L'ajustemnt géostrophique nonlinéaire de fronts et de jets est analysé. Il est démontré que le formalisme lagrangien est le mieux adapté pour décrire sans ambiguité ce problème. Des modifications du scenario classique d'ajustement de Rossby sont mises en évidence. <br /><br />L'analyse de radiosondages de la campagne FASTEX montre que les jets et les fronts atmosphériques aux moyennes latitudes sont des sources importantes d'ondes de gravité. <br /><br />Un mécanisme d'excitation d'ondes de gravité à partir de mouvements vorticaux est analysé théoriquement dans le cadre d'un fluide stratifié, pour les ondes excitées par un tourbillon ellispoïdal.

Les structures cohérentes sont fréquemment observées dans les écoulements océaniques et atmosphériques. A moyenne et grande échelle, ces structures sont souvent proches de l'équilibre géostrophique. Cependant, pour des nombres de Rossby plus grands, les effets agéostrophiques entrent en jeu et modifient leur dynamique. Les propriétés des structures cohérentes agéostrophiques sont étudiées dans cette thèse, principalement à l'aide de simulations numériques, dans des modèles conceptuels des écoulements océaniques et atmosphériques à grande et moyenne échelle : les modèles en eau peu profonde. L'instabilité de tourbillons intenses (tourbillons anticycloniques isolés et cyclones tropicaux) dans les modèles en eau peu profonde à une et deux couches est étudiée. L'impact des différents paramètres sur ces instabilités est quantifié, et des simulations numériques de leur saturation non linéaire permet de dégager l'importance des mouvements agéostrophiques associés. Dans un second temps, des structures quasi-stationnaires agéostrophiques sont obtenues numériquement dans les modèles à une et deux couches. Ces structures, consistant en des dipôles et tripôles de vorticité (barotropes ou baroclines) sont stables, et la circulation agéostrophique qui leur est associée n'entraîne pas d'émission d'ondes d'inertie-gravité. Enfin, la turbulence d'ondes et de tourbillons en déclin dans un modèle à une couche est étudiée. L'évolution de l'écoulement à partir de conditions initiales très différentes est discutée, notamment en ce qui concerne les propriétés agéostrophiques de l'écoulement, le couplage ondes-tourbillons et la sensibilité aux conditions initiales. / Coherent structures are ubiquitous features of atmospheric and oceanic flows. Their associated meso- and large scale circulation is in geostrophic equilibrium. However, at increasing Rossby numbers, ageostrophic effects may push the structures away from this equilibrium, and new types of instabilities can also disturb their dynamics. In this thesis, the properties of ageostrophic coherent structures are investigated, mainly by means of direct numerical simulations. This is done in the framework of simplified conceptual models of meso- and large scale oceanic and atmospheric flows, namely Rotating Shallow Water models. The instability of intense vortices (isolated anticyclonic vortices and tropical cyclones) in one-layer and two-layer shallow water models are studied. Direct numerical simulations of the nonlinear saturation of these instabilities allow us to study the properties of the ageostrophic part of the flow, such as the inertia-gravity wave emission and the formation of shocks. Then, quasi-stationary ageostrophic structures are obtained by means of numerical simulations in one-layer and two-layer models. It consists of vortex dipoles or tripoles, either baroclinic or barotropic, which are stable and whose ageostrophic component does not imply inertia-gravity waves emission. Finally, decaying vortex and wave turbulence is studied in the one-layer model. The evolution of the flow for very different initial conditions is discussed and we put the emphasis on the ageostrophic properties of the flow, the wave-vortex coupling and the sensitivity to initial conditions.

