Le but de ce mémoire est de présenter une approche qui utilise les techniques d’analyse fonctionnelle pour étudier les fonctions holomorphes presque périodiques à plusieurs variables. Ces fonctions sont présentées comme des sections holomorphes d’un fibré vectoriel holomorphe de Banach associé à un revêtement régulier sur une variété de Stein. Cette approche nous permettra d’établir un théorème de prolongement pour les fonctions holomorphes presque périodiques. / The aim of this thesis is to present an approach that uses functionnal analysis methods to the study of almost periodic functions of several variables. These functions are presented as holomorphic sections of holomorphic Banach vector bundle associated to a regular covering over a Stein manifold. This approach will allow us to establish an extension theorem for holomorphic almost periodic functions.

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Bochum, Univ., Diss., 2002. / Computerdatei im Fernzugriff.

Bochum, Univ., Diss., 2002. / Computerdatei im Fernzugriff.

Bochum, University, Diss., 2002.

Th. 3e cycle--Math. pures--Lille 1, 1980. N°: 840.

L'attracteur de certains systèmes de fonctions itérées de similitudes dépendant de façon holomorphe d'un paramètre ainsi que l'ensemble de Julia de certaines familles holomorphes de polynômes hyperboliques sont mouvements holomorphes pour lesquels il a été montré que la réciproque de la dimension de Hausdorff peut s'écrire comme l'infimum d'une famille de fonctions harmoniques positives. Ces résultats motivent l'énonciation d'une conjecture concernant la variation de la dimension d'un mouvement holomorphe quelconque. Ce mémoire a pour objectif d'introduire les fonctions inf-harmoniques, d'étudier la littérature qui établit un lien entre ces dernières et les mouvements holomorphes et de dresser une piste de réponse à la conjecture.

