Nous présentons une étude expérimentale de l'influence d'une rotation d'ensemble sur le déclin d'un écoulement turbulent dans une géométrie confinée. L'écoulement est généré en translatant rapidement une grille dans un récipient parallélépipédique, et nous mesurons les champs de vitesse dans un plan vertical (parallèle à l'axe de rotation) grâce à un dispositif de PIV embarqué. Nous montrons dans un premier temps qu'une partie significative de l'énergie est contenue dans un écoulement moyen reproductible, qui s'identifie à une superposition de modes d'inertie résonnants de la cuve. Le couplage possible entre cet écoulement et la turbulence suggère que la turbulence ainsi créée n'est pas en déclin libre. Nous montrons cependant qu'il est possible d'inhiber l'apparition de ces modes d'inertie en modifiant les caractéristiques géométriques de la grille. Cette nouvelle configuration permet alors de caractériser dans l'espace physique les transferts d'énergie pour une turbulence en déclin libre. L'énergie associée aux incréments de vitesse et la densité de flux d'énergie sont calculées à partir d'un grand nombre de réalisations indépendantes. Nous montrons que la rotation provoque une forte bidimensionalisation de la distribution d'énergie, et que celle-ci est contrôlée par une densité de flux d'énergie qui reste quasi-radiale, mais qui fait apparaître une dépendance angulaire marquée. Enfin, nous étudions également l'écoulement dans un cube, que nous soumettons à une libration longitudinale afin d'exciter les modes observés initialement avec le dispositif de turbulence de grille. En comparant les champs de vitesse expérimentaux aux prédictions numériques des modes inviscides, nous montrons que seul un certain nombre de modes, compatibles avec les symétries du forçage, peuvent être excités par libration. Nous caractérisons en particulier la résonance du mode de plus bas ordre compatible avec les symétries du forçage, et discutons du rôle de la viscosité. / We investigate the effect of a backgroung rotation on the decay of a turbulent flow in a confined geometry. Turbulence is generated by rapidly towing a grid in a parallelepipedic water tank. The velocity fields of a large number of independent decays are measured in a vertical plane parallel to the rotation axis using a corotating Particle Image Velocimetry system. We first show that a significant amount of the kinetic energy is stored in a reproducible flow composed of resonant inertial modes. The possible coupling between these modes and turbulence suggests that turbulence cannot be considered as freely decaying in this configuration. We demonstrate however that these inertial modes may be reduced by changing the geometrical features of the grid. Thanks to this new configuration, anisotropic energy transfers in freely decaying turbulence in a rotating frame can be characterized experimentally in the physical space. The anisotropic energy flux density is determined from large data sets of Particle Image Velocimetry measurements. We show that in the presence of a background rotation, the energy distribution reflects a trend towards a 2D flow. This anisotropy is proved to be essentially driven by a nearly radial, but orientation-dependent, energy flux density. We also analyze the flow in a cubic container submitted to a longitudinal libration in order to generate inertial modes that were originally observed when the "simple" grid was used. By comparing the measured flow fields to the expected inviscid inertial modes, we show that only a subset of inertial modes, matching the symmetries of the forcing, may be excited by the libration. We characterize in particular the resonance of the mode of lowest order compatible with the symmetries of the forcing, and discuss the role of the viscosity.

Nous présentons une étude expérimentale de l'influence d'une rotation d'ensemble sur le déclin d'un écoulement turbulent dans une géométrie confinée. L'écoulement est généré en translatant rapidement une grille dans un récipient parallélépipédique, et nous mesurons les champs de vitesse dans un plan vertical (parallèle à l'axe de rotation) grâce à un dispositif de PIV embarqué. Nous montrons dans un premier temps qu'une partie significative de l'énergie est contenue dans un écoulement moyen reproductible, qui s'identifie à une superposition de modes d'inertie résonnants de la cuve. Le couplage possible entre cet écoulement et la turbulence suggère que la turbulence ainsi créée n'est pas en déclin libre. Nous montrons cependant qu'il est possible d'inhiber l'apparition de ces modes d'inertie en modifiant les caractéristiques géométriques de la grille. Cette nouvelle configuration permet alors de caractériser dans l'espace physique les transferts d'énergie pour une turbulence en déclin libre. L'énergie associée aux incréments de vitesse et la densité de flux d'énergie sont calculées à partir d'un grand nombre de réalisations indépendantes. Nous montrons que la rotation provoque une forte bidimensionalisation de la distribution d'énergie, et que celle-ci est contrôlée par une densité de flux d'énergie qui reste quasi-radiale, mais qui fait apparaître une dépendance angulaire marquée. Enfin, nous étudions également l'écoulement dans un cube, que nous soumettons à une libration longitudinale afin d'exciter les modes observés initialement avec le dispositif de turbulence de grille. En comparant les champs de vitesse expérimentaux aux prédictions numériques des modes inviscides, nous montrons que seul un certain nombre de modes, compatibles avec les symétries du forçage, peuvent être excités par libration. Nous caractérisons en particulier la résonance du mode de plus bas ordre compatible avec les symétries du forçage, et discutons du rôle de la viscosité.

