la confrontation des résultats numériques à ceux de cas test, théoriques et expérimentaux, originaux ou proposés dans la littérature. De nombreux exemples dapplications pratiques illustrent l'ensemble des potentialités de modélisation développées et prouvent leur applicabilité et leur efficacité face aux problèmes pratiques rencontrés par les ingénieurs hydrauliciens./ The chronology of the theoretical and numerical researches outlined in this text is closely linked to our attachment to the physical modelling and to the practical concerns related to important hydraulic projects. The various applications carried out daily in the HACH (Applied Hydrodynamics and Hydraulic Constructions - Solid, Fluid and Structures Mechanics ArGEnCo Department University of Liege), several of the being presented here, enabled to identify the ways to improve the existing numerical models of WOLF (integrated software package developed by the HACH for free surface flows modelling), as well as needs in new representation potentialities. The most of the developments described in this text were born from there, with as main objective to increase the capacities of the HACHs models to help to the management and the design of hydraulic constructions. The hydraulic structures design, and the main part of the practical problems related to free surface flows hydrodynamics, requires both large and small scales studies, with reliable models locally suited to the represented phenomena, and thus variable in a single study depending on the particular point examined. On another hand, the shape and working optimization of hydraulic structures requires robust calibration tools allowing an objective approach. The latter have to be linked to simulation software with modelling capacities and computation times in agreement with the optimization requirements. Both these assessments specify the framework of the researches of this thesis and are at the roots of the definition of the objectives of this work. The first chapters of developments aim to describe the numerical framework of the WOLF package, and more particularly the 1D and 2D models. The rationalization of the computation times for large scale one-dimensional simulations is improved at this stage by implementing in the 1D solver an implicit time integration scheme in parallel to the existing explicit one. Similarly, some improvements have been brought to the solver WOLF2D. They concern the automatic extension of the computation domain regarding the wet and dry cells, the treatment of the slope and roughness source terms with an energetic approach, the water volume conservation as well as the reorganization of the equations resolution scheme in order to be totally free in the choice of the mathematical model to solve. The enrichment of the modelling potentialities of the WOLF software is then pursued by setting, implementing and applying an original turbulence model suited to the specific characteristics of the depth integrated flow modelling. In order to get over the computer and modelling limitations inherent in the use of a single mesh size to model a 2D domain, developments have been carried out to allow the realisation of two-dimensional computations on a structured Cartesian grid composed of several areas with different mesh sizes. In the same way, developments have been carried out to use the whole of the mathematical models available in WOLF2D simultaneously and automatically in a single simulation. The ultimate step of these developments consisted in linking the 1D and the 2D models in a single computation. Following all these steps of developments of hydrodynamic models, a suitable tool for parameters automatic calibration has been set up. Usable with any solver of the WOLF package, it allows the calibration of the whole of the physical parameters present in the hydrodynamic solvers, as well as the resolution of any calibration or optimization problem with these models. The final parallelisation of this Genetic Algorithms based tool opens the door to complex applications, such as the hydraulic design of structures on the basis of two-dimensional simulations of free surface turbulent flows on multiblock grid. At each step, the validation of the developments is rigorously performed through the comparison of the numerical results with those from test cases, theoretical or experimental, original or from the literature. Several practical applications examples illustrate the whole of the developed modelling potentialities and prove their applicability and efficiency facing the most of practical problems encountered by hydraulic engineers.