Dans cette thèse, nous étudions la sommabilité du développement de Taylor de fonctions appartenant à certains espaces de Banach de fonctions holomorphes sur le disque unité. Le premier chapitre sert d'introduction à la théorie de la sommabilité dans les espaces de Banach. Nous y présentons les principaux concepts tels que la définition d'une méthode de sommabilité, la définition d'inclusion de méthodes de sommabilité et le théorème de Silverman-Toeplitz. La première partie comporte deux chapitres. Nous présentons les propriétés principales de certaines familles de méthodes de sommabilité. Plus précisément, nous présentons les principales méthodes de sommabilité étudiées dans cette thèse : les méthodes de Cesàro, les méthodes de Riesz arithmétiques et les méthodes de série de puissances dont les méthodes d'Abel généralisées, de Borel généralisées et la méthode logarithmique. Nous présentons aussi les relations entre chacune de ces méthodes lorsqu'elles sont restreintes aux suites de scalaires. La deuxième partie comporte deux chapitres et porte sur la sommabilité dans les espaces de Dirichlet pondérés D[indice ω] où ω est une fonction non-négative et surharmonique. Nous exposons brièvement ces espaces de Hilbert au premier chapitre de cette deuxième partie. Ensuite, nous montrons que les moyennes de Cesàro d'ordre α > 1/2 des sommes partielles de la série de Taylor convergent vers la fonction originale dans la norme de D[indice ω]. Lorsque α = 1/2, on montre que ce n'est plus le cas et il existe une fonction f ∈ D[indice ω] telle que les moyennes de Cesàro d'ordre α = 1/2 des sommes partielles de sa série de Taylor ne sont pas bornées en norme. Ce résultat contraste grandement avec le résultat de M. Riesz pour l'espace A(D) (l'algèbre du disque) et le résultat de Hardy pour l'espace H¹ (espace de Hardy). Les résultats de cette partie ont été publiés dans le journal Complex Analysis and Operator Theory. La troisième partie a trois chapitres et traite des espaces de de Branges-Rovnyak. Après avoir présenté brièvement la théorie de ces espaces au premier chapitre de cette partie, nous démontrons qu'il existe un espace de de Branges-Rovnyak de fonctions holomorphes sur le disque unité et une fonction f de cet espace avec les propriétés suivantes : même si f peut être approximée par des polynômes dans la norme de l'espace, ni les sommes partielles, ni les moyennes de Cesàro, d'Abel, de Borel et logarithmiques ne convergent vers f dans la norme de l'espace. L'instrument principal pour démontrer ce théorème est un résultat puissant, montré dans la première partie, qui permet d'étendre aux suites de vecteurs dans un espace de Banach une propriété d'une méthode de sommabilité vraie pour les suites de scalaires. Les résultats de cette partie ont été soumis au journal Integral Equations and Operator Theory. Enfin, la dernière partie de cette thèse traite d'un cas exceptionnel d'espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur le disque unité. En utilisant le concept de base de Markushevich et en adaptant une construction de Johnson, nous construisons un espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur le disque unité tel que les polynômes sont denses, mais les polynômes impairs ne sont pas denses dans l'espace des fonctions impaires. Comme conséquence de ce résultat, nous montrons qu'il existe une fonction f qui n'appartient pas à la fermeture de l'espace vectoriel engendré par les sommes partielles de la série de Taylor de f. Ainsi, aucune méthode de sommabilité triangulaire appliquée aux sommes partielles ne permet d'approximer la fonction f dans la norme de l'espace. Les résultats de cette partie et quelques variantes de celui-ci ont été soumis au journal Constructive Approximation. / In this thesis, we study summability questions on the Taylor expansion of functions belonging to certain Banach spaces of holomorphic functions on the unit disk. The first chapter serves as an introduction to the theory of summability in Banach spaces. We present the main concepts such as the definition of a summability method, the definition of inclusion of summability methods and the Silverman-Toeplitz theorem in the Banach space setting. The first part consists of two chapters and presents the main properties of certain families of summability methods. More precisely, we present the main summability methods studied in this thesis : Cesàro's methods, Riesz's discrete arithmetic methods and power series methods including generalized Abel, generalized Borel and logarithmic methods. We also present the relations between each of these methods when they are restricted to sequences of scalars. The second part has two chapters and deals with summability in weighted Dirichlet spaces D[subscript ω] where ω is a non-negative superharmonic function. We briefly introduce these Hilbert spaces in the first chapter of this second part. Then we show that the Cesàro means of order α > 1/2 of the partial sums of the Taylor series converge to the original function in the norm of D[subscript ω]. When α = 1/2, we show that this is no longer the case and there exists a function f ∈ D[subscript ω] such that the Cesàro means of order α = 1/2 of the partial sums of its Taylor series are unbounded in norm. This result contrasts sharply with M. Riesz's classical result on the convergence of Cesàro means of order α > 0 in the space A(D) (the disk algebra) and Hardy's classical result on the convergence of the Cesàro means of order α > 0 in the space H¹ (the Hardy space). The results of this part have been published in the journal Complex Analysis and Operator Theory. The third part consists of three chapters and treats the de Branges-Rovnyak spaces. After having briefly presented the theory of de Branges-Rovnyak spaces in the first chapter of this part, we prove that there exists a de Branges-Rovnyak space of holomorphic functions on the unit disk and a function f belonging to this space with the following properties : even if f can be approximated by polynomials in the norm of the space, neither the partial sums, nor the Cesàro, Abel, Borel and logarithmic means converge to f in the norm of the space. The main instrument to prove this theorem is a powerful result, established in the first part, which allows extending a property of a summability method valid over sequences of scalars to the sequences of vectors in a Banach space. The results of this part have been submitted to the journal Integral Equations and Operator Theory. Finally, the last part of this thesis treats an exceptional case of Hilbert space of holomorphic functions on the unit disk. Using the concept of a Markushevich basis and by adapting a construction of Johnson, we construct a Hilbert space of holomorphic functions on the unit disk such that the polynomials are dense but the linear vector space spanned by the odd polynomials is not dense in the space of odd functions. As a consequence of this result, we show that there exists a function f which does not belong to the closure of the linear span of the partial sums of the Taylor series of f. Thus no triangular summability method applied to the partial sums can approximate the function f in the norm of the space. The results of this part and some variants of it have been submitted to the journal Constructive Approximation.

