Dans le premier chapitre de ce travail, nous rappelons la théorie des représentants efficaces d'un élément pseudo-Anosov du mapping class group d'une surface S compacte orientée munie de n+1 points marqués. Ces objets ont été introduits par Bestvina-Handel et Los.<br /><br />Le deuxième chapitre contient l'exposé de la théorie des bons représentants et des représentants super efficaces d'un homéomorphisme pseudo-Anosov f fixant le point marqué x_0. Nous montrons ensuite un résultat de structure sur l'ensemble des représentants super efficaces : cet ensemble est une union d'un nombre fini de cycles qui sont parcourus en appliquant des opérations combinatoires. Nous en déduisons des algorithmes permettant de décider si l'homéomorphisme f - ou, ce qui est équivalent, sa classe d'isotopie - admet une racine fixant x_0, ou commute avec un élément d'ordre fini fixant x_0. Nous en déduisons également une nouvelle solution au problème de conjugaison parmi les éléments pseudo-Anosov du mapping class group qui fixent x_0.<br /><br />Dans le troisième chapitre, nous considérons un homéomorphisme f du disque et O une orbite de période n>=3 pour f. Nous donnons une minoration de l'entropie topologique des homéomorphismes isotopes à f relativement à O. Cette minoration est obtenue à l'aide de la théorie des représentants efficaces.<br /><br />Dans le quatrième chapitre, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une tresse beta à n brins admette une déstabilisation ou un mouvement d'échange. Ces conditions sont des propriétés sur l'élément du mapping class group induit par la tresse beta.

Lorsqu'on étudie les systèmes dynamiques engendrés par une famille de polynômes, il apparait naturellement des courbes algébriques de type cyclotomique, contenant des points périodiques ou prépériodiques. Dans le cas périodique de la famille zd + c, le premier chapitre de cette thèse montre, en collaboration avec Ou, que ces courbes sont toutes lisses et irréductibles, généralisant les résultats connus au cas d=2. Dans le cas prépériodique de la même famille, le deuxième chapitre de la thèse montre, contre tout attendu, que ces courbes sont en général réductibles. En plus, il y contient une caractérisation des composantes irréductibles ainsi que leur relation géométrique et analytique. Le deuxième thème de cette thèse concerne un nouveau sujet développé par W. Thurston, il s'agit d'entropie noyau des polynômes. Thurston a donné un algorithme, sans preuve, pour calculer ces entropies. La thèse contient une preuve rigoureuse de cet algorithme ainsi que des nouvelles méthodes pour étudier la variation de ces entropies en jonglant plusieurs points de vue. Le dernier thème de cette thèse donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction rationnelle possède un compact errant plein dans son ensemble de Julia. On savait que dans le cas particulier des polynômes ce genre de compact ne pouvait pas du tout exister.

L'objectif de cette thèse est d'investiguer les relations entre les propriétés topologiques d'une variété de contact et la dynamique des flots de Reeb dans la variété de contact en question. Dans la première partie de la thèse, nous établissons une relation entre la croissance de l’homologie de contact cylindrique d'une variété de contact et l'entropie topologique des flots de Reeb dans cette variété de contact. Nous utilisons ce résultat dans les chapitres 8 et 9 pour montrer l'existence d'un grand nombre des nouvelles variétés de contact de dimension 3 dans lesquelles tous les flots de Reeb ont entropie topologique positive. Dans le chapitre 10, nous prouvons un résultat obtenu en collaboration avec Chris Wendl qui donne une obstruction dynamique pour qu'une variété de contact de dimension 3 soit planaire. Cette obstruction est utilisée pour montrer que, si une variété de contact de dimension 3 possède un flot de Reeb qui est uniformément hyperbolique (Anosov) avec variétés invariantes traversalement orientables, alors cette variété de contact n'est pas planaire. Dans le chapitre 11, nous étudions l'entropie topologique des flots de Reeb dans les fibrés unitaires des surfaces de genre plus grand que 1. Nous montrons que la restriction de chaque flot de Reeb en au ensemble limite de presque toute fibre unitaire a une entropie topologique positive. / In this thesis we study the relations between the contact topological properties of contact manifolds and the dynamics of Reeb flows. On the first part of the thesis, we establish a relation between the growth of the cylindrical contact homology of a contact manifold and the topological entropy of Reeb flows on this manifold. We build on this to show in Chapter 6 that if a contact manifold M admits a hypertight contact form A for which the cylindrical contact homology has exponential homotopical growth rate, then the Reeb flow of every contact form on M has positive topological entropy. Using this result, we exhibit in Chapter 8 and 9 numerous new examples of contact 3-manifolds on which every Reeb flow has positive topological entropy. On Chapter 10 we present a joint result with Chris Wendl that gives a dynamical obstruction for contact 3-manifold to be planar. We then use the obstruction to show that a contact 3-manifold that possesses a Reeb flow that is a transversely orientable Anosov flow, cannot be planar. On Chapter 11 we study the topological entropy for Reeb flows on spherizations. The result we obtain is a refinement of a result of Macarini and Schlenk, that states that every Reeb flow on the unit tangent bundle U of a high genus surface S has positive topological entropy. We show that for any Reeb flow on U, the omega-limit of almost every Legendrian fiber is a compact invariant set on which the dynamics has positive topological entropy.