Mon travail de thèse a pour objet l'étude de fluides anisotropes en rotation rapide dans $\mathbb{R}^3$, quand la viscosité tend vers zéro avec le nombre de Rossby $\varepsilon > 0$. J'ai démontré en particulier des résultats d'existence globale pour des données arbitrairement grandes quand le nombre de Rossby $\varepsilon$ tend vers zéro et j'ai mis en lumière le rôle joué par l'effet dispersif. Dans la dernière partie de la thèse, j'ai démontré l'analyticité de la solution globale du système des fluides de grade deux pour des données initiales analytiques petites. Dans la première partie, j'ai considéré les équations de Navier-Stokes avec terme de rotation $\frac{u\wedge e_3}{\varepsilon}$, et avec viscosité verticale nulle et viscosité horizontale petite de l'ordre de $\varepsilon^\alpha$, avec $\alpha > 0$ dans le cas où le système limite, quand $\varepsilon$ tend vers zéro, est nul. J'ai démontré l'existence globale de la solution forte pour des données initiales grandes, quand $\varepsilon > 0$ est suffisamment petit. J'ai suivi la méthode introduite par J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher et E. Grenier, c'est-à-dire, j'ai décomposé le système de départ en un système linéaire avec donnée initiale plus régulière et un système non-linéaire avec donnée initiale petite. Pour le système linéaire, une grande partie du travail consiste à adapter les estimations de Strichartz et à trouver de nouvelles estimations qui tiennent compte de la viscosité petite. Pour le système non-linéaire, j'ai utilisé une méthode de ``bootstrap'', plus délicate que dans le cas classique, à cause de la petitesse de la viscosité. Toujours dans cette première partie, j'ai également considéré le cas où le système limite n'est pas nul. Pour ce cas, j'ai montré, en ajoutant un terme de ``friction'' aux équations considérées, de bonnes estimations dissipatives et surtout de bonnes propriétés pour le système limite, ce qui m'a permis de montrer l'existence globale de solutions fortes. Dans le dernier paragraphe de cette partie, j'ai étudié une application importante de la méthode ci-dessus aux fluides en rotation rapide entre deux plaques infinies dans le cas la viscosité horizontale est petite, de l'ordre de $\varepsilon^\alpha$, $\alpha > 0$. La deuxième partie est un travail en collaboration avec Frédéric Charve (Université Paris 12 - Val de Marne). Il s'agit de l'étude des équations primitives dans $\mathbb{R}^3$ avec, comme précédemment, viscosité verticale nulle et viscosité horizontale de taille $\varepsilon^\alpha$, $\alpha > 0$. Nous avons développé la méthode de la première partie dans le cadre des équations primitives en adaptant au cas anisotrope les calculs faits par F. Charve dans le cas isotrope. La troisième partie est consacrée à l'étude du système de la magnéto-hydrodynamique en rotation rapide dans $\mathbb{R}^3$ dans le cas anisotrope. Je démontre d'abord des résultats d'existence locale (globale pour des données petites) et d'unicité de la solution forte. Avec des paramètres bien choisis, j'ai pu appliquer la méthode développée dans les deux premières parties et montrer que le système de la magnéto-hydrodynamique est globalement bien posé pour des données grandes. Finalement, dans la dernière partie de la thèse, j'ai considéré le problème de propagation de régularité pour le système des fluides de grade deux sur le tore $\mathbb{T}^3$. En utilisant une technique développée par J.-Y. Chemin, j'ai montré que, si la donnée initiale est petite dans une classe de Gevrey appropriée, la solution du système de fluides de grade deux existe globalement en temps, reste dans une certaine classe de Gevrey pour tout temps positif et est donc analytique.

