On considère l'écoulement non stationnaire d'un fluide visqueux à l'intérieur d'un tube mince à parois élastiques. Le problème dépend de deux paramètres Ɛ qui mesure le rapport entre le diamètre et la longueur du tube, ainsi que ƴ qui mesure la rigidité des parois. Ce développement est justifié par des estimations d'erreur et des estimations a priori. Les termes principaux de la solution asymptotique sont comparés à ceux de la solution d'un écoulement de Poiseuille dans un tube à parois rigides. Dans le cas critique ƴ=3, pour le déplacement, on obtient une équation différentielle non classique du sixième ordre. L'idée principale de la M.A.P.D.D. consiste à construire une solution asymptotique pour le problème d'écoulement afin de décrire et de justifier l'application de la M.A.P.D.D. Cette analyse confirme la localisation des effets de couches limites au voisinage des zones de transition ainsi que la convergence de la solution asymptotique vers une solution à l'intérieur des tubes. La justification numérique proposée ici, est l'application de cette méthode pour simuler un procédé d'écoulement non newtonien. En effet, la méthode consiste à résoudre le problème initial d'écoulement sur une petite partie du domaine (correspondant généralement à un voisinage ou les couches limites apparaissent) et de simplifier le problème sur un sous domaine en utilisant la forme particulière de la solution asymptotique / We consider the nonstationary flow of a viscous fluid inside a thin tube with elastic walls. The problem depends on two parameters Ɛ which measures the ratio between the diameter and length of the tube, and ƴ which measures the stiffness of the walls. This development is justified by estimates of error and a priori estimates. The principal terms of the asymptotic solution are compared with the solution of a Poiseuille flow in a tube with rigid walls. In the critical case ƴ = 3 for the displacement, we obtain a differential equation of sixth order non-classical. The main idea of the M.A.P.D.D. is to construct an asymptotic solution to the problem of flow to describe and justify the application of M.A.P.D.D. This analysis confirms the location of boundary layer effects near the transition zones and the convergence of the asymptotic solution to a solution inside the tubes. The proposed numerical justification here is the application of this method to simulate a process of non-Newtonian flow. Indeed, the method is to solve the initial problem of flow over a small part of the domain (generally corresponding to a neighborhood or boundary layers appear) and simplify the problem on a subdomain using the particular form of the asymptotic solution

Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l’équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c’est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d’ordre ε et des bases d’ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l’équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d’existence, d’unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l’ordre des étapes de résolution de l’algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l’obtention d’une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiques / In order to model the blood flow through vessels, the Stokes equation with the nonconstant viscosity is considered in a thin tube structure, i.e., in a connected union of thin rectangles with heights of order ε and bases of order 1 with smoothened boundary. An asymptotic expansion of the solution is constructed. In the case of random perturbations of the constant viscosity, we prove that the leading term for the velocity is deterministic, while for the pressure it is random, but the expectations of the pressure satisfies the deterministic Darcy equation. Estimates for the difference between the exact solution and its asymptotic approximation are proved. Finally, we give some numerical results. We extend the results for a thin tube structure composed by two thin rectangles with lateral elastic boundaries which are connected by a domain with rigid boundaries. After a variational approach of the problem which gives us existence, uniqueness, regularity results and some a priori estimates, we construct an asymptotic solution. We present and solve the problems for all the terms of the asymptotic expansion. For two different cases, we describe the order of steps of the algorithm of solving the problem and we construct the main term of the asymptotic expansion. And finally, we present a variational and an asymptotic analysis for a more general case where the viscosity depends on the infinitesimal strain tensor in a thin channel. By means of the a priori estimates, we justify our asymptotic constructions, by obtaining a small error between the exact and the asymptotic solutions

On considère l'écoulement non stationnaire d'un fluide visqueux à l'intérieur d'un tube mince à parois élastiques. Le problème dépend de deux paramètres Ɛ qui mesure le rapport entre le diamètre et la longueur du tube, ainsi que ƴ qui mesure la rigidité des parois. Ce développement est justifié par des estimations d'erreur et des estimations a priori. Les termes principaux de la solution asymptotique sont comparés à ceux de la solution d'un écoulement de Poiseuille dans un tube à parois rigides. Dans le cas critique ƴ=3, pour le déplacement, on obtient une équation différentielle non classique du sixième ordre. L'idée principale de la M.A.P.D.D. consiste à construire une solution asymptotique pour le problème d'écoulement afin de décrire et de justifier l'application de la M.A.P.D.D. Cette analyse confirme la localisation des effets de couches limites au voisinage des zones de transition ainsi que la convergence de la solution asymptotique vers une solution à l'intérieur des tubes. La justification numérique proposée ici, est l'application de cette méthode pour simuler un procédé d'écoulement non newtonien. En effet, la méthode consiste à résoudre le problème initial d'écoulement sur une petite partie du domaine (correspondant généralement à un voisinage ou les couches limites apparaissent) et de simplifier le problème sur un sous domaine en utilisant la forme particulière de la solution asymptotique

