Dans la première partie de cette thèse, on donne, sous certaines hypothèses, une minoration du nombre de points d’intersections d’une sous-variété Lagrangienne monotone L avec son image par une isotopie Hamiltonienne. Dans le cas où L est un espace K(pi, 1), et en particulier à courbure sectionnelle strictement négative, le minorant est 1 + beta1(L), où beta1 est le premier nombre de Betti à coefficients dans Z2. Une autre conséquence est la non-déplaçabilité d’un plongement Lagrangien monotone de RPn × K (où K est une sous-variété à courbure sectionnelle strictement négative telle que H1(K, Z) ≠ 0) dans certaines variétés symplectiques. Dans la seconde partie, on considère une sous-variété Lagrangienne monotone L non déplaçable. En utilisant l’homologie de Floer définie pour les Lagrangiennes qui sont C-1-proches de L, on obtient des informations sur son nombre de Maslov. De plus, si L peut être approchée par une suite de Lagrangiennes déplaçables, alors, sous certaines hypothèses topologiques sur L, l’énergie de déplacement des éléments de cette suite tend vers l’infini. / N the first part of the thesis, we give, under some hypotheses, a lower bound on the intersection number of a closed monotone Lagrangian submanifold L with its image by a generic Hamiltonianisotopy. For monotone Lagrangian submanifolds L which are K(pi, 1) and, in particular with negative sectional curvature, this bound is 1 + beta_1(L), where beta_1 is the first Betti number with coefficients in Z_2. Another consequence, is the non-displaceability of a monotone Lagrangian embedding of RPn x K (where K is a submanifold with negative sectional curvature such that H^1(K, Z) ≠ 0) in some symplectic manifolds. In the second part, given a closed monotone Lagrangian submanifold L, which is not displaceable, we use Floer homology defined on Lagrangians which are C^1 - close to L, to get information about it Maslov number. Besides, if L can be approached by a sequence of displaceable Lagrangians, then, under some topological assumptions on L, the displacement energy of the elements of this sequence converge to infinity.

Nous définissons deux nouvelles versions de l'homologie de Floer, l'homologie de Floer-Novikov et l'homologie de Floer relevée. Nous les appliquons pour obtenir de nouveaux résultats sur la conjecture d'Arnold concernant sous-variétés lagrangiennes exactes du fibré cotagent et sur la conjecture d'Audin qui porte sur le nombre de Maslov d'une sous-variété lagrangienne asphérique de l'espace euclidien.

La condition de monotonie pour les sous-variétés lagrangiennes a été introduite par Oh en 1993. C'est une version relative d'une condition définie par Floer pour les variétés symplectiques. Ces conditions permettent d'obtenir la bonne définition d'homologies de type Floer, en particulier de l'homologie de Floer lagrangienne, outil très utile pour l'étude de plongements lagrangiens.<br /> <br />Dans cette thèse, nous exploitons les hypothèses de monotonie en théorie de Floer sous deux aspects. Un premier aspect est l'étude d'une nouvelle famille d'exemples de variétés symplectiques monotones et de leurs sous-variétés lagrangiennes monotones. Cette famille d'exemples est construite par découpe symplectique à partir du cotangent de variétés munies d'une action libre du cercle. Un second aspect est la construction d'une homologie de type Floer-Novikov pour des sous-variétés lagrangiennes d'un cotangent qui sont dites monotones sur les lacets. On en déduit de nouveaux résultats d'obstruction de plongements lagrangiens monotones sur les lacets dans le cotangent de variétés qui fibrent sur le cercle.

