À toute variété de contact, on peut associer canoniquement une variété symplectique appelée sa symplectisation de sorte que la géométrie de contact peut se reformuler en termes de géométrie symplectique équivariante. Au sujet de cette construction fondamentale, une question basique restait ouverte : si deux variété de contact ont des symplectisations isomorphes sont-elles isomorphes ? On construit dans cette thèse des contre-exemples à cette question. Il existe en effet, en toute dimension impaire supérieure ou égale à 5, des variétés de contact non difféomorphes admettant pourtant des symplectisations isomorphes. On construit également, sur une même variété deux structures de contact non conjuguées par un difféomorphisme mais admettant des symplectisations isomorphes. Les démonstrations sont basées sur un phénomène bien connu en topologie différentielle (l'existence de h-cobordismes non triviaux, détectée par la torsion de Whitehead) ainsi que sur des résultats de flexibilité en géométrie symplectique dus à Cieliebak et Eliashberg. Un autre résultat de cette th?e affirme que ces variété de contact, bien que non isomorphes, le deviennent toutefois après un nombre suffisant de sommes connexes avec un produit de sphères. / To any contact manifold one can associate a symplectic manifold called its symplectisation in such a way that contact geometry can be reformulated in terms of equivariant symplectic geometry. Concerning this fundamental construction, a basic question remained open : if two contact manifolds have isomorphic symplectizations, are they isomorphic ? In this thesis, we construct counter-examples to this question. Indeed, in any odd dimension greater than or equal to 5, there exist non-diffeomorphic contact manifolds with isomorphic symplectisations. In addition, we construct two contact structures on a closed manifold that are not conjugate by a diffeomorphism though their symplectizations are isomorphic. The proofs are based on a well-known phenomenon in differential topology (the existence of non-trivial h-cobordisms, detected by Whitehead torsion) as well as flexibility results in symplectic geometry due to Cieliebak and Eliashberg. Another result from this thesis asserts that though these contact manifolds are not isomorphic, they become so after sufficiently many connect sum with a product of spheres.

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Cette thèse explore les propriétés de rigidité et de flexibilité des cobordismes lagrangiens immergés entre sous-variétés lagrangiennes de variétés symplectiques. Dans le premier article de cette thèse, intitulé On cobordism groups of Lagrangian immersions, on s’intéresse aux aspects flexibles des cobordismes lagrangiens. On y étudie les groupes de cobordisme d’immersions lagrangiennes \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) d’une variété symplectique \( M \). Il s’agit d’un sujet classique dont l’étude a été initiée par Arnold au début des années 80. Étendant un théorème dû à Eliashberg dans le cas des variétés symplectiques exactes, nous démontrons que le calcul de \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) se réduit à un problème de théorie de l’homotopie stable. Plus précisément, nous associons à toute variété symplectique \( M \) un spectre de Thom et démontrons que le groupe \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) s’exprime en terme des groupes d’homotopie stables de ce spectre. L’ingrédient principal de la preuve est le h-principe de Gromov- Lees, qui a pour conséquence que le problème d’existence des immersions lagrangiennes se réduit à un problème de topologie algébrique. Dans le second article de cette thèse, intitulé Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, on s’intéresse aux aspects rigides des cobordismes lagrangiens dans le cas de surfaces symplectiques \( \Sigma \) de genre \( g \geq 2 \). On y étudie une classe de cobordismes lagrangiens immergés qui satisfont une contrainte sur les disques holomorphes qu’ils bordent, ce qui permet de leur appliquer les techniques de la théorie de Floer. On dit alors de ces cobordismes qu’ils sont non-obstrués. Les principaux résultat de ce second article sont, d’une part, le calcul du groupe de cobordisme non-obstrué \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et, d’autre part, la construction d’un isomorphisme naturel entre \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) et le groupe de Grothendieck de la catégorie de Fukaya dérivée de \( \Sigma \). Cela résout, dans le cas des surfaces fermées de genre \( g \geq 2\), un problème posé par Biran et Cornea. / This thesis explores the rigidity and flexibility properties of immersed Lagrangian cobordisms between Lagrangian submanifolds of symplectic manifolds. In the first article of this thesis, titled On cobordism groups of Lagrangian immersions, we are interested in the flexible aspects of Lagrangian cobordisms. We study the cobordism group of Lagrangian immersions \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) of a symplectic manifold \( M \). This is a classical topic in symplectic topology, whose study was initiated by Arnold in the 80s. Generalizing a theorem due to Eliashberg in the exact case, we show that the computation of \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) reduces to a problem in stable homotopy theory. More precisely, we associate to every symplectic manifold \( M\) a Thom spectrum and show that the group \( \Omega^{\operatorname{lag}}(M) \) can be expressed in terms of the stable homotopy groups of this spectrum. The main ingredient of the proof is the celebrated h-principle of Gromov-Lees, which reduces the existence problem for Lagrangian immersions to a purely topological problem. In the second article of this thesis, titled Unobstructed Lagrangian cobordism groups of surfaces, we are interested in the rigid aspects of Lagrangian cobordisms in the case of symplectic surfaces \( \Sigma \) of genus \( g \geq 2 \). We study a class of immersed Lagrangian cobordism satisfying a constraint on the holomorphic disks that they bound, which makes them amenable to Floer-theoretic methods. Such cobordisms are called unobstructed. The main results of the second article are, on one hand, the computation of the unobstructed cobordism group \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) and, on the other hand, the construction of a natural isomorphism between \( \Omega_{\operatorname{unob}}(\Sigma) \) and the Grothendieck group of the derived Fukaya category of \(\Sigma \). This provides an answer, in the case of surfaces of genus \( g \geq 2\), to a question posed by Biran and Cornea.