En zones côtières, une onde se propageant à la surface de l'océan est fortement influencée par le courant sous-jacent. Les profiles de vitesses sont variables en profondeur du fait du vent soufflant à la surface et des frottements au fond. En considérant les équations d'Euler pour un fluide non-visqueux et incompressible, accompagnées des conditions de surface cinématiques et dynamiques appropriées, l'interaction entre une onde de surface bi-dimensionnelle, progressive et périodique et un courant sous-jacent est étudiée. En ne considérant pas uniquement un champs de vitesses dérivant d'un potentiel scalaire, ce travail étend le modèle d'un courant cisaillé linéairement à des profiles de courant définis par une classe de fonctions de vorticité exponentielle.Il est montré que ces profiles de courant bi-dimensionnelles sont linéairement stables en l'absence d'une perturbation à la surface. L'influence du courant sous-jacent sur des ondes d'amplitude et de profondeur arbitraire est ensuite étudiée numériquement, en présence ou non de capillarité. Malgré le fait que la célérité et l'énergie potentielle et cinématique de l'onde sont fortement influencées par le paramètre de non-linéarité que représente la cambrure, il est montré que l'effet de la vorticité est non-négligeable, surtout pour des ondes de gravité pure. Finalement, des résultats sont présentés pour une étude de stabilité linéaire d'ondes d'amplitude finie (2D) perturbées en trois dimensions. Les classes d'instabilité classiques sont détectées en présence de vorticité constante et non-constante. De plus, un mécanisme est proposé pour une instabilité tri-dimensionnelle dominante en présence de vorticité. / In coastal zones, waves propagating at the surface of the ocean are strongly influenced by underlying shear currents. Depth-dependent velocity profiles are generated by wind blowing at the surface and friction at the bed. Considering the Euler equations for an inviscid and incompressible fluid, along with the appropriate free-surface kinematic and dynamic boundary conditions, the interaction between a two-dimensional progressive periodic free-surface wave of permanent form and an underlying current is studied. By not assuming that the velocity field derives from a scalar potential, this work extends the linear, constant vorticity, shear model to velocity profiles defined by a class of exponential vorticity functions. The two-dimensional current profiles are first shown to be linearly stable in the absence of a free-surface perturbation. The influence of the underlying shear on waves of arbitrary amplitude and depth is then studied numerically, both in the absence and presence of capillarity. Although the celerity and potential and kinetic energy of the wave are strongly influenced by the nonlinear wave steepness parameter, the effect of vorticity is shown to be non-negligible, especially for pure gravity waves. Finally, results are presented for a linear stability analysis of these finite amplitude (2D) waves under three-dimensional perturbations. It is found that the classical classes of instability corresponding to four and five wave resonances are recovered in three-dimensions in the presence of constant or depth-dependent vorticities. Finally, a mechanism is proposed for the dominant three-dimensional instability caused by the presence of an underlying shear current.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de quelques modèles suggérés par la théorie de la supraconductivité. Plus spécifiquement, nous étudions le modèle de Ginzburg-Landau simplifié (sans champ magnétique) en présence de condition de type Dirichlet ou du type degrés prescrits. Dans une première partie nous traitons le problème d'existence de minimiseurs locaux dans un domaine multiplement connexe du plan pour des conditions de type degrés prescrits. La deuxième partie traite l'effet d'un terme de chevillage dans l'énergie de Ginzburg-Landau (GL) bi-dimensionnelle en imposant une condition de type Dirichlet. Cette partie se décompose en trois chapitres. On commence par l'étude d'un terme de chevillage qui est étagé et qui prend une valeur différente de 1 uniquement en un nombre fixe de sous domaines (aussi appelés inclusions) dont la taille tend vers zéro. Dans le chapitre suivant, nous considérons le cas d'un terme de chevillage sans hypothèse de structure particulière dans le cas où la donnée au bord est de degré nul. Dans le dernier chapitre de la deuxième partie, nous traitons le cas d'un terme de chevillage étagé et uniformément distribué avec une condition de type Dirichlet de degré non nul. On montre que la vorticité est quantifiée et localisée dans les inclusions. La dernière partie s'intéresse à l'effet d'un terme de chevillage étagé dans un domaine tridimensionnel avec une condition de Dirichlet. Les résultats préliminaires que nous présentons permettent d'appréhender la manière dont les filaments de vorticité sont "tordus" par l'effet du terme de chevillage.

