Abstract in English / The research will analyze and compare the current research on the spectral factorization of non-singular and singular matrices. We show that a nonsingular non-scalar matrix A can be written as a product A = BC where the eigenvalues of B and C are arbitrarily prescribed subject to the condition that the product of the eigenvalues of B and C must be equal to the determinant of A. Further, B and C can be simultaneously triangularised as a lower and upper triangular matrix respectively. Singular matrices will be factorized in terms of nilpotent matrices and otherwise over an arbitrary or complex field in order to present an integrated and detailed report on the current state of research in this area. Applications related to unipotent, positive-definite, commutator, involutory and Hermitian factorization are studied for non-singular matrices, while applications related to positive-semidefinite matrices are investigated for singular matrices. We will consider the theorems found in Sourour [24] and Laffey [17] to show that a non-singular non-scalar matrix can be factorized spectrally. The same two articles will be used to show applications to unipotent, positive-definite and commutator factorization. Applications related to Hermitian factorization will be considered in [26]. Laffey [18] shows that a non-singular matrix A with det A = ±1 is a product of four involutions with certain conditions on the arbitrary field. To aid with this conclusion a thorough study is made of Hoffman [13], who shows that an invertible linear transformation T of a finite dimensional vector space over a field is a product of two involutions if and only if T is similar to T−1. Sourour shows in [24] that if A is an n × n matrix over an arbitrary field containing at least n + 2 elements and if det A = ±1, then A is the product of at most four involutions. We will review the work of Wu [29] and show that a singular matrix A of order n ≥ 2 over the complex field can be expressed as a product of two nilpotent matrices, where the rank of each of the factors is the same as A, except when A is a 2 × 2 nilpotent matrix of rank one. Nilpotent factorization of singular matrices over an arbitrary field will also be investigated. Laffey [17] shows that the result of Wu, which he established over the complex field, is also valid over an arbitrary field by making use of a special matrix factorization involving similarity to an LU factorization. His proof is based on an application of Fitting's Lemma to express, up to similarity, a singular matrix as a direct sum of a non-singular and nilpotent matrix, and then to write the non-singular component as a product of a lower and upper triangular matrix using a matrix factorization theorem of Sourour [24]. The main theorem by Sourour and Tang [26] will be investigated to highlight the necessary and sufficient conditions for a singular matrix to be written as a product of two matrices with prescribed eigenvalues. This result is used to prove applications related to positive-semidefinite matrices for singular matrices. / National Research Foundation of South Africa / Mathematical Sciences / M Sc. (Mathematics)

Dans cette thèse nous proposons de nouveaux modèles paramétriques en traitement du signal et de l'image, fondés sur la décomposition de Wold des processus stochastiques. Les approches de modélisation font appel à l'analyse fonctionnelle et harmonique, l'analyse par ondelettes, ainsi qu'à la théorie des champs stochastiques. Le premier chapitre a un caractère introductif théorique et précise les éléments de base concernant le contexte de la prédiction linéaire des processus stochastiques stationnaires et la décomposition Wold, dans le cas 1-D et multi-D. On montre comment les différentes parties de la décomposition sont obtenues à partir de l'hypothèse de stationnarité, via la représentation du processus comme l'orbite d'un certain opérateur unitaire, l'isomorphisme canonique de Kolmogorov et les conséquences sur la prédiction linéaire du théorème de Szégö et de ses extensions multidimensionnelles. Le deuxième chapitre traite une approche de factorisation spectrale de la densité spectrale de puissance qu'on utilisera pour l'identification des modèles de type Moyenne Ajustée (MA), Autorégressif (AR) et ARMA. On utilise la représentation par le noyau reproduisant de Poisson d'une fonction extérieure pour construire un algorithme d'estimation d'un modèle MA avec une densité spectrale de puissance donnée. Cette méthode d'estimation est présentée dans le cadre de deux applications: - Dans la simulation de canaux sans fil de type Rayleigh (cas 1-D). - Dans le cadre d'une approche de décomposition de Wold des images texturées (cas 2-D). Dans le troisième chapitre nous abordons la représentation