Thesis (Ph. D.)--Hong Kong University of Science and Technology, 2004. / Includes bibliographical references (leaves 124-130). Also available in electronic version. Access restricted to campus users.

Thesis (Ph. D.)--University of Washington, 1999. / Vita. Includes bibliographical references (p. 137-138).

Continuité des *-représentations et opérateurs de Hankel Cette thèse est comporte deux parties indépendantes. Dans le première partie de ce travail, nous établissons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une *-représentation d'un *-semi-groupe abélien topologique S est continu à l'identité e de S. Les résultats sont obtenus moyennant un théorème de représentation intégrale par rapport à une mesure portée par les semi caractères continus. Nous donnons ensuite diverses applications de ces résultats. La deuxième partie de cette thèse traite les opérateurs de Hankel de symboles anti-méromorphes sur les couronne. Dans un premier lieu on met en place le cadre de la théorie générale des opérateurs de Hankel associée à un espace de Hilbert de fonctions holomorphes A^2(µ) de carré intégrable par rapport à une mesure admettant des moments d'indice relatif. Ensuite, nous montrons que l'espace des polynômes de Laurent est dense dans A^2(µ) cela nous permet de définir de façon claire les opérateurs de Hankel et étudier leurs propriétés spectrales. En particulier, pour de nombreux exemples, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes, en termes des moments, garantissant la continuité, la compacité et l'appartenance aux classes de Schatten de ces opérateurs de Hankel. / Continuity of *-representation and Hankel operators This thesis consists of two independent parts. In the first part of this work, we establish a necessary and sufficient condition for a *-representation a *-semigroup abelian topological S is continuous at the identity e of S. The results are obtained by means of a theorem of integral representation with respect to a measure supported by continuous semi characters. We then give several applications of these results. The second part of this thesis deals with Hankel operators anti-meromorphic symbols on an annulus. In the first place we put in place the framework of the general theory of Hankel operators associated with a Hilbert space of holomorphic functions A^2(μ) of square integrable with respect to a measure admitting relative index times. Next, we show that the space of Laurent polynomials is dense in A ^ 2 ( μ ) it allows us to clearly define the Hankel operators and study their spectral properties. In particular, many examples, we establish necessary and sufficient conditions, in terms of time, ensuring continuity compactness and Schatten classes of membership of the Hankel operators.

Cette thèse est constituée de deux volets principaux, le premier volet est consacré à l'étude des opérateurs de Hankel de symboles antiméromorphes, plus précisément, on s'intéresse à la possibilité d'obtenir des opérateurs de Hankel bornés (resp. compacts, dans les classes de Schatten) dont les symboles ne sont pas nécessairement des polynômes.Nous allons donner dans un premier temps, des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'opérateur H_{f} définit sur une couronne dans le plan complexe, soit borné (resp. compact, dans la p-ième classe de Schatten) et nous allons traiter des exemples sur les quels nous montrons que les opérateurs de Hankel H_{f} et H_{Uf} sont bornés simultanément (resp. compacts, dans les classes de Schatten) si et seulement si f est un polynôme de Laurent et les conditions établies portent sur son L-degré.Le deuxième volet traite les propriétés spectrales en commun des opérateurs A et B vérifiant l'équation A²=ABA et B²=BAB. Nous allons généraliser les résultats de Christopher Schmoeger sur l'égalité des différents spectres de ces opérateurs, ensuite nous allons élargir le champ d'étude de ces opérateurs dans la direction de la théorie spectrale locale (Propriété de l'extension unique, décomposabilité...). / This thesis consists of two main parts, the first part is devoted to the study of Hankel operators of antiméromorphes symbols, more precisely, we are interested in the possibility of obtaining Hankel operators bounded (resp. compact, in Schatten classes) which the symbols are not necessarily polynomials.We will give in first step, the necessary and sufficient conditions for the operator H_ {f} defined on a ring in the complex plane is bounded (resp. compact in the p-th Schatten class) and we treat examples on which we show that the Hankel operators H_ {f} and H_ {Uf} are simultaneously bounded (resp. compact, in the Schatten classes) if and only if f is a Laurent polynomial and conditions set relate to its L-degree.The second part deals with common spectral properties of operators A and B satisfying the equation A ² = ABA and B ² = BAB. We will generalize the results of Christopher Schmoeger on equality different spectra of these operators, then we will expand the field of study of these operators in the direction of the local spectral theory (SVEP, Decomposability).