L'objectif de cette thèse est d'investiguer la relation entre l'homologie de contact Legendrienne d'une variété de contact de dimension 3, et l'entropie topologique des flots de Reeb associés à cette variété de contact. Une variété de contact est une variété differentielle M de dimension impaire munie d'un champ d'hyperplan Y maximalement non-intégrable. Les champs de Reeb sont une classe speciale de champs de vecteurs sur M qui sont définis en utilisant la structure de contact; ils préservent la structure de contact et ils préservent aussi une forme de volume sur M.<p><p>L'entropie topologique h est un nombre non-négatif qu'on associe à un système dynamique et qui mesure la complexité de ce système. Si un système dynamique est d'entropie topologique positive, on dit que ce système est chaotique.<p><p>Comme les champs de Reeb sont construits en utilisant la structure de contact Y, il est naturel d'attendre que la topologie de (M,Y) influence la dynamique des champs de Reeb auxquels elle est associée. En particulier, il est naturel de se demander s'il existe des variétés de contact dont tous les champs de Reeb associés ont une entropie topologique positive. Si une varieté de contact a cette propriété, on dira qu'elle est d'entropie positive. <p><p>Macarini et Schlenk ont été les premiers à étudier cette question. Ils ont montré qu'il existe un grand ensemble de variétés différentielles Q, telles que le fibré unitaire T_1 Q muni de sa structure de contact canonique Y_{can} est d'entropie topologique positive. Plus précisement, ils ont utilisé l'homologie de Floer Lagrangienne, qui est un invariant symplectique, pour montrer que si Q est rationnellement hyperbolique alors (T_1 Q,Y_{can}) est d'entropie positive. <p><p>Pour étudier l'entropie topologique dans le cas où M n'est pas un fibré unitaire on substitue à l'homologie de Floer Lagrangienne un invariant plus naturel des variétés de contact: l'homologie de contact Legendrienne à bandes. On demontre dans cette thèse que l'homologie de contact Legendrienne à bandes est bien adaptée pour étudier l'entropie topologique. Plus précisement, on montre que quand l'homologie de contact Legendrienne à bandes est bien définie pour un champ de Reeb associé à (M,Y) et sa croissance est exponentielle, alors (M,Y) est d'entropie positive. <p><p>On utilise ce résultat pour trouver des nouveaux exemples de variétés de contact de dimension 3 qui sont d'entropie positive. On montre même qu'il y a des variétés de dimension 3 qui possèdent une infinité de structures de contact différentes qui sont toutes d'entropie positive. Ces résultats et bien d'autres nous permettent de conjecturer que la ``plupart' des variétés de contact de dimension 3 sont d'entropie positive. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse s'intéresse aux automorphismes des surfaces algébriques réelles, c'est-à-dire les transformations polynomiales admettant un inverse polynomial. La question centrale est de savoir si leur restriction au lieu réel reflète toute la richesse de la dynamique complexe. Celle-ci est traitée sous deux aspects : celui de l'entropie topologique et celui de l'ensemble de Fatou. Pour le premier point, on introduit une quantité purement géométrique, appelée concordance, qui ne dépend que de la surface. Puis on montre que le rapport des entropies réelle et complexe est relié à cette quantité. La concordance est calculée explicitement sur de nombreux exemples de surfaces, notamment les surfaces abéliennes qui sont traitées en détails, ainsi que certaines surfaces K3. Dans la seconde partie, on étudie l'ensemble de Fatou, qui correspond aux pointscomplexes pour lesquels la dynamique est simple. On montre, grâce à des résultats antérieurs de Dinh et Sibony sur les courants positifs fermés, que celui-ci est hyperbolique au sens de Kobayashi, quitte à lui enlever certaines courbes fixées par (unitéré de) notre transformation. Cette propriété permet d'en déduire que ce lieu réel ne peut pas être entièrement contenu dans l'ensemble de Fatou, hormis quelques cas exceptionnels où la topologie du lieu réel est simple et la dynamique bien comprise. Ainsi la complexité de la dynamique est presque toujours observable sur les points réels.