Cette thèse porte sur la dynamique des grandes échelles des écoulements géophysiques turbulents, en particulier sur leur organisation en écoulements parallèles orientés dans la direction est-ouest (jets zonaux). Ces structures ont la particularité d'évoluer sur des périodes beaucoup plus longues que la turbulence qui les entoure. D'autre part, on observe dans certains cas, sur ces échelles de temps longues, des transitions brutales entre différentes configurations des jets zonaux (multistabilité). L'approche proposée dans cette thèse consiste à moyenner l'effet des degrés de liberté turbulents rapides de manière à obtenir une description effective des grandes échelles spatiales de l'écoulement, en utilisant les outils de moyennisation stochastique et la théorie des grandes déviations. Ces outils permettent d'étudier à la fois les attracteurs, les fluctuations typiques et les fluctuations extrêmes de la dynamique des jets. Cela permet d'aller au-delà des approches antérieures, qui ne décrivent que le comportement moyen des jets.Le premier résultat est une équation effective pour la dynamique lente des jets, la validité de cette équation est étudiée d'un point de vue théorique, et les conséquences physiques sont discutées. De manière à décrire la statistique des évènements rares tels que les transitions brutales entre différentes configurations des jets, des outils issus de la théorie des grandes déviations sont employés. Des méthodes originales sont développées pour mettre en œuvre cette théorie, ces méthodes peuvent par exemple être appliquées à des situations de multistabilité. / This thesis deals with the dynamics of geophysical turbulent flows at large scales, more particularly their organization into east-west parallel flows (zonal jets). These structures have the particularity to evolve much slower than the surrounding turbulence. Besides, over long time scales, abrupt transitions between different configurations of zonal jets are observed in some cases (multistability). Our approach consists in averaging the effect of fast turbulent degrees of freedom in order to obtain an effective description of the large scales of the flow, using stochastic averaging and the theory of large deviations. These tools provide theattractors, the typical fluctuations and the large fluctuations of jet dynamics. This allows to go beyond previous studies, which only describe the average jet dynamics. Our first result is an effective equation for the slow dynamics of jets, the validityof this equation is studied from a theoretical point of view, and the physical consequences are discussed. In order to describe the statistics of rare events such as abrupt transitions between different jet configurations, tools from large deviation theory are employed. Original methods are developped in order to implement this theory, those methods can be applied for instance in situations of multistability.

Dans cette thèse nous étudions trois modèles décrivant la dynamique de l’écoulement d’un fluide à densité variable, dans des échelles spatio-temporelles grandes. Dans ce cadre, le mouvement relatif induit par des forces extérieures,comme la force de Coriolis ou la poussée hydrostatique, s’avère être beaucoup plus important que le mouvement intrinsèque du fluide induit par le transport des particules. Une tel déséquilibre contraint ainsi le mouvement, induisant des structures persistantes dans l’écoulement du fluide.D’un point de vue mathématique, l’une des difficultés consiste en l’étude des perturbations induites par les forces extérieures, qui se propagent à grande vitesse.Ce type d’analyse peut être effectué au moyen de plusieurs outils mathématiques ;on choisit ici d’employer des techniques caractéristiques de l’analyse de Fourier,comme l’analyse des propriétés dispersives des intégrales oscillantes.Tout au long de cette thèse, on se restreint à considérer des domaines spatiaux sans frontière : c’est le cas de l’espace entier, ou encore de l’espace périodique. Les modèles considérés sont donc les suivants: équations primitives dont les nombres de Froude et de Rossby sont comparables,et pour lesquelles la diffusion verticale est nulle, fluides stratifiés dans un régime à faible nombre de Froude, fluides faiblement compressibles et tournants dans un régime où les nombres de Mach et de Rossby sont comparables.On prouve que ces systèmes propagent globalement dans le temps des donnés peu régulières. Nous n’imposons jamais de condition de petitesse sur les données initiales. Toutefois, on prendra en compte certaines hypothèses spécifiques de régularité, lorsque des raisons techniques l’imposent. / In this thesis we discuss three models describing the dynamics of density-dependent fluids in long lifes pans and on a planetary scale. In such setting the relative displacement induced by various external physical forces, such as the Coriolis force and the stratification buoyancy, is far more relevant than the intrinsic motion generated by the collision of particles of the fluid itself. Such disproportion of balance limits hence the motion, inducing persistent structures in the velocity flow.On a mathematical level one of the main difficulties relies in giving a full description of the perturbations induced by the external forces, which propagate at high speed. This analysis can be performed by the aid of several tools, we chose here to adopt techniques characteristic of harmonic analysis, such as the analysis of the dispersive properties of highly oscillating integrals.All along the thesis we consider boundary-free, three-dimensional domains, and inspecific we study only the case in which the domain in either the whole space or the periodic space . The models we consider are the following ones : primitive equations with comparable Froude and Rossby number and zero vertical diffusivity, density-dependent stratified fluids in low Froude number regime, weakly compressible and fast rotating fluid in a regime in which Mach and Rossbynumber are comparable. We prove that these systems propagate globally-in-time data with low-regularity. Nosmallness assumption is ever made, specific constructive hypothesis are assumed on the initial data when required.