Nous avons développé, et évalué en détail, un nouveau prototype d'inclinomètre longue base à niveaux hydrostatiques appelé " wth2o ". Ce système, aux principes particulièrement simples grâce à l'absence de pièces mécaniques mobiles, présente une grande fiabilité et une excellente stabilité (dérive linéaire de 0.05 µrad par mois). Sa haute résolution jusque dans la gamme des ondes sismiques longues périodes (où, par exemple, la résolution est meilleure que 0.001 masec, soit 5. 10-12 rad), et son niveau de bruit très bas, ont permis d'obtenir des résultats d'analyses harmoniques de marées terrestres (5 ans d'enregistrements) en excellent accord avec les modèles, et dont les écarts quadratiques moyens sont les plus bas de toutes les mesures inclinométriques réalisées au Laboratoire de Géodynamique de Walferdange (Luxembourg). A titre d'exemple, l'amplitude de l'onde M2 est déterminée avec une incertitude de seulement 0.003 masec, tandis que sa phase est déterminée avec un EQM de 0.028°, ce qui correspond à une incertitude de seulement 3.3 secondes. Cet instrument permit également d'observer des phénomènes rarement mesurés avec ce type d'appareil, tel les modes sphéroïdaux et toroïdaux les plus graves des oscillations libres de la Terre excitées par le séisme du Dénali (Mw 7.9) en novembre 2002, ou les passages successifs des ondes de Love jusqu'à G7, correspondant à 3 révolutions de ces ondes de surface autour du globe. Il fut également possible de séparer pour la première fois dans une analyse harmonique de marée terrestre inclinométrique, les constituants des groupes ter- et quater-diurnes. Ces très petites ondes enregistrées sont vraisemblablement liées aux ondes de marées océaniques propres aux eaux peu profondes présentes en Mer du Nord. Les modèles théoriques détaillés de cet appareil (comprenant des composantes relatives à l'amortissement produit par l'écoulement des fluides entre les électrodes des capteurs capacitifs) ont permis de dériver les solutions des équations du mouvement en composante inclinométrique et accélérométrique. De ces solutions furent tirées les formes théoriques des fonctions de transfert de l'appareil. Ces fonctions de transferts furent comparées avec succès aux mesures expérimentales de la réponse en fréquence. Grâce aux formes analytiques des fonctions de transfert en composante inclinométrique et accélérométrique qui sont données dans le présent travail, il est possible de calculer les caractéristiques géométriques optimales pour la construction d'un prototype devant répondre aux besoins particuliers d'une nouvelle application. Une étude originale des effets de ménisques (déformations de l'interface des fluides au contact de la paroi solide des pots) a montré que, s'ils n'ont pas d'influence sur les mesures en mode différentiel, ils peuvent par contre introduire des erreurs de plusieurs pour-cent sur l'estimation de la sensibilité par déplacement d'une quantité de liquide supposée connue. Cette erreur, ne dépendant que des propriétés physico-chimiques des fluides et matériaux en contacts, provient des variations de volumes de liquide contenu dans les ménisques lors des mouvements des interfaces. Si ces mouvements sont effectués lors des étalonnages sans que la ligne de contact ne se déplace, ces erreurs [en %] seront indépendantes du volume déplacé. Ces erreurs ne sont pas particulières à notre instrument mais peuvent affecter les étalonnages réalisés de la sorte pour tout inclinomètre à niveaux hydrostatiques, quel que soit le principe de mesure de l'instrument (mesures différentielles de pression, positionnement de flotteurs etc…). / We developed and evaluated a new prototype of long base water-tube tiltmeter named "wth2o". This system, particularly simple by the absence of moving parts, showed a great reliability and a fairly high stability (linear drift rate of 0.05 µrad/month). We analyzed a 5 years-long data set of Earth tides measurements performed in the Underground Laboratory for Geodynamics in Walferdange (Luxemburg). Its high resolution up to the long-period seismic band (where for instance the resolution is better than 0.001 masec, or 5. 10-12 rad) and its very low noise rate enabled us to obtain results in excellent accordance with the models, with the lowest root mean squares among all the results obtained with other tiltmeters in Walferdange. For instance, the amplitude of the M2 wave is estimated with a RMS as small as 0.003 masec and its phase is determined with an uncertainty below 0.028°, which represents 3.3 seconds only. With the "wth2o" we have also observed some events rarely measured with a water-tube, such as the gravest toroidal and spheroidal modes of the Earth free oscillations excited by the Mw 7.9 Denali earthquake or the successive passages of Love waves (up to G7) circling the globe. For the first time in an analysis of tilt Earth tide measurements, it was possible to separate the small constituents of the ter- and quater-diurnal band. The presence of these very small waves is most likely due to the effects of the shallow-water tides known to be remarkable in the North Sea. Theoretical models of this instrument (taking into account the damping produced by the liquids' flow between the plates of the capacitive sensors) allowed to obtain the solutions of the equations of motion for tilt as well as for acceleration. From these solutions we were able to produce very accurate theoretical transfer functions, as confirmed by the successful comparison with observed frequency responses. Thanks to the analytical tilt and acceleration transfer functions given in the present document it is possible to calculate the best geometrical characteristics for the construction of a new prototype having to respond to specific requirements of a new application. A new extended study of the menisci effects (deformations of the interface of the fluids in contact with the solid wall of the end vessels) showed that they do not influence the differential measurements but they could introduce errors of a few percents in the calibration factor when this factor is evaluated by the displacement of a "known" volume of liquid. This error depends only on the physical and chemical properties of the fluids and solids put in contact. It is due to the variation of volume of liquid trapped in the menisci while the interface is moving up- or downwards. If these interface movements are made without displacing the contact line, the errors [in %] will remain the same whatever the displaced volume of liquid could be. These errors can not only affect our results but can also be found in the calibration procedure of any kind of water-tube (central differential pressure, float positioned etc…).