Nous présentons une étude expérimentale de l’effet d’une rotation d’ensemble sur les écoulements turbulents statistiquement stationnaires. Dans une première expérience, l’écoulement est entretenu à l’aide de générateurs de tourbillons contrarotatifs agissant de manière périodique dans une cuve en rotation remplie d’eau. Des mesures résolues en temps des trois composantes de la vitesse sont réalisées, dans des plans horizontaux et verticaux, à l’aide d’un dispositif de vélocimétrie stéréoscopique par images de particules embarqué dans le référentiel tournant. L’écoulement étudié présente, conformément à la littérature, une forte anisotropie et montre l’émergence d’un mode 2D énergétique. Pour la première fois expérimentalement, nous décrivons le bilan global d’énergie entre échelles d’une turbulence en rotation à travers la mesure des termes de l’équation de Kármán-Howarth-Monin généralisée au cas inhomogène. Nous mettons ainsi en évidence la présence d’une double cascade d’énergie : directe à petite échelle et inverse à grande échelle, l’échelle de renversement des cascades étant décroissante avec le taux de rotation. Nous évaluons ensuite la puissance injectée qui est intrinsèquement liée au caractère inhomogène de l’écoulement. L’injection d’énergie provient de l’auto-advection des structures turbulentes traversant les frontières de la zone de contrôle. Elle est large bande en échelles et s’étale à mesure que la rotation croît. Nous nous intéressons ensuite à la pertinence des modèles de turbulence d’ondes d’inertie. Nous réalisons tout d’abord une analyse spatio-temporelle qui révèle la présence d’ondes d’inertie linéaires à grande échelle spatiale et grande fréquence temporelle. En revanche, nous montrons que la signature spatio-temporelle des structures turbulentes associées aux échelles et fréquences faibles est brouillée par le processus linéaire de balayage stochastique par le mode 2D énergétique. Dans une seconde expérience, l’écoulement est engendré par une hélice constituée de quatre pales rectangulaires dans une cuve fermée en rotation. Nous évaluons le taux de dissipation d’énergie à travers la mesure de la puissance injectée par le moteur qui entraîne l’hélice. Nous fournissons alors, pour la première fois, une preuve directe de la loi d’échelle du taux de dissipation d’énergie prédite par la turbulence d’onde d’inertie qui est diminuée d’un facteur Rossby par rapport à la loi d’échelle de la turbulence 3D homogène et isotrope. / We present an experimental study of the effect of global rotation on statistically stationary turbulent flows. In a first experiment, the flow is generated with counter-rotating vortex generators acting in a periodic motion in a rotating tank filled with water. Resolved in time measurements of the three component of the velocity are performed, in both horizontal and vertical planes, thanks to a stereoscopic particle image velocimetry system embarked in the rotating frame. The flow has, in accordance with the bibliography, a strong anisotropy and shows the emergence of an energetic 2D flow. For the first time experimentally, we describe the global scale by scale energy budget of a rotating turbulence through the measure of the terms of the inhomogeneous generalization of Kármán-Howarth-Monin equation. We thus reveal a double energy cascade: direct at small scale and inverse at large scale, the scale of cascade reversal decreasing with the rotation rate. Then, we evaluate the injected power into the system which is intrinsically linked to the inhomogeneities of the flow. The energy input comes from auto-advection of turbulent structures through the boundaries of the area considered. It is broadband in scales and spreads as ration increases. We then focus on relevance of inertial wave turbulence models. We first perform a spatiotemporal analysis which reveals the presence of linear inertial waves at large frequencies and scales. However, we show that the spatiotemporal signature of small frequencies and scales are scrambled by the linear process of stochastic sweeping by the 2D energetic mode. In a second experiment, the flow is created thanks to a four-rectangular-blade impeller in a closed rotating tank. We estimate the energy dissipation rate through the measure of the injected power by the motor that drives the impeller. We then bring, for the first time, a direct evidence of the scaling law predicted by inertial wave turbulence models which is fallen by a factor Rossby compared to the scaling law of 3D homogeneous isotropic turbulence.