Mon travail de thèse a pour objet l'étude de fluides anisotropes en rotation rapide dans $\mathbb{R}^3$, quand la viscosité tend vers zéro avec le nombre de Rossby $\varepsilon > 0$. J'ai démontré en particulier des résultats d'existence globale pour des données arbitrairement grandes quand le nombre de Rossby $\varepsilon$ tend vers zéro et j'ai mis en lumière le rôle joué par l'effet dispersif. Dans la dernière partie de la thèse, j'ai démontré l'analyticité de la solution globale du système des fluides de grade deux pour des données initiales analytiques petites. Dans la première partie, j'ai considéré les équations de Navier-Stokes avec terme de rotation $\frac{u\wedge e_3}{\varepsilon}$, et avec viscosité verticale nulle et viscosité horizontale petite de l'ordre de $\varepsilon^\alpha$, avec $\alpha > 0$ dans le cas où le système limite, quand $\varepsilon$ tend vers zéro, est nul. J'ai démontré l'existence globale de la solution forte pour des données initiales grandes, quand $\varepsilon > 0$ est suffisamment petit. J'ai suivi la méthode introduite par J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher et E. Grenier, c'est-à-dire, j'ai décomposé le système de départ en un système linéaire avec donnée initiale plus régulière et un système non-linéaire avec donnée initiale petite. Pour le système linéaire, une grande partie du travail consiste à adapter les estimations de Strichartz et à trouver de nouvelles estimations qui tiennent compte de la viscosité petite. Pour le système non-linéaire, j'ai utilisé une méthode de ``bootstrap'', plus délicate que dans le cas classique, à cause de la petitesse de la viscosité. Toujours dans cette première partie, j'ai également considéré le cas où le système limite n'est pas nul. Pour ce cas, j'ai montré, en ajoutant un terme de ``friction'' aux équations considérées, de bonnes estimations dissipatives et surtout de bonnes propriétés pour le système limite, ce qui m'a permis de montrer l'existence globale de solutions fortes. Dans le dernier paragraphe de cette partie, j'ai étudié une application importante de la méthode ci-dessus aux fluides en rotation rapide entre deux plaques infinies dans le cas la viscosité horizontale est petite, de l'ordre de $\varepsilon^\alpha$, $\alpha > 0$. La deuxième partie est un travail en collaboration avec Frédéric Charve (Université Paris 12 - Val de Marne). Il s'agit de l'étude des équations primitives dans $\mathbb{R}^3$ avec, comme précédemment, viscosité verticale nulle et viscosité horizontale de taille $\varepsilon^\alpha$, $\alpha > 0$. Nous avons développé la méthode de la première partie dans le cadre des équations primitives en adaptant au cas anisotrope les calculs faits par F. Charve dans le cas isotrope. La troisième partie est consacrée à l'étude du système de la magnéto-hydrodynamique en rotation rapide dans $\mathbb{R}^3$ dans le cas anisotrope. Je démontre d'abord des résultats d'existence locale (globale pour des données petites) et d'unicité de la solution forte. Avec des paramètres bien choisis, j'ai pu appliquer la méthode développée dans les deux premières parties et montrer que le système de la magnéto-hydrodynamique est globalement bien posé pour des données grandes. Finalement, dans la dernière partie de la thèse, j'ai considéré le problème de propagation de régularité pour le système des fluides de grade deux sur le tore $\mathbb{T}^3$. En utilisant une technique développée par J.-Y. Chemin, j'ai montré que, si la donnée initiale est petite dans une classe de Gevrey appropriée, la solution du système de fluides de grade deux existe globalement en temps, reste dans une certaine classe de Gevrey pour tout temps positif et est donc analytique.

Ce travail de thèse cherche à caractériser, à l'aide d’expériences de laboratoire, le mouvement d'un fluide stratifié à la fois tournant et cisaillé. Dans ce contexte on a considéré trois problèmes qui sont issus des observations géophysiques et astrophysiques où ces écoulements sont très communs. En premier nous avons observé expérimentalement et modélisé l'évolution en temps d'un anticyclone en milieu stratifié tournant, dans le but de comprendre la longévité des meddies, des vortex qui se forment à la sortie de la Méditerranée et peuvent perdurer pendant des années. Nos anticyclones modèles montrent une relaxation visqueuse anormale en raison de l’interaction entre stratification et cisaillement. Nos résultats expérimentaux ont été confirmés à l'aide d'un modèle géostrophique et de simulations numériques qui montrent aussi le rôle majeur joué par les circulations secondaires. Dans un deuxième temps nous avons considéré la stabilité linéaire de l'écoulement de Couette Plan, un des plus simple des écoulement plans cisaillés. On montre que cet écoulement devient instable lorsque l'on ajoute de la stratification verticale. Nous remarquons aussi que la structure spatiale de l'instabilité ressemble à celle de certains jets océaniques que l'on observe près de l'équateur. Enfin nous avons caractérisé une instabilité non linéaire dite des zombie vortex qui a été récemment découverte et pourrait jouer un rôle fondamental dans la déstabilisation des disques d'accrétion, une étape fondamentale de la formation des planétaire. Nous avons construit le diagramme de stabilité de la ZVI dans l'espace de trois fréquences caractéristiques et quantifié la dissipation visqueuse. / The present PhD work comes with the scope of characterizing, analysing and modelling some laboratory flows in the simultaneous presence of rotation, stratification and shear. To this aim we address three specific questions inspired by geophysics and astrophysics where these three ambient features are commonly relevant. First we characterize and model the time evolution of a compact anticyclone in a rotating and stratified laboratory flow. We aim to understand the longevity of analogous vortices known as meddies which populate the Atlantic ocean at the exit of the Mediterranean sea. We observe that viscous relaxation happens in an unusual way because of the balance between rotation and stratification. The results are confirmed by a quasi-geostrophic model and numerical simulations which show the crucial role played by secondary circulations. Secondly we consider the linear stability of one of the simplest parallel shear flow, namely the plane Couette Flow, and show that it becomes unstable when adding a vertical stratification. Interestingly the unstable pattern reminds of deep oceanic jets observed close to the equator. The signature of this instability is observed in an ad-hoc experimental flow and interpreted with the support of direct numerical simulations. Finally we characterize the behaviour of a recently disclosed finite amplitude instability, namely the zombie vortex instability or ZVI. This instability appears when rotation, stratification and shear are of the same order and may may destabilize proto-planetary disks. We construct a stability diagram for ZVI in the space of the three ambient frequencies and analyse the effect of viscous dissipation.

