La notion de mouvement holomorphe a été introduite en 1983 par Mañé, Sad et Sullivan pour étudier certaines familles de fonctions rationnelles. Dans ce mémoire, on se propose d'utiliser les mouvements holomorphes dans le contexte des systèmes de fonctions itérées (IFS). Dans un premier temps, nous serons amenés à définir l'attracteur d'un IFS. Par la suite, on s'intéressera à la notion de quasiconformité, qui est intimement liée aux mouvements holomorphes. Finalement, après avoir exposé certains résultats de prolongement, nous déterminerons des critères qui nous assurent de l'existence d'un mouvement holomorphe de l'attracteur d'une famille d'IFS.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures, 2018-2019 / Dans un article récent de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter, les auteurs ont montré que toute fonction dans un espace avec la propriété de Pick complète peut s’écrire comme un quotient de deux multiplicateurs. Ce résultat était un des deux points clé manquant dans la démonstration d’une version du théorème de Gleason–Kahane–Zelazko pour l’espace de Dirichlet. Le but de ce mémoire est de développer la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et d’utiliser celle-ci afin d’étudier trois espaces importants de fonctions holomorphes sur D, soit l’espace de Hardy, l’espace de Dirichlet et l’espace de Bergman, et de bien comprendre le résultat de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter. On est par la suite en mesure de démontrer le théorème GKZ pour l’espace de Dirichlet. iii

Pour l'algèbre de Banach complexe A ayant l'élément unité, on dénote par G(A) l'ensemble des éléments inversibles de A, et par G1(A) on dénote la composante qui contient l'unité. Le spectre de a ∈ A est l'ensemble de tous les nombres complexes λ tels que λ1 - a ∉ G(A), et le spectre exponentiel de a est l'ensemble de tous les nombres complexes tels que λ1 - a ∉ G1(A). Évidemment, pour chaque élément de l'algèbre, son spectre exponentiel contient le spectre habituel. Il est bien connu que le spectre habituel a une propriété que l'on nommera "propriété de commutativité". Cela signifie que, pour chaque choix des deux éléments a; b ∈ A, nous avons Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, où Sp est le spectre. Avons-nous la même propriété pour les spectres exponentiels? Cette question n'est toujours pas résolue. L'objectif de ce mémoire est d'étudier le spectre exponentiel, et plus particulièrement sa propriété de commutativité. Dans le premier chapitre, nous donnerons les définitions d'algèbre de Banach complexe, spectre et spectre exponentiel de ses éléments, et leurs propriétés de base. Aussi nous établirons des relations topologiques entre les spectres exponentiel et habituel. Dans le deuxième chapitre, nous définirons les fonctions holomorphes sur une algèbre de Banach, et discuterons du problème de la propriété de commutativité de spectre exponentiel, en établissant des résultats positifs connus. Dans le troisième et dernier chapitre, nous examinerons quelques exemples d'algèbres de Banach, décrivant les ensembles G(A) et G1(A), et discuterons de la propriété de commutativité pour ces algèbres. / For a complex Banach algebra A with unit element, we denote by G(A) the set of invertible elements of A, and by G1(A) we denote the component of G(A) which contains the unit. The spectrum of a ∈ A is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G(A), and the exponential spectrum of a is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G1(A). Of course for each element of the algebra its exponential spectrum contains the usual spectrum. It is well known that the usual spectrum has the so-called commutativity property. This means that, for any two elements a and b of A, we have Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, where Sp denotes the spectrum. Does this property hold for exponential spectra? This is still an open question. The purpose of this memoir is to study the exponential spectrum, and particularly its commutativity property. In chapter one, we will give definitions of a complex Banach algebra, the spectrum and exponential spectrum of its elements, and their basic properties. Also we will establish topological relations between exponential and usual spectra. In chapter two, we will define holomorphic functions on a Banach algebra, and also discuss the commutativity property problem for the exponential spectrum, establishing some known positive results. In the last chapter, we will consider some examples of Banach algebras, describing the sets G(A) and G1(A), and discuss the commutativity property for these algebras.