Le système de Saint Venant est répandu pour modéliser des fluides dont la hauteur est inférieure au domaine d'écoulement. Son écriture nécessite des hypothèses sur le profil de vitesse pour connaître le flux de la quantité de mouvement ainsi que le cisaillement sur le fond. Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à un couplage entre un fluide parfait et une couche visqueuse dans l'esprit des couches limites interactives (IBL) introduites en aéronautique. Cette interaction nous permet de proposer un terme de friction en adéquation avec les attentes physiques au regard de la position du maximum local. Une part importante de cette thèse est donc consacrée à la compréhension de la couche visqueuse dans laquelle la recherche du profil de vitesse est cantonnée. Cette étude se décompose en l'écriture des équations de Prandtl puis en l'établissement de l'équation de von Kármán. Cette dernière met en jeu les quantités nécessaires à la définition du flux recherché et est donc un élément clé de la fermeture du système. Des résultats numériques viennent illustrer le modèle obtenu par le couplage entre le fluide parfait et la couche visqueuse. Le dernier chapitre expose deux formulations alternatives obtenues d'un point de vue d'un écoulement d'un fluide parfait dont les conditions sur les bords du domaine sont modifiées, soit par une condition de transpiration définie sur le fond, soit par une modification du domaine enlien avec une topographie apparente. / Shallow Water system is widely used for flows when the depth is smaller than the longitudinal scale. The establishment needs some hypothesis on the velocity profile in order to describe the moment flux and the shear stress on ground. In this thesis, we present a two layer decomposition of the fluid between an ideal fluid and a viscous layer in the spirit of the Interactive Boundary Layer (IBL) introduced in aeronautics. This interaction leads to obtain in our equations a friction term which fits with the physical expectations for the local maximum. So a major part of this work is interested in the comprehension of the viscous layer where the velocity profile is confined. The study is based on the writing of Prandtl equations then the establishment of the von Kármán equation. The last one contains the necessary quantities for a definition of the researched flux. Also this equation is essential for a closure of the system. Some numerical results illustrate the proposed model with the association of ideal fluid ans viscous layer. A last chapter presents two alternatives formulations of the model based on an ideal fluid with modified boundary conditions. The first one keeps the same domain but has a transpiration boundary.

Ce travail porte sur les processus hydrodynamiques en zone littorale.Deux principaux thèmes sont abordés. Le premier concerne la couchelimite oscillante provoquée par l’interaction entre les vagues et le fondà l’approche des côtes. Le second traite de l’évolution de la circulationet la vorticité induite par la bathymétrie et/ou le forçage des vagues.Un modèle de couche limite turbulente a été élaboré et utilisé pourobserver l’évolution de la couche limite oscillante sous l’effet de vaguesnon-linéaires, en s’appuyant sur une modélisation physique menéedans le canal à houle du LEGI. Les profils expérimentaux de vitesseet positions du fond fixe instantanés permettent de définir l’évolutiondes non-linéarités induites par les vagues au sein de la couche limite.Le modèle numérique couplé à une modélisation du mouvement dulit mobile est capable de reproduire l’évolution de ces non-linéarités,et explique que la diffusion verticale observée expérimentalementest principalement due au mouvement vertical du lit causé induitpar les vagues. Pour l’étude de la circulation et de la vorticité enzone côtière, un modèle numérique 2D moyenné sur la verticale detype Shallow Water est validé avec les données d’une expériencemenée dans le basin à vagues du Laboratoire Hydraulique de France(ARTELIA). La formation de courants sagittaux a été forcée parun front de vagues avec un déficit d’énergie au centre du bassin. Lemodèle numérique est validé par des mesures de surface libre, devitesse, ainsi que de circulation et vorticité. En utilisant ensuitel’équation de vorticité potentielle comme outil de diagnostic, avec unforçage monochromatique on prédit un équilibre entre la générationde vorticité et son advection par l’écoulement moyen. / This work is about the hydrodynamic processes in the nearshorezone. They are of great importance to estimate the overall dynamicsof the coastal zone. This thesis is divided into two main parts; thefirst one investigates the coastal bottom boundary layer induced bythe interaction of the waves and the bottom when approaching thecoast; the second one is about the evolution of the mean circulationand vorticity induced by an inhomogeneity in the bathymetry orthe wave forcing. A turbulent boundary layer numerical model hasbeen developed and used to simulate the evolution of the oscillatingboundary layers under non-linear waves, of a flume experiment at theLaboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels (LEGI) inGrenoble, France. The experimental instantaneous velocity profilesand still bed positions, allow defining the non-linear velocity distributionsinduced by the waves within the boundary