Ce manuscrit porte sur les transitions compressible-incompressible dans les équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides. On s'intéresse à deux problèmes : les structures flottantes et les fluides en rotation. Dans le premier problème, l'introduction d'un objet flottant dans les vagues induit une contrainte sur le fluide et les équations gouvernant le mouvement acquièrent une structure compressible-incompressible. Dans le deuxième problème, le mouvement de fluides géophysiques compressibles est influencé par la rotation de la Terre. L'étude de la limite à rotation rapide montre que le champ vectoriel de vitesse tend vers une configuration horizontale et incompressible.Les structures flottantes constituent un exemple particulier d'interaction fluide-structure, où un solide partiellement immergé flotte à la surface du fluide. Ce problème mathématique modélise le mouvement de convertisseurs d'énergie marine. En particulier, on s'intéresse aux bouées pilonnantes, installées proche de la côte où les modèles asymptotiques en eaux peu profondes sont valables. On étudie les équations de Saint-Venant axisymétriques en dimension deux avec un objet flottant à murs verticaux se déplaçant seulement verticalement. Les hypothèses sur le solide permettent de supprimer le problème à bord libre associé avec la ligne de contact entre l'air, le fluide et le solide. Les équations pour le fluide dans le domaine extérieur au solide sont donc écrites comme un problème au bord quasi-linéaire hyperbolique. Celui-ci est couplé avec une EDO non-linéaire du second ordre qui est dérivée de l'équation de Newton pour le mouvement libre du solide. On montre le caractère bien posé localement en temps du système couplé lorsque que les données initiales satisfont des conditions de compatibilité afin de générer des solutions régulières.Ensuite on considère une configuration particulière: le retour à l'équilibre. Il s'agit de considérer un solide partiellement immergé dans un fluide initialement au repos et de le laisser retourner à sa position d'équilibre. Pour cela, on utilise un modèle hydrodynamique différent, où les équations sont linearisées dans le domaine extérieur, tandis que les effets non-linéaires sont considérés en dessous du solide. Le mouvement du solide est décrit par une équation intégro-différentielle non-linéaire du second ordre qui justifie rigoureusement l'équation de Cummins, utilisée par les ingénieurs pour les mouvements des objets flottants. L'équation que l'on dérive améliore l'approche linéaire de Cummins en tenant compte des effets non-linéaires. On montre l'existence et l'unicité globale de la solution pour des données petites en utilisant la conservation de l'énergie du système fluide-structure.Dans la deuxième partie du manuscrit, on étudie les fluides en rotation rapide. Ce problème mathématique modélise le mouvement des flots géophysiques à grandes échelles influencés par la rotation de la Terre. Le mouvement est aussi affecté par la gravité, ce qui donne lieu à une stratification de la densité dans les fluides compressibles. La rotation génère de l'anisotropie dans les flots visqueux et la viscosité turbulente verticale tend vers zéro dans la limite à rotation rapide. Notre interêt porte sur ce problème de limite singulière en tenant compte des effets gravitationnels et compressibles. On étudie les équations de Navier-Stokes-Coriolis anisotropes compressibles avec force gravitationnelle dans la bande infinie horizontale avec une condition au bord de non glissement. Celle-ci et la force de Coriolis donnent lieu à l'apparition des couches d'Ekman proche du bord. Dans ce travail on considère des données initiales bien préparées. On montre un résultat de stabilité des solutions faibles globales pour des lois de pression particulières. La dynamique limite est décrite par une équation quasi-géostrophique visqueuse en dimension deux avec un terme d'amortissement qui tient compte des couches limites. / This manuscript deals with compressible-incompressible transitions arising in partial differential equations of fluid mechanics. We investigate two problems: floating structures and rotating fluids. In the first problem, the introduction of a floating object into water waves enforces a constraint on the fluid and the governing equations turn out to have a compressible-incompressible structure. In the second problem, the motion of geophysical compressible fluids is affected by the Earth's rotation and the study of the high rotation limit shows that the velocity vector field tends to be horizontal and with an incompressibility constraint.Floating structures are a particular example of fluid-structure interaction, in which a partially immersed solid is floating at the fluid surface. This mathematical problem models the motion of wave energy converters in sea water. In particular, we focus on heaving buoys, usually implemented in the near-shore zone, where the shallow water asymptotic models describe accurately the motion of waves. We study the two-dimensional nonlinear shallow water equations in the axisymmetric configuration in the presence of a floating object with vertical side-walls moving only