Dans cette thèse, nous construisons un produit sur le complexe de Floer associé à une paire de cobordismes lagrangiens, où ce complexe de Floer est un complexe quotient du complexe de Cthulhu défini par Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini et Golovko. Plus précisément, pour tout triplet de cobordismes lagrangiens exacts transverses dans la symplectisation d’une variété de contact, nous définissons une application m2 en comptant des courbes holomorphes rigides à bord sur les cobordismes et asymptotes à des points d’intersection et à des cordes de Reeb dans les bouts legendriens négatifs des cobordismes. En étudiant les dégénérescences de courbes holomorphes, on montre que m2 satisfait la relation de Leibniz sur les complexes de Floer associés. / We construct a product on the Floer complex associated to a pair of Lagrangian cobordisms. This complex is a quotient complex of the Cthulhu complex defined by Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini and Golovko. More precisely, given three exact transverse Lagrangian cobordisms in the symplectization of a contact manifold, we define a map m2 by a count of rigid holomorphic curves with boundary on the cobordisms and asymptotic to intersection points and Reeb chords in the negative Legendrian ends of the cobordisms. By studying breakings of holomorphic curves, we prove that m2 satisfy the Leibniz rule on Floer complexes.

Ce mémoire traite de la construction d’un nouvel invariant des cobordismes lagrangiens. Cette construction est inspirée des travaux récents de Solomon dans lesquels une extension de l’homomorphisme de Calabi aux chemins lagrangiens exacts est donnée. Cette extension fut entre autres motivée par le fait que le graphe d’une isotopie hamiltonienne est un chemin lagrangien exact. Nous utilisons la suspension lagrangienne, qui associe à chaque chemin lagrangien exact un cobordisme lagrangien, pour étendre la construction de Solomon aux cobordismes lagrangiens. Au premier chapitre nous donnons une brève exposition des propriétés élémentaires des variétés symplectiques et des sous-variétés lagrangiennes. Le second chapitre traite du groupe des difféomorphismes hamiltoniens et des propriétés fondamentales de l’homomorphisme de Calabi. Le chapitre 3 est dédié aux chemins lagrangiens, l’invariant de Solomon et ses points critiques. Au dernier chapitre nous introduisons la notion de cobordisme lagrangien et construisons le nouvel invariant pour finalement analyser ses points critiques et l’évaluer sur la trace de la chirurgie de deux courbes sur le tore. Dans le cadre de ce calcul, nous serons en mesure de borner la valeur du nouvel invariant en fonction de l’ombre du cobordisme, une notion récemment introduite par Cornea et Shelukhin. / In this master's thesis, we construct a new invariant of Lagrangian cobordisms. This construction is inspired by the recent works of Solomon in which an extension of the Calabi homomorphism to exact Lagrangian paths is given. Solomon's extension was motivated by the fact that the graph of any Hamiltonian isotopy is an exact Lagrangian path. We use the Lagrangian suspension construction, which associates to every exact Lagrangian path a Lagrangian cobordism, to extend Solomon's invariant to Lagrangian cobordisms. In the first chapter, we give a brief introduction to the elementary properties of symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds. In the second chapter, we present an introduction to the group of Hamiltonian diffeomorphisms and discuss the fundamental properties of the Calabi homomorphism. Chapter 3 is dedicated to Lagrangian paths, Solomon's invariant and its critical points. In the last chapter, we introduce the notion of Lagrangian cobordism and we construct the new invariant. We analyze its critical points and evaluate it on the trace of the Lagrangian surgery of two curves on the torus. In this setting we further bound the new invariant in terms of the shadow of the cobordism, a notion recently introduced by Cornea and Shelukhin.