L'attracteur de certains systèmes de fonctions itérées de similitudes dépendant de façon holomorphe d'un paramètre ainsi que l'ensemble de Julia de certaines familles holomorphes de polynômes hyperboliques sont mouvements holomorphes pour lesquels il a été montré que la réciproque de la dimension de Hausdorff peut s'écrire comme l'infimum d'une famille de fonctions harmoniques positives. Ces résultats motivent l'énonciation d'une conjecture concernant la variation de la dimension d'un mouvement holomorphe quelconque. Ce mémoire a pour objectif d'introduire les fonctions inf-harmoniques, d'étudier la littérature qui établit un lien entre ces dernières et les mouvements holomorphes et de dresser une piste de réponse à la conjecture.

Soit f un germe de fonction holomorphe dans deux variables qui s'annule à l'origine. L'ensemble zéro de cette fonction définit un germe de courbe analytique. Bien que la classification topologique d'un tel germe est bien connue depuis les travaux de Zariski, la classification analytique est encore largement ouverte. En 2012, Hefez et Hernandes ont résolu le cas irréductible et ont annoncé le cas de deux components. En 2015, Genzmer et Paul ont résolu le cas des fonctions topologiquement quasi-homogènes. L'objectif principal de cette thèse est d'étudier la première classe topologique de fonctions non quasi-homogènes. Dans le deuxième chapitre, nous décrivons l'espace local des modules des feuillages de cette classe et nous donnons une famille universelle de formes normales analytiques. Dans le même chapitre, nous prouvons l'unicité globale de ces formes normales. Dans le troisième chapitre, nous étudions l'espace des modules de courbes, qui est l'espace des modules des feuillages à une équivalence analytique des séparatrices associées près. En particulier, nous présentons un algorithme pour calculer sa dimension générique. Le quatrième chapitre présente une autre famille universelle de formes normales analytiques, qui est globalement unique aussi. En effet, il n'ya pas de modèle canonique pour la distribution de l'ensemble des paramètres sur les branches. Ainsi, avec cette famille, nous pouvons voir que la famille précédente n'est pas la seule et qu'il est possible de construire des formes normales en considérant une autre distribution des paramètres. Enfin, pour la globalisation, nous discutons dans le cinquième chapitre une stratégie basée sur la théorie géométrique des invariants et nous expliquons pourquoi elle ne fonctionne pas jusqu'à présent. / Let f be a germ of holomorphic function in two variables which vanishes at the origin. The zero set of this function defines a germ of analytic curve. Although the topological classification of such a germ is well known since the work of Zariski, the analytical classification is still widely open. In 2012, Hefez and Hernandes solved the irreducible case and announced the two components case. In 2015, Genzmer and Paul solved the case of topologically quasi-homogeneous functions. The main purpose of this thesis is to study the first topological class of non quasi-homogeneous functions. In chapter 2, we describe the local moduli space of the foliations in this class and give a universal family of analytic normal forms. In the same chapter, we prove the global uniqueness of these normal forms. In chapter 3, we study the moduli space of curves which is the moduli space of foliations up to the analytic equivalence of the associated separatrices. In particular, we present an algorithm to compute its generic dimension. Chapter 4 presents another universal family of analytic normal forms which is globally unique as well. Indeed, there is no canonical model for the distribution of the set of parameters on the branches. So, with this family, we can see that the previous family is not the only one and that it is possible to construct normal forms by considering another distribution of the parameters. Finally, concerning the globalization, we discuss in chapter 5 a strategy based on geometric invariant theory and explain why it does not work so far.