et la compression hybride d'images. Nous proposons une approche de compression d'images qui utilise conjointement : - les modèles issus de la décomposition de Wold pour la représentation des régions dites texturées de l'image; - une approche fondée sur les ondelettes pour le codage de la partie "cartoon" (ou non-texturée) de l' image. Dans ce cadre, nous proposons une nouvelle approche pour la décomposition d'une image dans une partie texturée et une partie non-texturée fondée sur la régularité locale. Chaque partie est ensuite codée à l'aide de sa représentation particulière. / In this thesis we propose new parametric models in signal and image processing based on the Wold decomposition of stationary stochastic processes. These models rely upon several theoretical results from functional and harmonic analysis, wavelet analysis and the theory of stochastic fields, The first chapter presents the theoretical background of the linear prediction for stationary processes and of the Wold decomposition theorems in 1-D and n-D. It is shown how the different parts of the decomposition are obtained and represented, by the means of the unitary orbit representation of stationary processes, the Kolmogorov canonical model and Szego-type extensions. The second chapter deals with a spectral factorisation approach of the power spectral density used for the parameter estimation of Moving Avergage (MA), AutoRegressif (AR) and ARMA models. The method uses the Poisson integral representation in Hardy spaces in order to estimate an outer transfer function from its power spectral density. - Simulators for Rayleigh fading channels (1-D). - A scheme for the Wold decomposition for texture images (2-D). In the third chapter we deal with hybrid models for image representation and compression. We propose a compression scheme which jointly uses, on one hand, Wold models for textured regions of the image, and on the other hand a wavelet-based approach for coding the 'cartoon' (or non-textured) part of the image. In this context, we propose a new algorithm for the decomposing images in a textured part and a non-textured part. The separate parts are then coded with the appropriate representation.

La tendance actuelle dans le domaine des télécommunications mène à des systèmes capables de fonctionner selon plusieurs standards, et donc plusieurs fréquences porteuses. La synthèse de la fréquence porteuse est un élément clef, dont les propriétés reposent essentiellement sur les performances de l’oscillateur employé. Pour assurer le fonctionnement de systèmes compatibles avec plusieurs standards de télécommunication, la solution conventionnelle consiste à intégrer plusieurs oscillateurs locaux. Cette solution est coûteuse, d’autant plus que, malgré le fait que les technologies actuelles atteignent des niveaux d’intégration très importants, la surface occupée par des oscillateurs traditionnels de type LC ne peut pas être diminuée, alors que le coût de fabrication au millimètre carré devient de plus en plus élevé. Il serait donc très intéressant de remplacer les oscillateurs LC, ce qui nous amène à rechercher des solutions alternatives parmi de nouvelles technologies. L’oscillateur spintronique (STO) est un nouveau dispositif issu des études sur les couches minces magnétiques. Il apparait comme un candidat potentiel de remplacement des oscillateurs LC du fait de sa grande accordabilité en fréquence et de son faible encombrement. Toutefois des mesures effectuées sur les STOs ont montré que la performance en puissance et en bruit de phase d’un oscillateur seul ne permet pas de remplir les spécifications pour des applications de télécommunication. Nous proposons de remplir ces spécifications en couplant un nombre d’oscillateurs spintroniques important. Dans ce cadre se posent plusieurs questions qui concernent les procédures de modélisation, d’analyse et de synthèse des systèmes interconnectés. Les procédures de modélisation incluent la démarche de recherche de modèles à complexité croissante qui décrivent les propriétés entrée-sortie d’un oscillateur spintronique, ainsi que la démarche de généralisation des modèles des oscillateurs dans le cadre du réseau. Les procédures d’analyse cherchent à vérifier la stabilité et évaluer la performance des systèmes interconnectés. Les procédures de synthèse permettent de concevoir des interconnexions sophistiquées pour les oscillateurs afin d’assurer toutes les spécifications du cahier des charges. Dans ce document, nous établissons tout d’abord le problème de la synthèse de fréquence par couplage avec un cahier des charges formalisé en termes de gabarits fréquentiels sur des densités spectrales de puissance. Le cahier des charges posé amène la nécessité de modéliser l’oscillateur spintronique pour