Dans cette thèse, nous analysons les propriétés géométriques des surfaces obtenues des solutions classiques des modèles sigma bosoniques et supersymétriques en deux dimensions ayant pour espace cible des variétés grassmanniennes G(m,n). Plus particulièrement, nous considérons la métrique, les formes fondamentales et la courbure gaussienne induites par ces surfaces naturellement plongées dans l'algèbre de Lie su(n). Le premier chapitre présente des outils préliminaires pour comprendre les éléments des chapitres suivants. Nous y présentons les théories de jauge non-abéliennes et les modèles sigma grassmanniens bosoniques ainsi que supersymétriques. Nous nous intéressons aussi à la construction de surfaces dans l'algèbre de Lie su(n) à partir des solutions des modèles sigma bosoniques. Les trois prochains chapitres, formant cette thèse, présentent les contraintes devant être imposées sur les solutions de ces modèles afin d'obtenir des surfaces à courbure gaussienne constante. Ces contraintes permettent d'obtenir une classification des solutions en fonction des valeurs possibles de la courbure. Les chapitres 2 et 3 de cette thèse présentent une analyse de ces surfaces et de leurs solutions classiques pour les modèles sigma grassmanniens bosoniques. Le quatrième consiste en une analyse analogue pour une extension supersymétrique N=2 des modèles sigma bosoniques G(1,n)=CP^(n-1) incluant quelques résultats sur les modèles grassmanniens. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les propriétés géométriques des surfaces associées aux solutions holomorphes des modèles sigma grassmanniens bosoniques. Nous donnons une classification complète de ces solutions à courbure gaussienne constante pour les modèles G(2,n) pour n=3,4,5. De plus, nous établissons deux conjectures sur les valeurs constantes possibles de la courbure gaussienne pour G(m,n). Nous donnons aussi des éléments de preuve de ces conjectures en nous appuyant sur les immersions et les coordonnées de Plücker ainsi que la séquence de Veronese. Ces résultats sont publiés dans la revue Journal of Geometry and Physics. Le troisième chapitre présente une analyse des surfaces à courbure gaussienne constante associées aux solutions non-holomorphes des modèles sigma grassmanniens bosoniques. Ce travail généralise les résultats du premier article et donne un algorithme systématique pour l'obtention de telles surfaces issues des solutions connues des modèles. Ces résultats sont publiés dans la revue Journal of Geometry and Physics. Dans le dernier chapitre, nous considérons une extension supersymétrique N=2 du modèle sigma bosonique ayant pour espace cible G(1,n)=CP^(n-1). Ce chapitre décrit la géométrie des surfaces obtenues des solutions du modèle et démontre, dans le cas holomorphe, qu'elles ont une courbure gaussienne constante si et seulement si la solution holomorphe consiste en une généralisation de la séquence de Veronese. De plus, en utilisant une version invariante de jauge du modèle en termes de projecteurs orthogonaux, nous obtenons des solutions non-holomorphes et étudions la géométrie des surfaces associées à ces nouvelles solutions. Ces résultats sont soumis dans la revue Communications in Mathematical Physics. / In this Ph. D. thesis, we analyze the geometric properties of surfaces obtained from the classical solutions of the two-dimensional bosonic and supersymmetric sigma models which has Grassmann manifolds G(m,n) as target space. In particular, we consider the metric, the fundamental forms and the gaussian curvature induced by these surfaces which naturally live in the su(n) Lie algebra. The first chapter presents some preliminary tools to understand the elements of the following chapters. We present non-abelian gauge theories and bosonic grassmannian sigma models as well as its supersymmetric counterpart. Another section presents a construction of surfaces in the Lie algebra su(n) from the solutions of the bosonic sigma models. The three last chapters contained in this thesis presents the constraints that have to be imposed on the solutions of the models in order to generate constant gaussian curvature surfaces. From these constraints, we can give a classification of the solutions depending on the possible values of the curvature. The first two papers presents an investigation of these surfaces and of their associated solutions for the bosonic grassmannian sigma models. In the third paper, we generalize our approach to a supersymmetric extension of the bosonic CP^(n-1)= G(1,n) sigma model including some results for the general Grassmann manifold G(m,n). In chapter 2, we study the geometric properties of surfaces associated to holomorphic solutions of the grassmannian sigma models. We give a complete classification of these constant curvature solutions for the particular models G(2,n) with n=3,4,5. Furthermore, we establish two conjectures on the possible values of the gaussian curvature. We also give some elements of proof for these conjectures in terms of Plücker coordinates and immersions as well as Veronese curves. These results are published in the Journal of Geometry and Physics. The third chapter presents a similar analysis as in the second chapter in the case of non-holomorphic solutions of the bosonic grassmannian sigma models. This work generalizes the results obtained in the first paper and give a systematic algorithm to obtain such surfaces from the known solutions of the models. These results are published in the Journal of Geometry and Physics. In the last chapter of this thesis, we consider a N=2 supersymmetric extension of the bosonic sigma model which has the CP^(n-1)=G(1,n) manifold as target space. This chapter presents a geometric description of the surfaces obtained from the solutions of the model and shows, in the holomorphic case, that they have constant gaussian curvature if and only if the solutions consists of a generalization of the Veronese curve. Furthermore, using a gauge invariant formulation of the model in terms of orthogonal projectors, we obtain explicit non-holomorphic solutions and study the geometry of their associated surfaces. These results are submitted to Communications in Mathematical Physics.