Cette habilitation porte sur l'étude de la vorticité dans le modèle de Ginzburg-Landau et quelques contributions en théorie de point fixe

Les observations et les modèles globaux ont montré que l'écoulement vers l'ouest du Courant Equatorial Sud est perturbé par la topographie complexe du Pacifique Sud-Ouest. Il se concentre en jets zonaux associés aux îles de Fidji, Vanuatu et Nouvelle-Calédonie. Ce travail de thèse est motivé par la compréhension des processus non-linéaires et des effets topographiques. Une simulation régionale à haute résolution, a été réalisée. L'effort de validation du modèle a permis de mettre à jour un problème de diffusion diapycnale trop forte. Ce problème numérique a été résolu , ce qui permet désormais de préserver la structure thermohaline de grande échelle et l'intégrité de la solution dynamique régionale. La solution obtenue montre la présence de jets intenses avec des recirculations dans le sillage des îles et une tendance des jets à être déviés vers le nord en abordant les îles principales : Nouvelle-Calédonie, Vanuatu, Fidji. Des bilans de vorticité de l'écoulement permettent de mettre en évidence la prédominance des effets topographiques sur la circulation du Pacifique Sud-Ouest, bien que ces derniers soient en partie compensés par la baroclinicité et l'advection non linéaire. Les non-linéarités sont importantes pour les recirculations dans le sillage des îles. L'augmentation de la résolution conduit à des jets plus étroits et à une « vidange » des jets au sud des îles au profit de ceux au nord. Le Pacifique Sud-Ouest étant considéré comme une région clef dans la modulation décennale du climat, ce travail tend à affirmer la nécessité de prendre en compte plus finement les effets topographiques du Pacifique Sud-Ouest dans les modèles d'océan globaux et de climat.

La propagation des vagues est un phénomène complexe. La simulation directe de ce phénomène à l'aide des équations d'Euler ou de Navier Stokes à surface libre sont complexes et très coûteuses numériquement. Si certains phénomènes aux grandes échelles sont bien décrits par des modèles réduits plus simples à simuler numériquement, des modèles plus avancés sont nécessaires pour décrire des échelles plus fines. La première partie de cette thèse est consacrée aux modèles prenant en compte les effets de vorticité. Deux modèles moyennés sur la profondeur sont dérivés sous l'hypothèse d'eau peu profonde. Le premier concerne la propagation des ondes de surface et des ondes internes dans le cadre d'un système de deux fluides non miscibles. Le deuxième est un modèle de propagation des ondes côtières. Les effets turbulents sont pris en compte à travers l'équation de vorticité. Un algorithme numérique est construit pour la validation du second modèle et des comparaisons avec des résultats expérimentaux sont proposées. Dans la deuxième partie on s'intéresse à l'étude des conditions aux limites. Les problèmes initialement posés dans l'espace infini demandent des conditions aux limites spéciales pour le traitement numérique. On s'intéresse ici au cas des équations de Green-Naghdi. Dans un premier temps, des conditions aux limites transparentes sont dérivées, et des validations numériques sont proposées. Les tests montrent que des conditions aux limites similaires peuvent s'appliquer pour des ondes rentrantes. Dans un deuxième temps, on considère une technique de relaxation pour un système Green-Naghdi mis sous forme d'un système hyperbolique. En particulier, ce formalisme nous permet d'appliquer la technique de Perfect Mached Layers (PML) pour traiter les ondes sortantes et rentrantes. / Water waves propagation is a complex physical process. The direct numerical simulation using Navier-Stokes/Euler equations is a time-consuming and mathematically complicated solution. A good description of large-scale phenomena can be obtained by using relatively simple approximate models. However, if we are interested in a precise description of wave profiles, advanced modelling approaches are required. Once the model is derived, it needs to be solved numerically, and one faces another kind of challenges related to numerical simulations. The first part of the present thesis is devoted to the modelling of surface and internal ocean waves propagation, including dispersive effect and dynamics of the vorticity. In the framework of shallow water hypothesis, two models are derived. Both models involve additional equations for the vorticity evolution. To include the internal waves propagation, first, we consider a system of two immiscible fluids with constant densities. It represents a simple model of the ocean where the upper layer corresponds to the (thin) layer of fluid above the thermocline whereas the lower layer is under the thermocline. The second model includes a surf zone phenomenon. Shearing and turbulence effects in breaking waves are taken into account by a vorticity generation. Both models are governed by dispersive systems and reduce to a classical Green-Naghdi model in the case of vanishing vorticity. Additionally, an algorithm for the numerical resolution of the second model is proposed, and the validation by experimental results is performed. When dispersive/non-hydrostatic effects are taken into account, this usually leads to more accurate models of wave propagation like Green-Naghdi equations, or the two models derived in the first part, for example. The counterpart is that such a type of models requires advanced numerical techniques. In particular, one of the main issues is to define boundary conditions allowing the simulation of wave propagation in infinite physical space but on bounded numerical domains. In the second part of the present research, we focus on a definition of such boundary conditions for the Green-Naghdi equations. Artificial boundary conditions are first proposed for the linearised system. Then we address a hyperbolic system recently proposed to approximate the Green-Naghdi equations. A relatively simple structure of this new hyperbolic system allows for successful applications of Perfect Matched Layer (PML) techniques in order to deal with artificial numerical boundaries. Numerical tests are performed to validate the proposed approaches. In result, we have a correct description of numerical boundaries for non-linear cases. We have shown that the PML equations can be applied to the nonlinear system. Both approaches are then reformulated to solve the problem of injecting propagating waves in a computational domain.