vertically. The assumptions on the solid permit to avoid the free boundary problem associated with the moving contact line between the air, the water and the solid. Hence, in the domain exterior to the solid the fluid equations can be written as an hyperbolic quasilinear initial boundary value problem. This couples with a nonlinear second order ODE derived from Newton's law for the free solid motion. Local in time well-posedness of the coupled system is shown provided some compatibility conditions are satisfied by the initial data in order to generate smooth solutions.Afterwards, we address a particular configuration of this fluid-structure interaction: the return to equilibrium. It consists in releasing a partially immersed solid body into a fluid initially at rest and letting it evolve towards its equilibrium position. A different hydrodynamical model is used. In the exterior domain the equations are linearized but the nonlinear effects are taken into account under the solid. The equation for the solid motion becomes a nonlinear second order integro-differential equation which rigorously justifies the Cummins equation, assumed by engineers to govern the motion of floating objects. Moreover, the equation derived improves the linear approach of Cummins by taking into account the nonlinear effects. The global existence and uniqueness of the solution is shown for small data using the conservation of the energy of the fluid-structure system.In the second part of the manuscript, highly rotating fluids are studied. This mathematical problem models the motion of geophysical flows at large scales affected by the Earth's rotation, such as massive oceanic and atmospheric currents. The motion is also influenced by the gravity, which causes a stratification of the density in compressible fluids. The rotation generates anisotropy in viscous flows and the vertical turbulent viscosity tends to zero in the high rotation limit. Our interest lies in this singular limit problem taking into account gravitational and compressible effects. We study the compressible anisotropic Navier-Stokes-Coriolis equations with gravitational force in the horizontal infinite slab with no-slip boundary condition. Both this condition and the Coriolis force cause the apparition of Ekman layers near the boundary. They are taken into account in the analysis by adding corrector terms which decay in the interior of the domain. In this work well-prepared initial data are considered. A stability result of global weak solutions is shown for power-type pressure laws. The limit dynamics is described by a two-dimensional viscous quasi-geostrophic equation with a damping term that accounts for the boundary layers.

Ce travail de thèse, réalisé dans le cadre d'une convention CIFRE entre TURBOMECA et le CERFACS et en partenariat avec l'IVK, se place dans un contexte d'amélioration des performances des turbines axiales équipant les turboréacteurs d'hélicoptère. Un des points critiques du dimensionnement de tels moteurs est la maitrise de la durée de vie des pales de la turbine haute pression qui font face à de très hautes températures provenant de la chambre de combustion. Les prédictions numériques de l'environnement aérothermique des pales (écoulements dans la veine et système de refroidissement) sont réalisées aujourd'hui dans le milieu industriel à l'aide de la modélisation Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS). Grâce à des capacités de calculs grandissantes, l'approche Simulation aux Grandes Echelles (SGE) offre désormais un nouveau potentiel de prédictions d'écoulements. Les travaux de cette thèse s'intéressent ainsi à la capacité de la SGE à prédire l'écoulement du circuit de refroidissement interne d'une pale de turbine. Pour simplifier l'analyse de ce problème ou plusieurs phénomènes physiques sont en jeu, une progression en trois parties est proposée. La première s'intéresse à l'étude aérothermique de géométries simplifiées de canaux de refroidissement (coude à 180° et canal avec promoteurs de turbulence) en configuration statique. Aux régimes d'écoulement considérés, une approche résolue en paroi avec maillage non-structuré hybride est proposée et validée en vue d'une application industrielle facilitée. La seconde partie étend l'analyse de l'écoulement à un cas de canal avec promoteurs de turbulence en rotation utilisant une méthode de résolution numérique dans un repère absolu. Les investigations des résultats de la SGE fournissent des prédictions moyennes et instationnaires en bon accord avec les expériences disponibles et les travaux précédents aussi bien pour la dynamique de l'écoulement que les transferts de chaleur. Enfin, une troisième partie présente une application de la méthode sur un cas de pale réelle avec couplage thermique entre le circuit de refroidissement et le solide de la pale. Cette dernière partie classée confidentielle n'est pas présente dans le manuscrit disponible publiquement. Les résultats de l'approche résolue en paroi et de la rotation dans le repère absolu comparés aux résultats RANS disponibles pour le cas applicatif montrent d'importante différences locales et ainsi le potentiel de la méthode proposée.