Nous nous intéressons aux opérateurs de Hankel $H_{bar{f}}$ de symbole anti holomorphe $bar{f}$ et regardons l'espace de Dixmier $mathcal{D}^{p}$ associé ($pgeq1$), c'est à dire l'ensemble des $f$ tel que $|H_{bar{f}}|^{p}$ soit dans l'idéal de Macaev $mathcal{S}^{+}_{1}$. Notre approche est de voir l'espace de Dixmier comme une certaine limite des classes de Schatten. Quand $f in mathcal{D}^{p}$, nous étudions $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ la trace de Dixmier de $|H_{bar{f}}|^{p}$. Nous redémontrons certains résultats classiques quand $f$ est holomorphe sur le disque alors que nous donnons de nouveaux résultats quand $f$ est entière. Nous utilisons notre méthode pour étudier l'espace de Dixmier du petit opérateur de Hankel, des opérateurs de Toeplitz $T_{varphi}$ ($varphi$ définie sur le disque ou sur le plan complexe tout entier) ainsi que pour l'opérateur de composition. / We study Hankel operators $H_{bar{f}}$ with anti holomorphic symbol $bar{f}$ and we are interested to the Dixmier space $mathcal{D}^{p}$ ($pgeq1$), the set of functions $f$ such that $|H_{bar{f}}|^{p} in mathcal{S}^{+}_{1}$ the Macaev ideal. We look Dixmier space as a limit of Schatten class. When $f in mathcal{D}^{p}$, we study $Tr_{omega}(|$H_{bar{f}}$|^{p})$ the Dixmier trace of $|H_{bar{f}}|^{p}$. We have different results when $f$ is an entire or a holomorphic function of the unit disk in the complex plan. We study also the Dixmier space of the little Hankel operator, Toeplitz operator and composition operator.

