The purpose of this thesis is to define a “local” version of Ozsváth and Szabó’s Heegaard Floer homology HFL^ for links in the 3-sphere, i.e. a Heegaard Floer homology HFT^ for tangles in the 3-ball. The decategorification of HFL^ is the classical Alexander polynomial for links; likewise, the decategorification of HFT^ gives a local version ∇ˢ of the Alexander polynomial. In the first chapter of this thesis, we give a purely combinatorial definition of this polynomial invariant ∇ˢ via Kauffman states and Alexander codes and investigate some of its properties. As an application, we show that the multivariate Alexander polynomial is mutation invariant. In the second chapter, we define HFT^ in two slightly different, but equivalent ways: One is via Juhász’s sutured Floer homology, the other by imitating the construction of HFL^. We then state a glueing theorem in terms of Zarev’s bordered sutured Floer homology, which endows HFT^ with additional structure. As an application, we show that any two links related by mutation about a (2,−3)-pretzel tangle have the same δ-graded link Floer homology. This result relies on a computer calculation. In the third and last chapter, we specialise to 4-ended tangles. In this case, we give a reformulation of HFT^ with a glueing structure in terms of (what we call) peculiar modules. Together with a glueing theorem, we can easily recover oriented and unoriented skein relations for HFL^. Our peculiar modules also enjoy some symmetry relations, which support a conjecture about δ-graded mutation invariance of HFL^. However, stronger symmetries would be needed to actually prove this conjecture. Finally, we explore the relationship between peculiar modules and twisted complexes in the wrapped Fukaya category of the 4-punctured sphere. There are four appendices, some of which might be of independent interest: In the first appendix, we describe a general construction of dg categories which unifies all algebraic structures used in this thesis, in particular type A and type D modules from bordered theory. In the second appendix, we prove a generalised version of Kauffman’s clock theorem, which plays a major role for our decategorified invariants. The last two appendices are manuals for two Mathematica programs. The first is a tool for computing the generators of HFT^ and the decategorified tangle invariant ∇ˢ. The second allows us to compute bordered sutured Floer homology using nice diagrams.

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Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur. Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus- ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba- tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]). Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono- tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞ sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc- ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh]) muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea ([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description (relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison. / We define objects made of marked complex disks connected by metric line seg- ments and construct two sequences of moduli spaces of these objects, referred as the ⊗ version (nonsymmetric) and the • version (symmetric). This allows choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer trajectories proposed by Cornea and Lalonde ([CL]). These perturbations are intended to lead to an alternative geometric description of the (obstructed) A∞ and L∞ structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono ([FOOO2],[FOOO]) and Cho ([Cho]). Given a Pin± monotone lagrangian submanifold L ⊂ (M, ω) with mini- mal Maslov number ≥ 2, we define an A∞ -algebra structure from the critical points of a generic Morse function on L. We express this structure as a cochain complex extending the pearl complex introduced by Oh ([Oh]) and further ex- plicited by Biran and Cornea ([BC]), equipped with its quantum product. This could also be seen as an alternative geometric description of a Fukaya cate- gory of (M, ω) with L as its only object, a hamiltonian relative version appear- ing in [Sei]. Using spaces of quilted clusters, we verify, using more general quilted cluster spaces, that this defines a functor from a homotopy category of Pin± monotone lagrangian submanifolds hL mono,± (M, ω) to the homotopy category of cochain complexes hK(Λ-mod) where Λ is an appropriate Novikov ring.

Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur. Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus- ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba- tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]). Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono- tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞ sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc- ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh]) muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea ([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description (relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison. / We define objects made of marked complex disks connected by metric line seg- ments and construct two sequences of moduli spaces of these objects, referred as the ⊗ version (nonsymmetric) and the • version (symmetric). This allows choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer trajectories proposed by Cornea and Lalonde ([CL]). These perturbations are intended to lead to an alternative geometric description of the (obstructed) A∞ and L∞ structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono ([FOOO2],[FOOO]) and Cho ([Cho]). Given a Pin± monotone lagrangian submanifold L ⊂ (M, ω) with mini- mal Maslov number ≥ 2, we define an A∞ -algebra structure from the critical points of a generic Morse function on L. We express this structure as a cochain complex extending the pearl complex introduced by Oh ([Oh]) and further ex- plicited by Biran and Cornea ([BC]), equipped with its quantum product. This could also be seen as an alternative geometric description of a Fukaya cate- gory of (M, ω) with L as its only object, a hamiltonian relative version appear- ing in [Sei]. Using spaces of quilted clusters, we verify, using more general quilted cluster spaces, that this defines a functor from a homotopy category of Pin± monotone lagrangian submanifolds hL mono,± (M, ω) to the homotopy category of cochain complexes hK(Λ-mod) where Λ is an appropriate Novikov ring.