Nous développons une méthode pour mesurer la viscosité apparente dans les fluides en rotation rapide. Celle-ci consiste à mesurer la vitesse azimutale du fluide pendant le régime transitoire de synchronisation qui apparaît lors des expériences de spin-up/spin-down (augmentation ou diminution de la vitesse de rotation du récipient). Les différences observées entre les régimes laminaires et les régimes turbulents donnent une information sur la contribution de la turbulence dans le transport de quantité de mouvement entre le fluide et la paroi.<br />Quatre dispositifs expérimentaux ont été utilisés afin d'évaluer l'impact de la géométrie du récipient et des mécanismes de forçage de la turbulence sur ces mesures de viscosité apparente. L'étude montre que tous deux contribuent fortement à la modification de viscosité apparente observée. Dans le cas d'expériences de convection thermique en géométrie sphérique, <br />afin d'expliquer l'augmentation uniforme de la viscosité apparente, une loi d'échelle faisant intervenir l'écart au seuil et le nombre d'Ekman est proposée. En ce qui concerne les autres expériences ( Convection thermique sphérique en gallium, couette spherique, convection thermique en géométrie cylindrique), la modification de viscosité n'est pas uniforme dans le volume et ne peut être reliée à des grandeurs globales. Dans ce deuxième cas, l'origine de la modification vient du mécanisme de forçage ou du développement d'instabilités associées au mouvement de spin-up en régime turbulent.<br /><br />Au dela de cette etude experimentale, nous avons calculé le couplage visco-magnétique à l'interface noyau liquide - manteau solide d'une Terre en nutation. Nous avons fait varier dans ce calcul la viscosité apparente du fluide et la conductivité électrique du manteau afin d'analyser les contributions des couples magnétiques et visqueux au couplage de l'interface. Différentes modélisations du champ magnétique terrestre sont envisagées afin d'estimer la contribution des petites échelles du champ à ces couplages.<br />La confrontation de ce calcul aux valeurs des constantes de couplage des modèles de nutations permet d'obtenir une estimation de la viscosité efficace nécessaire dans le noyau. Une viscosité efficace de $10^{-2}$ $m^{2}.s^{-1}$ dans le noyau terrestre est nécessaire pour expliquer les données de nutations.

Les travaux présentés concernent l'étude de problèmes d'existence, d'unicité et de régularité de problèmes d'écoulement de fluides géophysiques. On s'intéresse en particulier aux écoulements des masses d'eau à travers des modèles bi-dimensionnels et tri-dimensionnels. Dans une première partie est présentée différentes approches de la simulation de ces écoulements par les méthodes de Galerkin linéaire et non linéaire. Les résultats de convergence de ces méthodes numériques sont présentés dans le cas bidimensionnel. Dans une seconde partie l'impact de l'hypothèse du toit rigide sur le comportement des solutions est étudié. Différents schémas numériques de résolution sont proposés, permettant de traiter efficacement les différentes contraintes globales liées à cette hypothèse. Des résultats de convergence de la méthode sont présentés pour des modèles de shallow water mono-couche et bi-couche. La dernière partie de ces travaux est consacrée à l'étude d'un couplage entre les vibrations de la croûte terrestre et la masse d'eau océanique. Cette approche utilisant un opérateur de plaque pour la modélisation de la croûte terrestre permet d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité des solutions. Ce type de modèle est adaptée, entre autre, la modélisation de phénomènes de tsunami.