Les lymphocytes T sont une composante essentielle du système immunitaire de l'organisme. Ils peuvent reconnaître et répondre à un antigène étranger en vertu de leur récepteur d'antigène. En effet, les cellules T qui n'ont pas encore rencontrées des antigènes, sont appelées "naïves". Lors d'un premier contact antigénique, l'expansion clonale des lymphocytes T spécifiques a un antigène augmente fortement leur fréquence, et déséquilibre transitoirement de façon plus ou moins intense le compartiment lymphocytaire T périphérique. Cet équilibre doit être rétabli pour ne pas menacer à terme le bon fonctionnement du système immunitaire. Outre le risque de réponse explosive lors d'une réexposition à l'antigène, l'accumulation de clones T de taille disproportionnée gênerait considérablement le recrutement de lymphocytes T spécifiques de nouveaux antigènes. Ainsi, après élimination de l'antigène ou son confinement dans l'organisme, différents mécanismes interviennent. Il faut en effet d'une part assurer le maintien d'un compartiment de cellules T naïves de taille suffisante pour faire face à de nouvelles stimulations antigéniques. D'autre part, la constitution d'un panel de cellules T mémoires est nécessaire pour permettre une réponse immunitaire plus rapide et plus efficace lors de réexpositions antigéniques. Donc les mécanismes d'homéostasie des cellules T sont essentielles pour maintenir le nombre de cellules T à un niveau à peu près constant en contrôlant la division cellulaire et la mortalité des cellules. [...] / T lymphocytes are a fundamental component of the immune system that can recognise and respond to foreign antigens by virtue of their clonally expressed T cell antigen receptor (TCR). T cells that have yet to encounter the antigen they recognise are termed 'naive' as they have not been activated to respond. Homeostatic mechanisms maintain the number of T cells at an approximately constant level by controling cell division and death. In normal replete hosts, cell turnover within the naive compartment is very low and naive cells are maintained in a resting state.However, disruption of the homeostatic balance can arise from a wide variety of causes (viral infection (e.g. HIV), or drugs used in peritransplant induction therapy or cancer chemotherapy) and can result in T cell deciency or T lymphopenia. Under conditions of T lymphopenia, naive T cells undergo cell division with a subtle change in the cell surface phenotype (CD44 expression), termed homeostatic proliferation or lymphopenia induced proliferation (LIP). In this thesis, our purpose is to understand the process of T cell homeostatic through mathematical approach. At first, we build a new model that describes the proliferation of T cells in vitro under lymphopenic conditions. Our nonlinear model is composed of ordinary differential equations and partial differential equations structured by age (maturity of cell) and CD44 expression. To better understand the homeostasis of T cells, we identify the parameters that define T cell division by using experimental data. Next, we consider an age-structured model system describing the T cell homeostatic in vivo, and we investigate its asymptotic behaviour. Finally, an optimal strategy is applied in the in vivo model to rebuild immunity under conditions of T lympopenia.

Afin de modéliser le flux sanguin dans les vaisseaux, l'équation de Stokes avec une viscosité variable est considérée dans une structure tubulaire mince, c'est à dire, dans une union de rectangles minces avec des hauteurs d'ordre ε et des bases d'ordre 1. Un développement asymptotique de la solution est construit. Dans le cas des perturbations aléatoires de la viscosité constante, nous prouvons que le premier terme de la vitesse est déterministe, alors que pour la pression, il est aléatoire, mais les espérances de la pression satisfont l'équation déterministe de Darcy. Les estimations pour la différence entre la solution exacte et son approximation asymptotique sont prouvées. Enfin, nous donnons quelques résultats numériques. Nous étendons les résultats à une structure tubulaire mince composée de deux rectangles minces avec des parois élastiques qui sont reliés par un domaine dont les parois sont rigides. Après une approche variationnelle du problème qui nous donne des résultats d'existence, d'unicité, de régularité, et certaines estimations, a priori, nous construisons une solution asymptotique. Nous présentons et résolvons les problèmes de tous les termes du développement asymptotique. Pour deux cas différents, nous décrivons l'ordre des étapes de résolution de l'algorithme du problème et nous construisons le terme principal du développement asymptotique. Et enfin, nous présentons une analyse variationnelle et asymptotique pour un cas plus général où la viscosité dépend du tenseur des déformations dans un canal mince. Par le biais des estimations a priori, nous justifions nos constructions asymptotiques, par l'obtention d'une petite erreur entre les solutions exactes et asymptotiques