Nous étudions les relations entre des propriétés géométriques et des propriétés métriques dans les domaines de C^n.Plus précisément, nous nous intéressons au comportement des courbures bisectionnelles holomorphes de métriques de Kähler invariantes, la métrique de Bergman et la métrique de Kähler-Einstein, au voisinage du bord des domaines pseudoconvexe bornés à bord lisse.Nous prouvons qu'aux points de stricte pseudoconvexité ou tels que la fonction squeezing du domaine tend vers 1 les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Kähler-Einstein du domaine tendent vers les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Kähler-Einstein de la boule.Nous étudions également les courbures de la métrique de Kähler-Einstein et de la métrique de Bergman dans certains domaines polynomiaux (notamment les domaines tubes et les domaines de Thullen de C^2) qui servent de modèles locaux aux points du bord qui sont de type fini. A partir de ces études nous prouvons qu'en certains points du bord de domaines convexes bornés lisse de type fini dans C^2 il existe un voisinage non tangentiel tel que les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Kâhler-Einstein sont pincées négativement. Nous prouvons également que pour tout domaine pseudoconvexe borné de type fini qui est Reinhardt complet il existe un voisinage du bord relatif au domaine tel que les courbures bisectionnelles holomorphes de la métrique de Bergman sont comprises entre deux constantes strictement négatives. / We study the relationships between geometric properties and metric properties of domains in C^n.More precisely, we are interested in the behavior of holomorphic bisectional curvatures of invariant Kähler metrics, namely the Bergman metric and the Kähler-Einstein metric, near the boundary of bounded pseudoconvex domains with smooth boundary.We prove that at boundary points that are either strictly pseudoconvex or such that the squeezing function of the domain tends to one the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric of the domain tends to the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric of the ball.We also study the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric and of the Bergman metric in some polynomial domains (namely tube and Thullen domains in C^2) which serve as local models at boundary point of finite type. Using these studies we prove that at certain boundary points of smoothly bounded convex domains of finite type there exists a non tangential neighbourhood such the holomorphic bisectional curvatures of the Kähler-Einstein metric are pinched between two negative constants. We also prove that for every smoothly bounded pseudoconvex complete Reinhardt domain of finite type inf C^2 there exists a neighbourhood of the boundary relative to the domain in which the holomorphic bisectional curvatures of the Bergman metric are pinched between two negative constants.

Les groupes d'homologie de Floer pour varietes compactes a bord de type contact n'ont pas de correspondant topologique, a la difference des varietes fermees. Le but de cette these est d'en donner des proprietes qualitatives lorsque la variete est munie de structures topologiques supplementaires. Nous avons en vue les fibrations symplectiques (eventuellement triviales). Le premier chapitre de la these comprend deux parties : la premiere compare les differentes constructions de l'homologie de Floer et met en relief le principe specifique aux varietes a bord, a savoir la necessite d'obtenir des estimations a priori sur les solutions de l'equation de Floer. On explique comment les groupes d'homologie de Floer sont relies a la conjecture de Weinstein et on calcule par une methode nouvelle la cohomologie d'une boule dans un espace vectoriel complexe. La deuxieme partie presente une extension de la definition des groupes d'homologie de Floer par des hamiltoniens ``asymptotiquement lineaires", extension que nous utiliserons par la suite. Nous travaillons directement dans des varietes non compactes convexes a l'infini, qui sont des completees symplectiques de varietes compactes a bord de type contact. Le deuxieme chapitre demontre la formule de Kunneth en homologie de Floer pour un produit de varietes a bord de type contact restreint. Ceci correspond au cas d'une fibration triviale. Le troisieme chapitre donne une interpretation de la suite spectrale de Leray-Serre classique en termes exclusifs d'homologie de Morse, qui constitue un modele simple pour l'homologie de Floer. Le quatrieme chapitre etudie l'existence d'une suite spectrale de Leray-Serre pour un certain type de fibrations symplectiques a bord au-dessus d'une base fermee. L'existence de la suite spectrale est etablie pour les fibres en droites hermitiens a courbure negative. Dans le cas general, son existence est ramenee a une estimation d'energie pour trajectoires de Floer, qui est conjecturee.