Cette thèse explore les propriétés de rigidité et de flexibilité des cobordismes lagrangiens immergés entre sous-variétés lagrangiennes de variétés symplectiques. Dans le premier article de cette thèse, intitulé On cobordism groups of Lagrangian immersions, on s’intéresse aux aspects flexibles des cobordismes lagrangiens. On y étudie les groupes de cobordisme d’immersions lagrangiennes \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) d’une variété symplectique \( M \). Il s’agit d’un sujet classique dont l’étude a été initiée par Arnold au début des années 80. Étendant un théorème dû à Eliashberg dans le cas des variétés symplectiques exactes, nous démontrons que le calcul de \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) se réduit à un problème de théorie de l’homotopie stable. Plus précisément, nous associons à toute variété symplectique \( M \) un spectre de Thom et démontrons que le groupe \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) s’exprime en terme des groupes d’homotopie stables de ce spectre. L’ingrédient principal de la preuve est le h-principe de Gromov- Lees, qui a pour conséquence que le problème d’existence des immersions lagrangiennes se réduit à un problème de topologie algébrique. Dans le second article de cette thèse, intitulé Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, on s’intéresse aux aspects rigides des cobordismes lagrangiens dans le cas de surfaces symplectiques \( \Sigma \) de genre \( g \geq 2 \). On y étudie une classe de cobordismes lagrangiens immergés qui satisfont une contrainte sur les disques holomorphes qu’ils bordent, ce qui permet de leur appliquer les techniques de la théorie de Floer. On dit alors de ces cobordismes qu’ils sont non-obstrués. Les principaux résultat de ce second article sont, d’une part, le calcul du groupe de cobordisme non-obstrué \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et, d’autre part, la construction d’un isomorphisme naturel entre \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et le groupe de Grothendieck de la catégorie de Fukaya dérivée de \( \Sigma \). Cela résout, dans le cas des surfaces fermées de genre \( g \geq 2\), un problème posé par Biran et Cornea. / This thesis explores the rigidity and flexibility properties of immersed Lagrangian cobordisms between Lagrangian submanifolds of symplectic manifolds. In the first article of this thesis, titled On cobordism groups of Lagrangian immersions, we are interested in the flexible aspects of Lagrangian cobordisms. We study the cobordism group of Lagrangian immersions \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) of a symplectic manifold \( M \). This is a classical topic in symplectic topology, whose study was initiated by Arnold in the 80s. Generalizing a theorem due to Eliashberg in the exact case, we show that the computation of \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) reduces to a problem in stable homotopy theory. More precisely, we associate to every symplectic manifold \( M\) a Thom spectrum and show that the group \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) can be expressed in terms of the stable homotopy groups of this spectrum. The main ingredient of the proof is the celebrated h-principle of Gromov-Lees, which reduces the existence problem for Lagrangian immersions to a purely topological problem. In the second article of this thesis, titled Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, we are interested in the rigid aspects of Lagrangian cobordisms in the case of symplectic surfaces \( \Sigma \) of genus \( g \geq 2 \). We study a class of immersed Lagrangian cobordism satisfying a constraint on the holomorphic disks that they bound, which makes them amenable to Floer-theoretic methods. Such cobordisms are called unobstructed. The main results of the second article are, on one hand, the computation of the unobstructed cobordism group \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) and, on the other hand, the construction of a natural isomorphism between \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) and the Grothendieck group of the derived Fukaya category of \(\Sigma \). This provides an answer, in the case of surfaces of genus \( g \geq 2\), to a question posed by Biran and Cornea.