Nous nous intéressons aux opérateurs de Hankel $H_{bar{f}}$ de symbole anti holomorphe $bar{f}$ et regardons l'espace de Dixmier $mathcal{D}^{p}$ associé ($pgeq1$), c'est à dire l'ensemble des $f$ tel que $|H_{bar{f}}|^{p}$ soit dans l'idéal de Macaev $mathcal{S}^{+}_{1}$. Notre approche est de voir l'espace de Dixmier comme une certaine limite des classes de Schatten. Quand $f in mathcal{D}^{p}$, nous étudions $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ la trace de Dixmier de $|H_{bar{f}}|^{p}$. Nous redémontrons certains résultats classiques quand $f$ est holomorphe sur le disque alors que nous donnons de nouveaux résultats quand $f$ est entière. Nous utilisons notre méthode pour étudier l'espace de Dixmier du petit opérateur de Hankel, des opérateurs de Toeplitz $T_{varphi}$ ($varphi$ définie sur le disque ou sur le plan complexe tout entier) ainsi que pour l'opérateur de composition. / We study Hankel operators $H_{bar{f}}$ with anti holomorphic symbol $bar{f}$ and we are interested to the Dixmier space $mathcal{D}^{p}$ ($pgeq1$), the set of functions $f$ such that $|H_{bar{f}}|^{p} in mathcal{S}^{+}_{1}$ the Macaev ideal. We look Dixmier space as a limit of Schatten class. When $f in mathcal{D}^{p}$, we study $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ the Dixmier trace of $|H_{bar{f}}|^{p}$. We have different results when $f$ is an entire or a holomorphic function of the unit disk in the complex plan. We study also the Dixmier space of the little Hankel operator, Toeplitz operator and composition operator.

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Nous généralisons au contexte des faisceaux analytiques cohérents un résultat classique de Koszul-Malgrange concernant l'intégrabilité des connexions de type $(0,1)$ sur un fibré vectoriel complexe $(\cal C)^(\infty)$ au dessus d'une variété complexe. En introduisant la notion de faisceau $\bar(\partial)$-cohérent, qui est une notion qui vit dans le contexte $(\cal C)^(\infty)$, nous montrons l'existence d'une équivalence (exacte) entre la catégorie des faisceaux analytiques cohérents et la catégorie des faisceaux $\bar(\partial)$-cohérents. L'application principale de cette caractérisation est une méthode (la $\bar(\partial)$-stabilité) qui permet de trouver des structures analytiques lesquelles sont obtenues par déformation $\ci$ d'autres structures analytiques. En suite nous conjecturons, comme dans le cas analytique complexe, que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction $u$ sur une variété presque complexe est équivalente à la positivité du $(1,1)$-courant $i\partial\bar(\partial)u$. Nous montrons la nécessité de la positivité de ce courant. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d'une fonction semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu ou elle vaut $-\infty$.

Ce travail comprends deux parties indépendantes, mais intimement liées. La première partie concerne le calcul et l'évaluation numérique des invariants holomorphes des difféomorphismes tangents à l'identité, dans le cas-type. On y expose notamment trois méthodes de calculs numériques, dont l'une est basée sur une formule explicite des invariants. Celle-ci résulte de l'évaluation de l'application de cornes 7[+, dont les ingrédients de base sont des rationnels, des coefficients de Taylor du difféomorphisme étudié et des multitangentes. La seconde partie concerne l'étude des multitangentes et des relations les liant entre elles. Il s'agit de fonctions I-périodiques, généralisant les séries d'Eisenstein, et définissant un moule symétr~l. D'autres relations existent, tels la réduction en monotangentes qui indique un lien profond entre les multitangentes et les multizêtas. Des propriétés et conjectures de nature purement algébrique, arithmétique ou analytique sont ensuite exposées.