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes en dynamique holomorphe discrete et continue à l'aide de la Théorie du Pluripotentiel. Le premier problème présenté concerne la description des paires d'endomorphismes holomorphes permutables du plan projectif complexe qui ne partagent pas une itérée. Nous nous intéressons au cas où les degrés des deux applications coïncident après un certain nombre d'itérations. Nous montrons que telles applications sont des exemples de Lattès ou bien des relèvements des exemples de Lattès unidimensionnels. Combiné avec un théorème de T.-C. Dinh et N. Sibony ce résultat complète la classification des paires permutables en dimension deux. Ensuite, nous nous intéressons à la dynamique des laminations par variétés complexes. Nous montrons que, dans une variété kählérienne compacte, le carré de la classe de cohomologie d'un cycle feuilleté dirigé par une lamination transversalement Lipschitz est toujours zéro. Parmi les conséquences nous montrons que l'espace projectif complexe $\pr^{n}$ n'admet pas de cycle feuilleté transversalement Lipschitz de dimension $q \leq \frac{n}{2}$. Cela généralise un résultat de J.E. Forn\ae ss et N. Sibony. Dans la dernière partie nous étudions les mesures de Monge-Ampère à potentiel höldérien. Nous montrons que ces mesures satisfont un analogue d'un théorème de H. Skoda concernant l'intégrabilité exponentielle d'une fonction plurisousharmonique en termes de ses nombres de Lelong. Ce résultat peut être vu comme une très forte compacité pour les fonctions plurisousharmoniques qui sont eux-mêmes un outil fondamental en dynamique holomorphe. / This thesis is devoted to the study of some problems in discrete and continuous holomorphic dynamics with the tools of Pluripotential Theory. The first problem we consider involves the description of commuting pairs of holomorphic endomorphisms of the complex projective plane that do not share an iterate. We consider the case when their degrees coincide after some number of iterations. We show that these maps are either Lattès maps or lifts of one-dimensional Lattès maps. Together with a theorem of T.-C. Dinh and N. Sibony this result completes the classification of commuting pairs in dimension two. Later on, we turn our attention to the dynamics of laminations by complex manifolds. We show that, on a compact Kähler manifold, the square of the cohomology class of a foliated cycle directed by a transversally Lipschitz lamination is always zero. As a corollary we show that the complex projective space $\pr^n$ do not carry any transversally Lipschitz foliated cycle of dimension $q \leq \frac{n}{2}$, generalizing a result by J.E. Forn\ae ss and N. Sibony. In the last part we study Monge-Ampère measures with Hölder continuous potential. We show that these measures satisfy an analogue of a theorem of H. Skoda concerning the exponential integrability of plurisubharmonic functions in terms of its Lelong numbers. This result can be viewed as a strong compactness property of plurisubharmonic functions, a class of functions of fundamental importance in holomorphic dynamics.

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L'objectif de cette thèse consiste en l'étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la $\Gamma$-réduction d'une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l'espace quotient est par définition la $\Gamma$-dimension d'une telle variété. Les grandes lignes de l'étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l'existence de formes holomorphes $L^2$ sur le revêtement universel, comportement de la $\Gamma$-dimension dans les fibrations, place de la $\Gamma$-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type $\pi_1$-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l'étude de l'invariance par déformation de la $\Gamma$-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d'extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d'extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d'une variété projective, fibre générale de la $\Gamma$-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.

Dans cette thèse on étudie les propriétés des connexions plates logarithmiques de rang 2 et leurs projectifies qui sont des feuilletages de Riccati, principalement sur le plan projectif. L'invariant principal d'un tel objet est sa représentation de monodromie, qui est une représentation vers SL2(C) ou PSL2(C) du groupe fondamental du complémentaire de son lieu polaire. Dans un premier temps, on étudie la propriété, pour un feuilletage de Riccati sur P2, d'être obtenu en tirant un en arrière un feuilletage de Riccati au dessus d'une courbe. Ensuite on s'intéresse aux feuilletages de Riccati qui ne sont pas construits de cette maniere et qui peuvent être obtenus a partir d'une solution algébrique de l'équation de Painleve VI. Nous les classons par orbites sous le groupe de Galois de Q ̄ sur Q. Finalement, on s'int ́eresse aux feuilletages transversalement projectifs : ces feuilletages s'obtiennent par restriction de feuilletages de Riccati a' des sections de leurs P1-fibres sous-jacents. On s'interesse particulierement aux feuilletages modulaires de Hilbert, dont on decrit assez finement la structure transverse. On conclut notre travail par l'exhibition de modeles birationnels sur P2 pour certains feuilletages modulaires de Hilbert.