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la modélisation de systèmes biologiques complexes. En premier lieu (travail en collaboration avec l'équipe de biologistes de Louis Casteilla), nous introduisons un modèle individus-centré pour étudier l'émergence de structures cellulaires de forme lobulaire dans un réseau organisé de fibres. Une étude paramétrique sur les résultats numériques ainsi que des méthodes de traitement d'images sur les données biologiques nous permettent de montrer que l'émergence de structures biologiquement cohérentes peut être reproduite par un modèle basé essentiellement sur des règles mécaniques entre les cellules et le réseau de fibres. L'originalité de ce modèle réside dans la modélisation de structures géométriques complexes (réseaux de fibres) par un ensemble d'unités élémentaires connectées interagissant à l'aide de fonctionnelles simples. Cette nouveauté a donné lieu à d'autres types de travaux en cours présentés comme perspectives directes de ce travail. Les deuxième et troisième parties portent sur la dérivation d'un modèle cinétique puis macroscopique pour étudier la matrice extra-cellulaire dans sa globalité. L'originalité de notre résultat réside dans l'obtention d'un système d'équations fermé décrivant l'évolution de la distribution des fibres individuelles et des liens de fibres. La limite hydrodynamique de l'équation cinétique est obtenue à l'aide de techniques non conventionnelles dû au un manque d'équation de conservation pour le système étudié. Dans le cas d'une densité homogène de fibres, nous prouvons l'existence de solutions au modèle macroscopique, et les simulations numériques montrent une bonne correspondance entre le modèle macroscopique et son homologue microscopique. Finalement (travail en collaboration avec S. Motsch), nous nous intéressons à l'influence d’interactions de type répulsion cellules-cellules dans un modèle de croissance tumorale. Nous montrons que le modèle macroscopique dérivé des équations microscopiques fait apparaître une instabilité et proposons une version modifiée de l'équation macroscopique que nous sommes capables de relier à la dynamique cellulaire. Les simulations numériques montrent la bonne correspondance entre les deux modèles. / In a first part (work in collaboration with the team of biologists of L. Casteilla) we propose an Individual based model for studying the emergence of lobule-like structures of cells in an organized fiber network. A parametric analysis on the numerical results as well as image processing methods on the biological images enable us to show that biologically-relevant structures can be reproduced by a model mostly based on cell-fiber mechanical interactions. The originality of this model mainly relies in the modelling of complex geometrical structures such as fiber networks as sets of connected elementary units interacting through simple functionals. This novelty has been used to build other types of models presented as direct perspective of this work. The second and third parts lie in the derivation of kinetic and macroscopic models for an interconnected fiber network, closely linked to the microscopic one. The originality of this work lies in the obtained closed system of two evolution equations: one for the distribution of individual fibers and one for the fiber links. In the case of homogeneous fiber density, we show existence of stationary solutions to the macroscopic equation, and numerical simulations show the good correspondence between the microscopic and macroscopic models. Finally (work in collaboration with S. Motsch), we are interested in the role of cell-cell interactions in the invasion properties (speed, geometry...) of a growing mass of cells. We show that the macroscopic model derived from the microscopic one features instabilities, and we propose a modified macroscopic model that we are able to link to the particle dynamics. The numerical simulations show the relevance of the macroscopic model to describe the microscopic dynamics at large scale.

Ce travail de thèse a concerné la modélisation mathématique et l’approximation numérique de l’influence d‘une inclusion très fine sur un substrat élastique de différente rigidité. L’étude est motivée par les applications dans les pneumatiques et ne se base pas sur des techniques d’homogénéisation classiques. En effet, l’objectif a été de traiter l’interaction entre une seule inclusion et son milieu élastique et non une densité d’inclusions. L’étude a comporté trois volets, le premier concernant une modélisation mathématique pour des lois de comportement linéaires aboutissant à une expression de la contribution de l’inclusion sous la forme du champ sans inclusion corrigé par des correcteurs à différents ordres. Ces correcteurs sont indépendants de la taille caractéristique de l’inclusion, Le second a concerné l’approximation numérique de cette influence moyennant la méthode des éléments finis et celle des éléments finis inversés. Une stratégie numérique de prise en compte de l’influence de plusieurs inclusions y est aussi présentée. Le dernier volet est prospectif et discute de la possibilité de l’extension de l’approche pour des lois de comportement non linéaires. / This work focused on mathematical modeling and numerical approximation of the influence of a very thin inclusion on an elastic substrate of different stiffness. The study is motivated by applications in tires and is not based on conventional homogenization techniques. Indeed, the objective was to treat the interaction between a single inclusion and its elastic medium and not a density of inclusions. The study consisted of three parts, the first concerning mathematical modeling for linear behavior laws leading to an expression of the contribution of the inclusion in the form of the inclusion-free field corrected by correctors at different orders. These correctors are independent of the characteristic size of the inclusion. The second relates to the numerical approximation of this influence by means of the finite element method and that of the inverted finite elements. A numerical strategy for taking into account the influence of several inclusions is also presented. The last part is prospective and discusses the possibility of extending the approach for nonlinear behavioral laws.