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Cette thèse étudie l'influence du vent sur l'instabilité modulationnelle. Une première partie unifie les travaux de Segur et al. qui intègrent la dissipation et ceux de Leblanc qui prennent en compte le vent. Une équation non linéaire de Schrödinger est établie avec un terme additionnel linéaire résultant de la compétition entre le vent et la dissipation. La dissipation est traduite par le modèle de Lundgren et l'effet du vent se manifeste par l'intermédiaire de la pression atmosphérique selon le modèle de Miles. La profondeur est finie. Une étude de stabilité de l'onde de Stokes est détaillée, et des simulations numériques sont menées pour illustrer les résultats. Des expérimentations sont menées pour apporter une validation qualitative à ces travaux. Cette première partie a été validée par une publication au Journal of Fluid Mechanics~(2010). La deuxième partie étudie l'influence du vent sur l'instabilité modulationnelle par l'intermédiaire de la vorticité qu'il crée en surface. Le modèle est simplifié par l'hypothèse d'un écoulement unidirectionnel et d'une vorticité constante. La profondeur est encore supposée finie. Une équation non linéaire de Schrödinger est établie, qui prend en compte cette vorticité constante. La stabilité de l'onde de Stokes est alors étudiée en détail (diagramme d'instabilité en fonction de la vorticité et de la profondeur, bande d'instabilité, taux d'instabilité, etc.). Il est démontré qu'une vorticité négative, au delà d'un certain seuil, supprime l'instabilité modulationnelle indépendamment de la profondeur. Cette deuxième partie a été soumise pour publication au journal Physics of Fluids.

Le travail présenté dans ce mémoire de thèse est consacré à l'analyse du système des équations de Navier-Stokes stationnaires pour les fluides barotropiques compressibles en géométrie bornée tridimensionnelle. La principale originalité tient au choix de conditions aux limites non classiques. Dans le cas inviscide, il s'agit alors des équations d'Euler, les conditions aux limites naturelles sont celles d'imperméabilité pour le champ des vitesses. Dans le cas visqueux, il faut introduire des conditions supplémentaires : en 2004 pour le modèle incompressible les professeurs J. Neustupa et P. Penel ont proposé de compléter les équations de Navier-Stokes par des conditions dites d'imperméabilité généralisée concernant également le champ de vorticité. Ils ont ainsi établi une théorie alternative à la théorie classique. Nous étendons cette théorie au modèle visqueux barotropique compressible. Nous présentons deux modèles approchés fondés sur un possible découplage en un problème de Stokes adéquat au choix des conditions aux limites et deux problèmes de Poisson avec conditions de Neumann. Cette approche met notamment en avant l'intérêt de la décomposition de Helmholtz, l'importance du théorème de Leray-Schauder pour démontrer l'existence de solutions, et le rôle essentiel d'une pression, dite pression effective. Quant aux passages à la limite, ils sont techniques et diffciles, mais désormais classiques. Nous nous sommes inspirés des travaux des écoles française (P.L. Lions) et tchèque (A. Novotny et I. Straskraba). Le second modèle approché fournit une solution à densité bornée. P.B. Mucha et M. Pokorny ont développé tout récemment la même analyse avec des conditions aux limites de Navier.