Les groupes d'homologie de Floer pour varietes compactes a bord de type contact n'ont pas de correspondant topologique, a la difference des varietes fermees. Le but de cette these est d'en donner des proprietes qualitatives lorsque la variete est munie de structures topologiques supplementaires. Nous avons en vue les fibrations symplectiques (eventuellement triviales). Le premier chapitre de la these comprend deux parties : la premiere compare les differentes constructions de l'homologie de Floer et met en relief le principe specifique aux varietes a bord, a savoir la necessite d'obtenir des estimations a priori sur les solutions de l'equation de Floer. On explique comment les groupes d'homologie de Floer sont relies a la conjecture de Weinstein et on calcule par une methode nouvelle la cohomologie d'une boule dans un espace vectoriel complexe. La deuxieme partie presente une extension de la definition des groupes d'homologie de Floer par des hamiltoniens ``asymptotiquement lineaires", extension que nous utiliserons par la suite. Nous travaillons directement dans des varietes non compactes convexes a l'infini, qui sont des completees symplectiques de varietes compactes a bord de type contact. Le deuxieme chapitre demontre la formule de Kunneth en homologie de Floer pour un produit de varietes a bord de type contact restreint. Ceci correspond au cas d'une fibration triviale. Le troisieme chapitre donne une interpretation de la suite spectrale de Leray-Serre classique en termes exclusifs d'homologie de Morse, qui constitue un modele simple pour l'homologie de Floer. Le quatrieme chapitre etudie l'existence d'une suite spectrale de Leray-Serre pour un certain type de fibrations symplectiques a bord au-dessus d'une base fermee. L'existence de la suite spectrale est etablie pour les fibres en droites hermitiens a courbure negative. Dans le cas general, son existence est ramenee a une estimation d'energie pour trajectoires de Floer, qui est conjecturee.

Dans cette thèse, on étudie les propriétés des sous-variétés lagrangiennes dans une variété symplectique en utilisant la relation de cobordisme lagrangien. Plus précisément, on s'intéresse à déterminer les conditions pour lesquelles les cobordismes lagrangiens élémentaires sont en fait triviaux. En utilisant des techniques de l'homologie de Floer et le théorème du s-cobordisme on démontre que, sous certaines hypothèses topologiques, un cobordisme lagrangien exact est une pseudo-isotopie lagrangienne. Ce resultat est une forme faible d'une conjecture due à Biran et Cornea qui stipule qu'un cobordisme lagrangien exact est hamiltonien isotope à une suspension lagrangianenne. / In this thesis we study the properties of Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold by using the relation of Lagrangian cobordism. More precisely, we are interested in determining when an elementary Lagrangian cobordism is trivial. Using techniques coming from Floer homology and the s-cobordism theorem, we show that under some topological assumptions, an exact Lagrangian cobordism is a Lagrangian pseudo-isotopy. This is a weaker version of a conjecture proposed by Biran and Cornea, which states that any exact Lagrangian cobordism is Hamiltonian isotopic to a Lagrangian suspension.

