On considère une famille (Pδ)δ>0 de problèmes aux limites et de transmission dans un domaine avec couche mince, écrit sous la forme d'une équation différentielle d'ordre deux abstraite de type elliptique . Une nouvelle approche pour la résolution de (Pδ)δ>0 est présentée dans ce travail utilisant le concept physique d'impédance. Cette méthode est différente de celle qui utilise un changement d'échelle sur la couche mince voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.]. Elle permet d'obtenir un problème direct et simplifié où l'effet de la couche mince se retrouve complètement décrit par l'opérateur d'impédance. Les techniques employées sont essentiellement basées sur le calcul fonctionnel de Dunford, la théorie des semi-groupes, l'interpolation et quelques idées des travaux de [R. Labbas, Thèse d'état], [Dore G., Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.] et [Favini A., Labbas R., Maingot S., Tanabe H., Yagi A.]. On obtient des résultats nouveaux d'existence, d'unicité et de régularité maximale dans les espaces de Hölder pour fixé et ensuite on étudie le passage à la limite quand δ→0 de (Pδ)δ>0. Ce travail complète ainsi ce qui a été obtenu dans le cadre Lp, voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.].

L'objectif de ce travail est l'étude des équations différentielles complètes du second ordre de type elliptique à coefficients opérateurs dans un espace de Banach X quelconque. Une application concrète de ces équations est détaillée, il s'agit d'un problème de transmission du potentiel électrique dans une cellule biologique où la membrane constitue une couche mince. L'originalité de ce travail réside particulièrement dans le fait que les opérateurs non bornés considérés ne commutent pas nécessairement. Une nouvelle hypothèse dite de non commutativité est alors introduite. L'analyse est faite dans deux cadres fonctionnels distincts: les espaces de Hölder et les espaces Lp (avec X un espace UMD). L'équation est d'abord étudiée sur la droite réelle puis sur un intervalle borné avec conditions aux limites de Dirichlet. On donne des résultats d'existence, d'unicité et de régularité maximale de la solution classique sous des conditions sur les données dans des espaces d'interpolation. Les techniques utilisées sont basées sur la théorie des semi-groupes, le calcul fonctionnel de Dunford et la théorie de l'interpolation. Ces résultats sont tous appliqués à des équations aux dérivées partielles concrètes de type elliptique ou quasi-elliptique.