On étudie dans cette thèse l'équation de Szegö sur la droite réelle ainsi que ses perturbations. Cette équation a été introduite il y a quelques années par Gérard et Grellier comme modèle mathématique d'une équation non linéaire totalement non dispersive.L'équation de Szegöapparait naturellement dans l'étude de l'équation de Schrödinger non linéaire (NLS) danscertaines situations sur-critiques où l'on constate un manque de dispersion, par exemplelorsque l'on considère NLS sur le groupe de Heisenberg. Par conséquent, une des motivationsde cette thèse est d'établir des résultats concernant l'équation de Szegö qui pourrontéventuellement être utilisés dans le contexte de l'équation de Schrödinger non linéaire.Le premier résultat de cette thèse est la classification des solitons de l'équation de Szegö.On montre que ce sont tous des fonctions rationnelles ayant un unique pôle qui est simple.De plus, on prouve que les solitons sont orbitalement stables.La propriété la plus remarquable de l'équation de Szegö est le fait qu'elle est complètement intégrable, ce qui permet notamment d'établir une formule explicite de sa solution.Comme applications de cette formule, on obtient les trois résultats suivants. (A) On montreque les solutions fonctions rationnelles génériques se décomposent en une somme de solitonset d'un reste qui est petit lorsque le temps tend vers l'infini. (B) On met en évidence unexemple de solution non générique dont les grandes normes de Sobolev tendent vers l'infiniavec le temps. (C) On détermine des coordonnées action-angle généralisées lorsque l'on restreintl'équation de Szegö à une sous-variété de dimension finie. En particulier, on en déduitqu'une grande partie des trajectoires de cette équation sont des spirales autour de cylindrestoroïdaux.Comme l'équation de Szegö est complètement intégrable, il est ensuite naturel d'étudierses perturbations et d'établir de nouvelles propriétés pour celles-ci à partir des résultatsconnus pour l'équation de Szegö. Une des perturbations de l'équation de Szegö est une équation desondes non linéaire (NLW) de donnée bien préparée.On prouve que si la donnée initiale de NLW est petite et à support dans l'ensemble desfréquences positives, la solution de NLW est alors approximée pour un temps long par lasolution de l'équation de Szegö. Autrement dit, on démontre ainsi que l'équation de Szegöest la première approximation de NLW. On construit ensuite une solution de NLW dont lesgrandes normes de Sobolev augmentent (relativement à la norme de la donnée initiale).Sur le tore T, Gérard et Grellier ont démontré un résultat analogue d'approximation deNLW. On améliore ce résultat en trouvant une approximation plus fine, de deuxième ordre.Dans une dernière partie, on s'intéresse à l'équation de Szegö perturbée par un potentielmultiplicatif petit. On étudie l'interaction de ce potentiel avec les solitons. Plus précisément,on montre que, si la donnée initiale est celle d'un soliton pour l'équation non perturbée, lasolution de l'équation perturbée garde la forme d'un soliton sur un long temps. De plus, ondéduit la dynamique effective, i.e. les équations différentielles satisfaites par les paramètresdu soliton. / In this Ph.D. thesis, we study the Szegö equation on the real lineas well as its perturbations.It was recently introduced by Gérard and Grellier as a toy model of a non-lineartotally non dispersive equation. The Szegö equation appears naturally in the study of thenon-linear Schrödinger equation (NLS) in super-critical situations where dispersion lacks,for example, when one considers NLS on the Heisenberg group. Consequently, one of themotivations of this Ph.D. thesis is fi nding new results for the Szegö equation in hope thatthey could be eventually used in the context of the non-linear Schrödinger equation.Our first result is a classification of the solitons of the Szegö equation. We show thatthey are all rational functions with one simple pole. In addition, we prove the orbitalstability of solitons.The Szegö equation has the remarkable property of being completely integrable. Thisallows us to find an explicit formula for solutions. We obtain three applications of thisformula. (A) We prove soliton resolution for solutions which are generic rational functions.(B) We construct an example of non-generic solution whose high Sobolev norms grow toinfinity over time. (C) We find generalized action-angle variables when restricting the Szegöequation to a finite dimensional sub-manifold. In particular, this yields that most of thetrajectories of the Szegö equation are spirals around toroidal cylinders.Since the Szegö equation is completely integrable, it is natural to study its perturbationsand deduce new properties of such perturbations from the known results for the Szegöequation. One perturbation of the Szegö equation is a non-linear wave equation(NLW) with small initial data.We prove that the Szegö equation is the first order approximation of NLW. More precisely,if an initial condition of NLW is small and supported only on non-negative frequencies, thenthe corresponding solution can be approximated by the solution of the Szegö equation, fora long time. We then construct a solution of NLW whose high Sobolev norms grow.On the torus T, Gérard and Grellier proved an analogous first order approximationresult for NLW. By considerning the second order approximation, we obtain an improvedresult with a smaller error.Lastly, we consider the Szegö equation perturbed by a small multiplicative potential.We study the interaction of this potential with solitons. More precisely, we show that, if theinitial condition is that of a soliton for the unperturbed Szegö equation, then the solutionpreserves the shape of a soliton for a long time. In addition, we prescribe the effectivedynamics, i.e. we derive the differential equations satisfied by the parameters of the soliton.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux opérateurs de composition sur les espaces de Hardy et Dirichlet et aux opérateurs de Hankel sur les espaces des fonction polyanalytiques. On s’'intéresse à l’'opérateur de composition sur les espaces de Dirichlet : $mathcal{D}_alpha=\left{f \in Hol(D): |f|_alpha^{2}=| f(0)| ^{2}+int_{D}| f'(z)| ^{2}dA_alpha(z)<infty \right}.$ La fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à l'espace de Dirichlet $\mathcal{D}_\alpha$ est donnée par:$$ N_{\varphi,\alpha}(z):=\sum_{z=\varphi(w),{w\in\D}}(1-|w| )^\alpha,\qquad z\in\D.$$Nous étudions dans la première partie de ce travail la relation entre la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à $\varphi$ et la norme de ses ses puissances sur les espaces de Dirichlet. Nous aussi des examples d’'opérateurs de composition de Hilbert-Schmidt sur les espaces de Dirichlet. Nous étudions aussi l’'appartenance de $C_\varphi$ à la classe de Schatten en termes de la taille de l’ensemble de niveau et la norme de $\varphi^n$. Dans la deuxième partie nous considérons l’'espace de Fock-Bargmann des fonctions polyanalytiques, $f in F^n(mathbb{C})$. Nous montrons que si $f (z) = z^k\overline{z}^l$ avec $k, l \in \mathbb{N},$, alors l’'opérateur de Hankel $ H_{f}$ est borné sur $F^n(\mathbb{C})$ si et seulement si $\sup_{m,j}\|H_{f}e_{j, m}\|_{F^n(\mathbb{C})} < +\infty$.On montre aussi que si $f$ une fonction entière sur $\mathbb{C}$, alors l’'opérateur de Hankel $ H_{\bar f}$ est borné sur $F_n(C)$ si et seulement si f est un polynôme de degré au plus 1, et l’'opérateur de Hankel $ H_{\bar f}$ est compact sur $F_n(C)$ si et seulement si f est un polynôme constant. / In this thesis we focus on the composition operators on Hardy and Dirichlet spaces and Hankel operators on spaces of polyanalytiques functions. We are interested in the composition operator on the Dirichlet spaces: $$ mathcal{D}_alpha=left{ f in Hol(D): |f|_alpha^{2}=| f(0)|^{2}+int_{D}| f'(z)| ^{2}dA_alpha(z)<infty \right}. $$ The generalized Nevanlinna counting function associated to $ mathcal{D}_alpha $, is given by: $ N_{varphi,alpha}(z)=sum_{z=phi(w),{winD}}(1-|w| )^alpha,qquad zinDsetminus{phi(0)} .$ We study in the first part of this work the relationship between the generalized Nevanlinna counting function associated with $varphi$ and the norms of its iterated in the Dirichlet spaces. We give examples of Hilbert-Schmidt composition operators on the Dirichlet spaces. We study the composition operators on the Dirichlet spaces belong to Schatten class and the link with the size of contact points of its symbol with the unit circle. In the second part we consider the Bargmann-Fock space of polyanalytic functions, $f in F^n(mathbb{C})$. We prove that if $f (z) = z^koverline{z}^l$ with $k, l in mathbb{N},$ then the Hankel operator $ H_{f}$ is bounded on $F^n(mathbb{C})$ if and only if $sup_{m,j}|H_{f}e_{j, m}|_{F^n(mathbb{C})} < +infty$. We also establish that if $f $ an entire function on $mathbb{C}$, then the Hankel operator $ H_{bar f}$ is bounded on $F^n(mathbb{C})$ if and only if $f$ is a polynomial of degree at most $1,$ and the Hankel operator $ H_{bar f}$ is compact on $F^n(mathbb{C})$ if and only if $f$ is a constant polynomial.