L'objectif de cette thèse est d'investiguer la relation entre l'homologie de contact Legendrienne d'une variété de contact de dimension 3, et l'entropie topologique des flots de Reeb associés à cette variété de contact. Une variété de contact est une variété differentielle M de dimension impaire munie d'un champ d'hyperplan Y maximalement non-intégrable. Les champs de Reeb sont une classe speciale de champs de vecteurs sur M qui sont définis en utilisant la structure de contact; ils préservent la structure de contact et ils préservent aussi une forme de volume sur M.<p><p>L'entropie topologique h est un nombre non-négatif qu'on associe à un système dynamique et qui mesure la complexité de ce système. Si un système dynamique est d'entropie topologique positive, on dit que ce système est chaotique.<p><p>Comme les champs de Reeb sont construits en utilisant la structure de contact Y, il est naturel d'attendre que la topologie de (M,Y) influence la dynamique des champs de Reeb auxquels elle est associée. En particulier, il est naturel de se demander s'il existe des variétés de contact dont tous les champs de Reeb associés ont une entropie topologique positive. Si une varieté de contact a cette propriété, on dira qu'elle est d'entropie positive. <p><p>Macarini et Schlenk ont été les premiers à étudier cette question. Ils ont montré qu'il existe un grand ensemble de variétés différentielles Q, telles que le fibré unitaire T_1 Q muni de sa structure de contact canonique Y_{can} est d'entropie topologique positive. Plus précisement, ils ont utilisé l'homologie de Floer Lagrangienne, qui est un invariant symplectique, pour montrer que si Q est rationnellement hyperbolique alors (T_1 Q,Y_{can}) est d'entropie positive. <p><p>Pour étudier l'entropie topologique dans le cas où M n'est pas un fibré unitaire on substitue à l'homologie de Floer Lagrangienne un invariant plus naturel des variétés de contact: l'homologie de contact Legendrienne à bandes. On demontre dans cette thèse que l'homologie de contact Legendrienne à bandes est bien adaptée pour étudier l'entropie topologique. Plus précisement, on montre que quand l'homologie de contact Legendrienne à bandes est bien définie pour un champ de Reeb associé à (M,Y) et sa croissance est exponentielle, alors (M,Y) est d'entropie positive. <p><p>On utilise ce résultat pour trouver des nouveaux exemples de variétés de contact de dimension 3 qui sont d'entropie positive. On montre même qu'il y a des variétés de dimension 3 qui possèdent une infinité de structures de contact différentes qui sont toutes d'entropie positive. Ces résultats et bien d'autres nous permettent de conjecturer que la ``plupart' des variétés de contact de dimension 3 sont d'entropie positive. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse établit l'existence d'une variante de l'homologie de Floer de type Morse-Bott. Étant donnés une variété torique (W²ⁿ, ω, µ) et un hamiltonien H : W × S ¹ → ℝ invariant par l’action du tore de dimension n Tⁿ, , les orbites de H sont stables par l’action torique. Cette dernière admettant des points fixes dans W, elle n’est pas libre, pareillement pour celle induit sur les lacets de W et il est, a priori, impossible de construire une théorie de Morse-Bott équivariante au niveau de C∞(S¹, W)/Tⁿ. Nous remédions à ce problème en adoptant la construction de Borel : nous choisissons un espace E contractile muni d’une action libre du tore regardons l’homologie de Morse-Bott en dimension infinie de l’espace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ où Tⁿ agit cette fois de manière diagonale sur le produit.L’homologie obtenue est un invariant pour les variétés symplectiques toriques et nous le calculons dans le cas d’une variété fermée. / This thesis establishes the existence of a version of Floer homology in a Morse-Bottcontext. Given a toric manifold (Wⁿ, ω, µ) and a hamiltonian H : W × S¹ → ℝ invariant bythe action of the torus Tⁿ, the periodical orbits of H are stable by the toric action.The latter admits fix points in W and hence it not free, neither one induced on the spaceof the loops of W and it is, a priori, impossible to establish a equivariant infinite-dimensionalMorse-Bott theory on C∞(S¹, W)/Tⁿ. We deal with this problem using Borel’s construction : we choose a space contractible E witha free action from the torus and look at the infinite-dimensional Morse-Bott homology of thespace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ where Tⁿ act in a diagonal way on the product.We obtain an invariant for symplectic toric manifold and computes it for a closed manifold.

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L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements. / Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups.

Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur. Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus- ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba- tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]). Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono- tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞ sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc- ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh]) muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea ([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description (relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison. / We define objects made of marked complex disks connected by metric line seg- ments and construct two sequences of moduli spaces of these objects, referred as the ⊗ version (nonsymmetric) and the • version (symmetric). This allows choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer trajectories proposed by Cornea and Lalonde ([CL]). These perturbations are intended to lead to an alternative geometric description of the (obstructed) A∞ and L∞ structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono ([FOOO2],[FOOO]) and Cho ([Cho]). Given a Pin± monotone lagrangian submanifold L ⊂ (M, ω) with mini- mal Maslov number ≥ 2, we define an A∞ -algebra structure from the critical points of a generic Morse function on L. We express this structure as a cochain complex extending the pearl complex introduced by Oh ([Oh]) and further ex- plicited by Biran and Cornea ([BC]), equipped with its quantum product. This could also be seen as an alternative geometric description of a Fukaya cate- gory of (M, ω) with L as its only object, a hamiltonian relative version appear- ing in [Sei]. Using spaces of quilted clusters, we verify, using more general quilted cluster spaces, that this defines a functor from a homotopy category of Pin± monotone lagrangian submanifolds hL mono,± (M, ω) to the homotopy category of cochain complexes hK(Λ-mod) where Λ is an appropriate Novikov ring.