Une des caractéristiques les plus remarquables des fluides géophysiques est la présence de stratification, c'est-à dire d'un gradient vertical de densité, qui induit une structure en couches horizontales. Lindborg (1999) et Billant & Chomaz (2001) ont proposé que la dynamique au sein de ces couches est tridimensionnelle et non bidimensionnelle comme cela était supposé auparavant. Les derniers ont aussi proposé un mécanisme de sélection de l' épaisseur de ces couches : l'instabilité zigzag qu'ils ont observée dans le cas particulier d'une paire de tourbillons contra-rotatifs. Cependant, les paires de tourbillons contra-rotatifs sont rarement observées dans l'océan et l'atmosphère contrairement aux couples de tourbillons co-rotatifs. De plus, l'appariement de tourbillons co-rotatifs est le processus dominant en turbulence bidimensionnelle responsable du transfert d'énergie des petites vers les grandes échelles. Au cours de ma thèse, je me suis donc intéressée à la dynamique de tourbillons co-rotatifs verticaux dans un fluide stratifié. Une instabilité associée au même effet physique que l'instabilité zigzag a été découverte. Elle décorrèle verticalement l'appariement de ces tourbillons, suggérant que l' instabilité zigzag est générique et affecte tout écoulement stratifié constitué de plus d'un tourbillon. L'analyse numérique de stabilité linéaire a montré que cette instabilité consiste en un mode déplacement et sélectionne une échelle verticale proportionnelle à l' échelle de flottabilité définie comme Fb, où F est le nombre de Froude horizontal et b la distance entre les deux tourbillons. Son taux de croissance est proportionnel au champ d'étirement créé par un tourbillon sur son compagnon. L'origine physique de cette instabilité a été identifiée grâce à une étude asymptotique : elle provient du couplage entre le mode de déplacement d'un tourbillon et le champ d'étirement généré par l'autre tourbillon. Observations expérimentales et Simulations Numériques Directes montrent que les non-linéarités n'inhibent pas le développement de l'instabilité zigzag qui entraîne bien une décorrelation verticale de l'écoulement selon une échelle proportionnelle à l'échelle de flottabilité. Enfin, l'effet de la rotation de la Terre a été étudié et nous avons montré que l'instabilité Zigzag reste active en présence de la force de Coriolis. Son taux de croissance est indépendant du taux de rotation. En régime fortement tournant, on retrouve l'approximation quasi-géostrophique : l'instabilité zigzag est similaire à l'instabilité ''tall-column'' découverte par Dritschel & de la Torre Juàrez (1996) et la longueur d'onde la plus instable est proportionnelle à Fb/Ro, où Ro est le nombre de Rossby. Cette instabilité affecte donc les écoulements géophysiques sur une large gamme d' échelles aussi bien dans l'océan que dans l'atmosphère.

De nombreuses applications en océanographie et en météorologie côtière et opérationnelle nécessitent la mise en place de modèles locaux haute-résolution pour lesquels les interactions océan-atmosphère doivent être correctement représentées. Dans ce cas, la principale difficulté est de raccorder de manière consistante la solution des deux modèles à l'interface air-mer. Le travail présenté ici vise à adapter les méthodes de décomposition de domaine de type algorithmes de Schwarz pour résoudre ce problème d'une manière mathématiquement satisfaisante. Une difficulté importante provient notamment du caractère fondamentalement turbulent des couches limites près de l'interface air-mer. Pour aborder cet aspect, nous présentons dans un premier temps une synthèse des divers schémas de paramétrisation utiles. Puis nous étudions une formulation idéalisée du problème, sous la forme d'un couplage simplifié de deux équations de diffusion modélisant le mélange turbulent dans les couches limites, les coefficients de diffusion turbulente étant fournis par des paramétrisations usuelles. Afin d'assurer une convergence rapide de la méthode, nous recherchons des conditions de transmission optimisées. Nous déterminons celles-ci de manière analytique dans le cas de coefficients de diffusion constants et discontinus à l'interface, puis nous étendons ces résultats dans le cas de coefficients variables à l'aide d'une approche nouvelle. Dans une dernière partie, nous montrons comment les méthodes usuelles de couplage océan-atmosphère peuvent être décrites dans le formalisme des méthodes de Schwarz. Puis nous proposons une première application réaliste (formation et propagation d'un cyclone tropical) et présentons des résultats numériques préliminaires, obtenus avec une méthode non optimisée.