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Ce mémoire traite de la question suivante: est-ce que les cobordismes lagrangiens préservent l'uniréglage? Dans les deux premiers chapitres, on présente en survol la théorie des courbes pseudo-holomorphes nécessaire. On examine d'abord en détail la preuve que les espaces de courbes $ J $-holomorphes simples est une variété de dimension finie. On présente ensuite les résultats nécessaires à la compactification de ces espaces pour arriver à la définition des invariants de Gromov-Witten. Le troisième chapitre traite ensuite de quelques résultats sur la propriété d'uniréglage, ce qu'elle entraine et comment elle peut être démontrée. Le quatrième chapitre est consacré à la définition et la description de l'homologie quantique, en particulier celle des cobordismes lagrangiens, ainsi que sa structure d'anneau et de module qui sont finalement utilisées dans le dernier chapitre pour présenter quelques cas ou la conjecture tient. / In this dissertation we study the following question: do Lagrangian cobordisms preserve uniruling? In the two first chapters, the necessary pseudoholomorphic curves theory is quickly presented. We first study in detail the proof that the spaces of simple $ J $-holomorphic curves is a manifold of finite dimension. We then present the necessary results to produce the appropriate compactification of these spaces to get to the definition of Gromov-Witten invariants. In the third chapter then some results on the property of uniruling are presented: what are its consequences, how can it be obtained. In the fourth chapter quantum homology is defined, in particular for Lagrangian cobordism, and its ring and module structures are studied which are finally used in the last chapter to present examples of cobordisms which preserves uniruling.

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Cette thèse explore les propriétés de rigidité et de flexibilité des cobordismes lagrangiens immergés entre sous-variétés lagrangiennes de variétés symplectiques. Dans le premier article de cette thèse, intitulé On cobordism groups of Lagrangian immersions, on s’intéresse aux aspects flexibles des cobordismes lagrangiens. On y étudie les groupes de cobordisme d’immersions lagrangiennes \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) d’une variété symplectique \( M \). Il s’agit d’un sujet classique dont l’étude a été initiée par Arnold au début des années 80. Étendant un théorème dû à Eliashberg dans le cas des variétés symplectiques exactes, nous démontrons que le calcul de \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) se réduit à un problème de théorie de l’homotopie stable. Plus précisément, nous associons à toute variété symplectique \( M \) un spectre de Thom et démontrons que le groupe \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) s’exprime en terme des groupes d’homotopie stables de ce spectre. L’ingrédient principal de la preuve est le h-principe de Gromov- Lees, qui a pour conséquence que le problème d’existence des immersions lagrangiennes se réduit à un problème de topologie algébrique. Dans le second article de cette thèse, intitulé Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, on s’intéresse aux aspects rigides des cobordismes lagrangiens dans le cas de surfaces symplectiques \( \Sigma \) de genre \( g \geq 2 \). On y étudie une classe de cobordismes lagrangiens immergés qui satisfont une contrainte sur les disques holomorphes qu’ils bordent, ce qui permet de leur appliquer les techniques de la théorie de Floer. On dit alors de ces cobordismes qu’ils sont non-obstrués. Les principaux résultat de ce second article sont, d’une part, le calcul du groupe de cobordisme non-obstrué \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et, d’autre part, la construction d’un isomorphisme naturel entre \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et le groupe de Grothendieck de la catégorie de Fukaya dérivée de \( \Sigma \). Cela résout, dans le cas des surfaces fermées de genre \( g \geq 2\), un problème posé par Biran et Cornea. / This thesis explores the rigidity and flexibility properties of immersed Lagrangian cobordisms between Lagrangian submanifolds of symplectic manifolds. In the first article of this thesis, titled On cobordism groups of Lagrangian immersions, we are interested in the flexible aspects of Lagrangian cobordisms. We study the cobordism group of Lagrangian immersions \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) of a symplectic manifold \( M \). This is a classical topic in symplectic topology, whose study was initiated by Arnold in the 80s. Generalizing a theorem due to Eliashberg in the exact case, we show that the computation of \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) reduces to a problem in stable homotopy theory. More precisely, we associate to every symplectic manifold \( M\) a Thom spectrum and show that the group \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) can be expressed in terms of the stable homotopy groups of this spectrum. The main ingredient of the proof is the celebrated h-principle of Gromov-Lees, which reduces the existence problem for Lagrangian immersions to a purely topological problem. In the second article of this thesis, titled Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, we are interested in the rigid aspects of Lagrangian cobordisms in the case of symplectic surfaces \( \Sigma \) of genus \( g \geq 2 \). We study a class of immersed Lagrangian cobordism satisfying a constraint on the holomorphic disks that they bound, which makes them amenable to Floer-theoretic methods. Such cobordisms are called unobstructed. The main results of the second article are, on one hand, the computation of the unobstructed cobordism group \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) and, on the other hand, the construction of a natural isomorphism between \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) and the Grothendieck group of the derived Fukaya category of \(\Sigma \). This provides an answer, in the case of surfaces of genus \( g \geq 2\), to a question posed by Biran and Cornea.