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes très naturels en géométrie algébrique complexe.<br />La première question étudiée est de savoir si le revêtement universel d'une variété kählérienne lisse compacte avec un fibré tangent décomposé est un produit de deux variétés. A l'aide des familles couvrantes de courbes rationnelles nous montrons que certaines variétés avec un fibré tangent décomposé possèdent une structure d'espace fibré. Une étude systématique nous permet de donner une réponse affirmative à la question pour plusieurs classes de variétés.<br />La deuxième question étudiée est de savoir si la positivité d'un fibré en droites implique la positivité de l'image directe, par un morphisme projectif et plat, du fibré en droites adjoint. La réponse à cette question dépend de la positivité du fibré en droites et de ses liens avec la géométrie du morphisme considéré. Nous donnons une réponse positive à la question sous de faibles conditions géométriques.

Ce mémoire étudie les dynamiques holomorphes glocales, celles qui sont l'expression (locale) dans un germe de carte d'une dynamique holomorphe (globale) sur une variété projective complexe. On y établit l'existence de germes de feuilletages holomorphes du plan complexe qui ne sont localement conjugués à aucun feuilletage algébrique. Cette preuve repose sur un théorème de type Baire, dans lequel les unions dénombrables de fermés analytiques propres (ensembles analytiquement maigres) sont d'intérieur vide. La notion d'analyticité (en dimension infinie) utilisée est celle associée à des topologies localement convexes particulières sur l'algèbre différentielle des germes de fonctions holomorphes en un point. On en déduit par ailleurs que les germes holomorphes satisfaisant des relations analytiques "raisonnables" constituent un ensemble analytiquement maigre. Ce mémoire discute ensuite la description "explicite" d'un exemple de système non glocal. Une méthode calculable de réalisation de feuilletages nœuds-cols, d'invariants de Martinet-Ramis prescrits, est décrite. La production d'un exemple est donc ramenée à la caractérisation effective des invariants de Martinet-Ramis de feuilletages glocaux. Une conjecture de type Hermite-Lindemann, allant dans ce sens, est ensuite présentée. Enfin ce mémoire présente une généralisation de la construction de la monodromie de Marín-Mattei, cet objet étant un invariant local des feuilletages singuliers du plan complexe. On espère ici encore pouvoir obtenir des caractérisations partielles des monodromies de feuilletages glocaux. Les hypothèses permettant de réaliser la construction, portant sur le type de réduction de la singularité, sont affaiblies et des exemples montrant leur optimalité sont présentés.

L'équation de Weinstein á coefficients complexes est une équation régissant les Potentiels á Symétrie Axiale (PSA) qui s'écrit $L_m[u]=\Delta u+\left(m/x\right)\d_x u =0$, oú $m\in\C$. Cette équation intervient notamment pour la modélisation du bord du plasma dans un Tokamak pour $m=-1$, ou encore elle est, lorsque $m=1$, appelée équation de Ernst linéarisée (équation permettant de donner explicitement des solutions aux équations d'Einstein). Ici, on généralise des résultats connus pour $m\in \R$ au cas $m\in\C$ (on donne des expressions explicites de solutions fondamentales aux opérateurs de Weinstein et leurs estimations au voisinage des singularités, puis on démontre une formule de Green pour les PSA dans le demi-plan droit $\H^+$ pour Re $m< 1$). On prouve un nouveau théoréme de décomposition des PSA dans des domaines annulaires quelconques pour $m\in\C$ et dans une géométrie annulaire particuliére faisant intervenir les coordonnées bipolaires, on prouve toujours pour $m\in\C$ qu'une famille de solutions des PSA en termes de fonctions de Legendre Associées de premiére et seconde espéce forme une famille compléte (par une méthode de quasi-séparabilité des variables et par une analyse de Fourier) permettant d'exprimer les PSA sous forme de série et lorsque $m\in \R$, on montre que cette famille est même une base de Riesz dans certains anneaux á bord circulaire non concentrique. Dans une deuxiéme partie, par une méthode qui est due á A. S. Fokas, on donne, sous forme intégrale explicite, des formules des PSA dans un domaine circulaire du demi-plan droit $\H^+$, dans le cas oú le paramétre $m$ est un entier relatif. Ces représentations sont obtenues par la résolution d'un probléme de Riemann-Hilbert sur le plan complexe ou sur une surface de Riemann á deux feuillets selon la parité du coefficient $m$. Ces formules font intervenir de façon explicites les données Dirichlet et Neumann des PSA. On montre aussi que cette méthode s'applique á tous les domaines simlement connexe de $\H^+$ á bord régulier. Dans la derniére partie, on étudie une classe de fonctions qui englobe les PSA, ce sont les fonctions pseudo-holomorphes, {\it i. e.} les solutions de l'équation $\bar\d w=\alpha\overline{w}$. avec $\alpha\in L^r$, $2\leq r<\infty$. Un résultat qui semble être le tout premier de son genre a été obtenu, c'est une extension de la régularité du principe de similarité (décomposition des fonction pseudo-holomorphe sous la forme $e^s F$ sous certaines hypothéses de régularités et oú $F$ est une fonction holomorphe) et une réciproque de ce principe qui conduit á un paramétrage analytique de cette classe de fonctions dans le cas critique $r=2$. Puis en utilisant la connexion entre les fonctions pseudo-holomorphes et les solutions de l'équation de Beltrami conjuguée, on résoud un probléme de Dirichlet á données $L^p$ pondérées sur des domaines lisses pour des équations du type conductivité á coefficient dont le log appartient á l'espace de Sobolev $W^{1,2}$.