L'objectif de cette thèse est de mieux comprendre la traversée du courant-jet de son côté chaud vers son côté froid par un certain nombre de tempêtes des moyennes latitudes. En effet, on a observé que ces tempêtes croissent de manière explosive juste après cette traversée, d'où l'intérêt porté à la question de la traversée. On se demande par quel mécanisme la structure spatialement inhomogène du courant-jet influence, au-delà de l'instabilité barocline, la trajectoire et le creusement des dépressions de surface pendant la traversée du jet. On étudie d'abord, dans un cadre numérique barotrope idéalisé, comment les effets de déformation grande échelle modulent le déplacement méridien d'un tourbillon cyclonique. Ce déplacement est, en premier lieu, dû à l'effet non linéaire du gradient méridien de la vorticité potentielle grande échelle (concept de beta-drift, connu dans le contexte des cyclones tropicaux et des tourbillons océaniques). On montre que les effets de déformation renforcent l'anticyclone qui est créé par la génération d'ondes de Rossby due à la présence du gradient de vorticité potentielle, et avec lequel le tourbillon cyclonique interagit. Puis on généralise ce mécanisme à une atmosphère barocline en étudiant la traversée par un tourbillon cyclonique de surface d'un courant-jet avec méandres et instable barocliniquement, dans un modèle à deux couches. On montre qu'un gradient de vorticité potentielle barotrope positif induit un fort anticyclone d'altitude, responsable de la traversée du jet par le tourbillon de surface avec lequel il interagit. En outre, le cycle de vie énergétique d'un tourbillon idéalisé subissant les effets de la déformation est similaire à celui de certaines tempêtes réelles, avec notamment une intensification juste après la traversée du jet.

La finalité de cette thèse est de fournir une meilleure compréhension de la turbulence homogène anisotrope soumise à un forçage barocline. À cette fin, nous utilisons une approche numérique pseudo-spectrale basée sur la transformation de Rogallo. L'utilisation d'un tel algorithme nous permet de considérer une asymétrie des fonctions de probabilité en faveur des évènements négatifs est observée. Le lien entre la distribution de vorticité potentielle et celle d'un scalaire passif est également étudié. Il est montré qu'à faible nombre de Richardson, c'est le mode vortex (à vorticité potentielle nulle) qui contient les plus importantes fuctuations de scalaire. Un écoulement homogène dans les trois directions de l'espace. Plusieurs simulations numériques directes (DNS) sont effectuées dans un contexte assez proche des écoulements géophysiques que l'on retrouve entre autre dans la stratosphère, où un gradient constant de vitesse zonale vient se coupler à un gradient constant de densité dans un repère tournant. Les résultats obtenus s'articulent autour de quatre axes principaux. Tout d'abord, une étude linéaire à temps fini est présentée en vue de compléter les résultats existants sur la dynamique linéaire asymptotique. La solution linéaire est décomposée en une partie 'onde' (qui se propage) et une partie dite 'vortex'(stationnaire). L'étude analytique est complétée par un modèle synthétique de turbulence (Kinematic Simulation ou KS) basé sur la théorie de la distorsion rapide(RDT). Nous montrons qu'une distribution initiale non nulle de vorticité potentielle linéarisée peut conduire à d'importantes croissances transitoires. Ce résultat pourrait s'étendre à des modélisations du climat ou météorologique, où la distribution initiale de vorticité potentielle semble avoir autant d'importance que la distribution initiale de température ou de vitesse. Ensuite, nous consacrons une partie de notre étude à l'analyse paramétrique et à la stabilité de l'écoulement. Plusieurs DNS sont effectuées pour différents taux de rotation et stratification. Le diagramme de stabilité obtenu montre que pour de faibles taux de rotation, la limite de stabilité est identique à celle connue des écoulements sans rotation. À plus faible nombre de Rossby -- lorsque la baroclinicité devient importante -- la limite linéaire de stabilité Ri = 1 relative à l'instabilité symétrique est confirmée. La coexistance de l'instabilité barocline avec l'instabilité symétrique est également clarifiée. Une analyse énergétique détaillée mène à la conclusion suivante : la stratification doit être suffisamment importante (Ri ' 1) pour que l'instabilité barocline soit dominante i.e. que la conversion d'énergie potentielle soit la source principale d'énergie cinétique turbulente. Dans le cas contraire, l'instabilité symétrique -- qui tire son énergie de l'énergie cinétique de l'écoulement moyen et non de son énergie potentielle -- domine la dynamique de l'écoulement. Le troisième axe d'étude concerne la turbulence à proprement parler. En conséquence de l'ajustement géostrophique, le vent thermique force la turbulence d'une manière naturelle, en opposition à d'autres méthodes de forçage stochastique. L'émergence de structures dans le contexte barocline est approfondie. Des statistiques Euleriennes sont présentées afin de fournir une caractérisation fine de l'anisotropie de l'écoulement. Enfin, nous étendons notre étude à la caractérisation de la vorticité potentielle turbulente. Les fonctions de probabilité de la vorticité potentielle d'Ertel montrent que des anomalies sont présentes dans les configurations instables. En particulier, une asymétrie des fonctions de probabilité en faveur des évènements négatifs est observée. Le lien entre la distribution de vorticité potentielle et celle d'un scalaire passif est également étudié. Il est montré qu'à faible nombre de Richardson, c'est le mode vortex (à vorticité potentielle nulle) qui contient les plus importantes fuctuations de scalaire.