pouvoir simuler et analyser son comportement. Ici, nous proposons une modélisation originale selon des degrés de complexité croissante. Ensuite, nous discutons de la structure de la commande de l’ensemble des oscillateurs afin de remplir les spécifications du cahier des charges. La structure de commande proposée nécessite de développer une méthode de conception des interconnexions du réseau d’après les critères de performance. Dans les deux derniers chapitres, nous proposons deux méthodes fréquentielles de synthèse originales pour résoudre le problème de synthèse de fréquence par couplage. La première méthode de synthèse permet de prendre en compte un critère mathématique du cahier des charges, qui correspond à un gabarit fréquentiel à respecter, et permet d’obtenir une matrice d’interconnexion des sous-systèmes, telle que le module de la réponse fréquentielle du réseau approxime le gabarit imposé par le cahier des charges. La deuxième méthode de synthèse permet de prendre en compte plusieurs gabarits fréquentiels à la fois. La solution obtenue est une matrice d’interconnexion des sous-systèmes, qui résout le problème de la synthèse de fréquence par couplage d’oscillateurs spintroniques. / The current trends in telecommunication are leading to systems that are compatible with multiple standards and consequently multiple carrier frequencies. The frequency synthesis is a key element influenced by the local oscillator performance. In order to ensure the system compatibility with multiple telecommunication standards, the conventional solution consists in using one local oscillator for each standard. This solution is expensive, even more, since the cost per squared millimetre is increasing, while the silicon area occupied by the traditional LC-tank oscillators cannot be reduced in spite of the fact that technology is going to higher integration levels. Thus, it should be interesting to find a substitution to the LC-tank oscillators which leads to research for alternative solutions among new technologies. The spin torque oscillator (STO) is a new device issued from the ferromagnetic thin-film research. Due to its frequency accord ability and its capability to occupy relatively small volume, it appears as a potential candidate for the LC-tank oscillator replacement. However, a set of measurements prove that these devices exhibit poor power and phase noise performance, making them unable to fulfill the technical specification of the radiofrequency applications. We propose to reach these specifications by coupling of a large number of spin torque oscillators. In this scope, numerous questions appear regarding the procedures of modelling, analysis and synthesis of the complex interconnected systems. The modelling procedures are dedicated to the increasing complexity models that describe the input-output behaviour of a spin torque oscillator and its behaviour within the interconnected network. The analysis procedures are targeted to verify the stability and to evaluate the performance level of the interconnected systems. The synthesis procedures allow to design the interconnection law for spin torque oscillators in order to fulfill the technical requirements. In this document, the frequency synthesis problem by spin torque oscillator coupling with technical specification description in terms of power spectral densities is established. The formulated specifications introduce the problem of the oscillator modelling in order to perform a simulation and an analysis of the oscillator behaviour. Here, we propose an original model using several conventional models with increasing complexity. An original oscillator network model that describes qualitative properties of the oscillator synchronisation is introduced. Afterwards, the control law architecture for an oscillator set is established in order to accomplish the technical requirement specifications. The suggested control architecture needs to be developed with quantitative systematic and efficient design method for the network interconnection taking into account the formulated performance criteria. In the last two chapters we propose two original frequency domain design methods allowing the resolution of our frequency synthesis problem. The first design method allows to consider explicitly a performance criterium corresponding toa desired frequency constraint. The method allows to obtain a suitable sub-system interconnection matrix that fits the frequency specification constraint. The second design method allows to find an interconnection matrix and to take into account simultaneously several frequency specification constraints. The interconnection matrix obtained with the proposed method solves the problem of frequency synthesis by coupling of spin torque oscillators.