Nous étudions différentes propriétés d'hyperbolicité pour les variétés intersection complète. Étant donnée une variété intersection complète lisse X ⊂ M dans une variété projective complexe lisse, nous démontrons que si k est plus grand que dim X/ codimM X et si le multidegré de X est suffisamment grand alors il existe sur X des équations différentielles de jets d'ordre k et de degré m pour m suffisamment grand. Ensuite nous étudions une conjecture de O. Debarre : si X ⊂ P^N est l'intersection d'au moins N/2 hypersurfaces génériques de degré suffisamment grand, alors le fibré cotangent de X est ample. Nous donnons différents résultats partiels en direction de cette conjecture. Nous démontrons que si X vérifie les hypothèses de la conjecture alors X est hyperbolique et le fibré cotangent de X est numériquement positif, gros, et ample en dehors d'un lieu de codimension au moins 2. Nous donnons ensuite une stratégie pour calculer explicitement des formes différentielles symétriques sur des variétés intersection complète particulières. Enfin, nous démontrons un théorème d'annulation pour la cohomologie des fibrés de différentielles de jets de Green-Griffiths, généralisant ainsi un théorème de Schneider et un théorème de Diverio. Pour finir, nous étudions la cohomologie des fibrés en droites sur l'hypersurface universelle des diviseurs dans P^1.

L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements. / Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups.

Les travaux de cette thèse relèvent du domaine de la théorie des opérateurs, et se situent à l'interface de l'analyse complexe, de la théorie des semi-groupes et de la théorie de l'universalité. Le premier résultat principal de cette thèse relève de l'étude des opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes : nous déterminons le spectre d'un opérateur de composition par un symbole de Koenigs sur l'espace des fonctions holomorphes sur le disque unité, et en déduisons des informations sur la forme générale du spectre des opérateurs de composition par un symbole de Koenigs sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes. L'outil principal que nous développons pour notre étude est une description des projections spectrales associées à ces opérateurs. Le second résultat principal de cette thèse relève de la théorie de l'universalité : nous étendons aux semi-groupes d'opérateurs la notion d'opérateur universel, et établissons l'existence d'un semi-groupe universel pour les semi-groupes quasi-contractifs en exhibant un semi-groupe sur un espace de fonctions holomorphes. Nous élargissons ensuite ce résultats aux semi-groupes d'opérateurs concaves / The works in this thesis address topics from operator theory and involves ideas and notions arising from complex analysis, the theory of operator semigroups and the theory of universality. The first main result of this thesis relates to the study of composition operators on spaces of holomorphic functions: we compute the spectrum of an operator of composition by a Koenigs's symbol acting on the space of holomorphic functions on the open unit disk, and derive from it the general description of the spectrum of composition operators on Banach spaces of holomorphic functions. The key tool we develop in this study is a description of spectral projections associated with such operators.The second main result of this thesis relates to the thoery of universality: we extend to operator semigroups the notion of universality. Then, we prove the existence of a universal semigroup for quasi-contractive operators semigroups. We then show a similar result for concave semigroups