layer. The numericalmodel coupled with a ad-hoc modeling of the mobile bed motionis able to reproduce the vertical distribution of the non-linearities,and also indicates that the vertical diffusion observed experimentallyis mainly caused by the mobile bed motion induced by the passingwaves. A 2D depth-averaged nonlinear shallow water numericalmodel is used to study the circulation and vorticity in the nearshorezone. This model is validated on a mobile bed experiment in thewave basin of the Laboratoire Hydraulique de France (ARTELIA).The formation of rip currents is forced by a damped wave forcing inthe middle of the wave basin. The numerical model is validated withfree surface and velocity measurements, and by the circulation andvorticity. Using the potential vorticity balance as a diagnosis tooland with a monochromatic wave forcing, an equilibrium between thevorticity generation and advection is observed in the nearshore zone. / Este trabajo trata de los procesos hidrodinámicos en la zona litoral,de grande importancia para la dinámica global del flujo costero. Dostemas principales son estudiados. El primero trata de la capa límiteoscilante provocada por la interacción entre el oleaje y el fondo alacercarse a la costa. El segundo tema trata de la evolución de lacirculación y la vorticidad inducida por la batimetría y/o el oleaje.Un modelo de capa límite turbulenta ha sido elaborado y validadopara analizar la evolución de la capa límite oscilante bajo la influenciade oleaje no-lineal, apoyándose en una modelación física, realizada enel canal de olas del LEGI. Los perfiles experimentales instantáneos develocidad y posición del fondo fijo, permiten definir la evolución delas no-linealidades inducidas por las olas dentro de la capa límite. Elmodelo numérico acoplado a una modelación del movimiento del fondomóvil es capaz de reproducir la evolución de estas no-linealidades, yexplica también que la difusión vertical observada experimentalmentees principalmente debida al movimiento vertical del fondo inducidopor el oleaje. El estudio de la circulación y de la vorticidad en zonascosteras se hace mediante un modelo numérico 2D promediado enla vertical de tipo Shallow Water que es validado con los datos deuna experiencia llevada a cabo en la piscina de olas del LaboratoireHydraulique de France (ARTELIA). La formación de corrientes ripse realiza a través de frentes de olas con un déficit de energía en elmedio de la piscina. El modelo numérico es validado con medicionesde superficie libre, de velocidades, y de circulación y vorticidad.Utilizando la ecuación de vortcidad potencial como herramienta dediagnóstico, con un oleaje monocromático se predice un equilibrioentre la generación de vorticidad y su advección por las corrientes.

L'objet de la thèse est de contribuer à l'étude numérique des lois de conservation hyperboliques avec termes sources, ce qui est motivé par les applications aux équations de Saint-Venant pour les eaux peu profondes. La première partie traite des questions habituelles de l'analyse des approximations numériques des lois de conservation scalaires. On se concentre sur des schémas aux volumes finis semi-discrets, dans le cas général d'un maillage non-uniforme. Pour définir des discrétisations appropriées du terme source, on introduit le formalisme spécifique de la méthode "Upwind Interface Source" et on établit des conditions sur les fonctions numériques telles que le solveur discret préserve les solutions stationnaires. Une définition rigoureuse de consistance est ensuite formulée, adaptée aux "schémas équilibres", pour laquelle on est capable de prouver un théorème de convergence faible de type Lax-Wendroff. La méthode considérée dans un premier temps est essentiellement d'ordre un en espace. Pour améliorer la précision, on développe des approches à haute résolution pour la méthode "Upwind Interface Source" et on montre que celles-ci sont un moyen efficace de dériver des schémas d'ordre plus élevé avec des propriétés convenables. On prouve une estimation d'erreur dans $L^p$, $1\le p < +\infty$, qui est un résultat optimal dans le cas d'un maillage uniforme. On conclut alors que les mêmes taux de convergence $O(h)$ et $O(h^2)$ que pour les systèmes homogènes correspondants sont valables. La deuxième partie présente un schéma numérique pour approcher les équations de Saint-Venant, avec un terme source géométrique, qui vérifie les propriétés théoriques suivantes: il préserve les états stationnaires de l'eau au repos, vérifie une inégalité d'entropie discrète, préserve la positivité de la hauteur de l'eau et reste stable avec des profiles du fond discontinus. Cela est obtenu grâce à une approche cinétique au système; dans ce contexte, on utilise une description formelle du comportement microscopique du système pour définir les flux numériques aux interfaces d'un maillage non-structuré. On utilise aussi le concept de variables conservatives centrées (typique de la méthode des volumes finis) et des termes sources décentrés aux interfaces. Finalement, on présente des simulations numériques du système des équations de Saint-Venant modifiées pour prendre en compte le frottement et la viscosité, afin de retrouver les résultats de certaines études expérimentales. Une application à la modélisation des termes de frottement pour les avalanches de neige est discutée dans l'Appendice.