Dans cette these, il s'agit d'etudier le comportement du spectre d'operateurs non-autoadjoints sous de tres petites perturbations. Nous montrons d'abord une loi de Weyl bidimensionelle pour les valeurs propres dans un certain domaine d'un operateur modele perturbe par une somme de noyaux oscillatoires. Ensuite nous montrons que ce resultat est aussi vrai avec une tres grande probabilite pour des perturbations multiplicatives aleatoires de l'operateur de Schroedinger non-autoadjoint. Enfin, nous completons ces resultats par une majoration du nombre de valeurs propres dans une region ou ceux-cis ne s'appliquent pas.

En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée / Using functional and numerical methods, we localize the spectrum of a differential operator and we build approximate solutions for classes of Fredholm equations of the second kind, two of which have a weakly singular kernel. In the first chapter, we study the pseudospectral stability of a convection-diffusion nonselfadjoint operator defined on an open unbounded set. From the result of pseudospectral stability, we localize the spectrum of the operator. In the second chapter, we regularize the kernel of an integral operator using a convolution product, then we approach the new kernel by its truncated Fourier series. We obtain an integral operator of finite rank, which allows us to compute an approximate solution numerically

Mes travaux peuvent se diviser en deux thèmes : L'algèbre linéaire numérique. La théorie des opérateurs intégraux. L'algèbre linéaire numérique fut le cadre de ma thèse de doctorat, dédiée aux propriétés spectrales des opérateurs de Sylvester, endomorphismes d'espaces matriciels. J'ai tout naturellement utilisé mes connaissances, mes compétences et mon savoir faire, développés pendant ces années de formation par la recherche, pour attaquer un nouveau problème li e a une notion apparue dans les années 1990 et qui a connu un grand succès dans la communauté de l'algèbre linéaire numérique. Cette notion est celle des pseudospectres qui généralise celle des spectres dans le cadre de la théorie des perturbations. A cette notion est liée celle de rayon de stabilité. Suite a ces travaux sur les pseudospectres et ayant constat e que pour certaines matrices pathologiques, la détermination du pseudospectre était couteuse et entachées d'erreurs importantes, nous avons cherché si l'on ne pouvait pas définir d'autres généralisations du spectre plus facilement calculables. Nous avons étudié un ensemble du plan complexe, contenant les valeurs propres d'une matrice, défini comme un -voisinage des racines du polynome caractéristique. Je me suis ensuite tout naturellement tournée vers un nouveau chalenge, celui du problème polynomial de valeurs propres. Ce sujet s'est développé très récemment. Il y a des questions propres aux problèmes polynomiaux de valeurs propres qui n'ont ete posées qu' a partir des années 2000 et qui n'ont trouvées de premières réponses que cinq ans plus tard. Le domaine des problèmes polynomiaux de valeurs propres est en pleine expansion et beaucoup de problèmes restent a résoudre dans l'avenir. Parallèlement et plus directement li e aux équations matricielles, je me suis intéressée a la notion de stabilité de Lyapunov, tr es utile dans la communauté de la théorie du contrôle. Mon autre domaine de recherche concerne les équations intégrales du point de vue de l'approximation. Des méthodes de discrétisation conduisant a des matrices diagonales sont intéressantes. Ces considérations m'ont conduite à étudier l'approximation d'un équation d'opérateur intégral par une méthode d'ondelettes-vaguelettes. La difficulté de la mise en œuvre numérique m'a dirigée vers l' étude d'autres méthodes.

En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée