En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée / Using functional and numerical methods, we localize the spectrum of a differential operator and we build approximate solutions for classes of Fredholm equations of the second kind, two of which have a weakly singular kernel. In the first chapter, we study the pseudospectral stability of a convection-diffusion nonselfadjoint operator defined on an open unbounded set. From the result of pseudospectral stability, we localize the spectrum of the operator. In the second chapter, we regularize the kernel of an integral operator using a convolution product, then we approach the new kernel by its truncated Fourier series. We obtain an integral operator of finite rank, which allows us to compute an approximate solution numerically

On adapte des méthodes numériques efficaces pour équations de Fredholm à la résolution d'équations singulières. On développe en particulier les variantes itératives de Brakhage et d' Atkinson de la méthode de Nyström. Les exemples numériques traités confirment la nette supériorité de la méthode itérative de Brakhage

Ce travail est dévolu à l'étude de la diffraction d'ondes électromagnétiques par un corps diélectrique. Des équations de Maxwell, nous dérivons deux équations intégrales. L'une est une équation intégrale volumique à noyau fortement singulier et l'autre, une équation intégrale couplée surface-volume à noyau faiblement singulier. Ces deux formulations sont analysées, à l'aide des résultats standard de Fredholm, en considérant une permittivité électrique discontinue à travers le bord du diélectrique. Cette hypothèse est réaliste et permet de prendre en compte des matériaux composés de différentes couches diélectriques. L'équation intégrale volumique est ensuite résolue numériquement. A cette fin, nous avons développé une méthode pour traiter les singularités de l'opérateur intégral volumique. Cette méthode de traitement des singularités est une méthode de changements de variables faisant appel aux transformations de Duffy et elle peut s'appliquer à une classe plus grande d'opérateurs intégraux. La méthode et l'équation intégrale volumique sont implémentées dans le code Mélina++ qui est une librairie d'éléments fins développée au sein de l'Institut de Recherche Mathématique de Rennes. Quelques résultats de tests numériques viennent, enfin, compléter le travail.

Cette thèse porte sur la diffraction d’une onde plane électromagnétique par une surface lisse parfaitement conductrice (PEC). Elle présente l’analyse des propriétés d’une nouvelle formulation des trois principales équations intégrales de frontières de la théorie de la diffraction électromagnétique (EFIE, MFIE et CFIE). L’idée est d’adapter les équations intégrales conventionnelles à la diffraction d’une onde plane en supposant que la fonction de phase de l’onde plane incidente détermine la fonction de phase de la distribution de courant induit sur la surface.L’idée d’utiliser la phase dans la diffraction d’ondes planes a déjà été étudiée pour les hautes fréquences, notamment dans les thèses de Zhou (1995) et Darrigrand (2002) qui adaptèrent les espaces d’approximation des éléments finis. Dans cette thèse, cependant, nous suivons une formulation plus récente, donnée par Herberthson (2008), où la fonction de phase est incorporée dans la distribution du noyau des opérateurs intégraux.En présentant les versions modifiées de l’EFIE et de la MFIE (dénommées HEFIE et HMFIE)dans des espaces fonctionnels appropriés, nous prouvons ici l’existence d’une solution unique à cette formulation spécifique et présentons une mise en oeuvre pratique originale qui tire parti de l’expérience acquise sur l’EFIE/MFIE. Par la suite, nous explorons une propriété importante offerte par ces nouvelles formulations: la possibilité de réduire le nombre de degrés de liberté requis pour obtenir une solution précise du problème. / This thesis is about the scattering of an electromagnetic plane wave incidenton a perfectly conducting smooth surface. It presents the analysis of the properties of a newformulation of the three principal boundary integral equations of electromagnetic scattering theory(EFIE, MFIE and CFIE). The basic idea is to adapt the conventional integral equations toplane-wave scattering by supposing that the phase function of an incident plane wave determinesthe phase function of the induced boundary current distribution.This idea of using the phase in plane wave scattering has previously been studied in highfrequencyscattering, in particular in the theses by Zhou (1995) and Darrigrand (2002) whoadapt the finite element approximation spaces. In this thesis, though, we follow a more recentformulation, given by Herberthson (2008), where the phase function is incorporated in the kerneldistribution of the integral operators.Presenting the modified version of the EFIE and the MFIE (denoted HEFIE and HMFIE) inappropriate function spaces, we prove the existence of a unique solution to this specific formulationand developp an original practical implementation which takes advantage of the gainedexperience on the EFIE/MFIE. Then, we explore another important property provided by thenew formulations: the possibility to reduce the number of degrees of freedom required to get anaccurate solution of the problem.

En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes liés à la diffraction multiple. Elle est constituée de deux parties. La première partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT). Ces appareils sont capables de rétro-propager des ondes dans leur milieu d'origine afin de les focaliser sur la source qui les a initialement émises. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode DORT, qui est une technique expérimentale permettant de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles a priori inconnus. Dans le cadre de l'acoustique, nous proposons une étude numérique des résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani. Ensuite, nous étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Pour clôturer cette première partie, nous présentons une étude numérique d'une expérience de reconstruction d'une source acoustique ponctuelle à l'aide d'un MRT. On s'intéresse ici plus particulièrement au phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration, en moyenne, de la qualité de la focalisation en milieu hétérogène plutôt qu'en milieu homogène. En se plaçant dans un contexte déterministe, nous résolvons numériquement l'équation de Helmholtz et donnons des exemples de simulations numériques illustrant ce phénomène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique. La notion de diffraction multiple signifie ici que le milieu comporte plusieurs obstacles par opposition à la diffraction simple où seul un diffuseur est présent. Lorsque les obstacles sont des disques, nous calculons explicitement les coefficients des quatre opérateurs intégraux usuels dans les bases de Fourier. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace lorsque les obstacles sont des disques. Cette stratégie de résolution utilise une méthode de stockage compressée de la matrice du système linéaire ainsi qu'un préconditionneur qui prend en compte les effets de la diffraction simple. En outre, ce préconditionnement présente la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales identiques, à un changement de base près. Nous démontrons ce résultat tout d'abord pour des obstacles circulaires avant de l'étendre à des géométries régulières quelconques. D'autre part, l'obtention des coefficients de l'opérateur intégral de simple couche nous permet d'étudier numériquement le spectre de cet opérateur en régime basse fréquence. Après une étude de la diffraction simple, nous nous sommes intéressés à deux régimes particuliers de diffraction multiple : un milieu dilué où les obstacles sont éloignés et un milieu dense où les obstacles sont très proches les uns des autres.

La méthode d'intégration produit a été proposée pour résoudre des équations linéaires de Fredholm de deuxième espèce singulières dont la solution exacte est régulière, au moins continue. Dans ce travail on adapte cette méthode à des équations dont la solution est juste intégrable. On étudie également son extension au cas non linéaire posé dans l'espace des fonctions intégrables. Ensuite, on propose une autre manière de mettre en oeuvre la méthode d'intégration produit : on commence par linéariser l'équation par une méthode de type Newton puis on discrétise les itérations de Newton par la méthode d'intégration produit / The product integration method has been proposed for solving singular linear Fredholm equations of the second kind whose exact solution is smooth, at least continuous. In this work, we adapt this method to the case where the solution is only integrable. We also study the nonlinear case in the space of integrable functions. Then, we propose a new version of the method in the nonlinear framework : we first linearize the eqaution by a Newton type method and then discretize the Newton iterations by the product integration method

L'équation intégrale du champ électrique (EFIE) est très utilisée pour résoudre des problèmes de diffusion d'ondes électromagnétiques grâce à la méthode aux éléments de frontière (BEM). En domaine fréquentiel, les systèmes matriciels émergeant de la BEM souffrent, entre autres, de deux problèmes de mauvais conditionnement : l'augmentation du nombre d'inconnues et la diminution de la fréquence entrainent l'accroissement du nombre de conditionnement. En conséquence, les solveurs itératifs requièrent plus d'itérations pour converger vers la solution, voire ne convergent pas du tout. En domaine temporel, ces problèmes sont également présents, en plus de l'instabilité DC qui entraine une solution erronée en fin de simulation. La discrétisation en temps est obtenue grâce à une quadrature de convolution basée sur les méthodes de Runge-Kutta implicites.Dans cette thèse, diverses formulations d'équations intégrales utilisant notamment des conditions d'impédance aux frontières (IBC) sont étudiées et préconditionnées. Dans une première partie en domaine fréquentiel, l'IBC-EFIE est stabilisée pour les basses fréquences et les maillages denses grâce aux projecteurs quasi-Helmholtz et à un préconditionnement de type Calderón. Puis une nouvelle forme d'IBC est introduite, ce qui permet la construction d'un préconditionneur multiplicatif. Dans la seconde partie en domaine temporel, l'EFIE est d'abord régularisée pour le cas d'un conducteur électrique parfait (PEC), la rendant stable pour les pas de temps larges et immunisée à l'instabilité DC. Enfin, unerésolution efficace de l'IBC-EFIE est recherchée, avant de stabiliser l'équation pour les pas de temps larges et les maillages denses. / The Electric Field Integral Equation (EFIE) is widely used to solve wave scattering problems in electromagnetics using the Boundary Element Method (BEM). In frequency domain, the linear systems stemming from the BEM suffer, amongst others, from two ill-conditioning problems: the low frequency breakdown and the dense mesh breakdown. Consequently, the iterative solvers require more iterations to converge to the solution, or they do not converge at all in the worst cases. These breakdowns are also present in time domain, in addition to the DC instability which causes the solution to be completely wrong in the late time steps of the simulations. The time discretization is achieved using a convolution quadrature based on Implicit Runge-Kutta (IRK) methods, which yields a system that is solved by Marching-On-in-Time (MOT). In this thesis, several integral equations formulations, involving Impedance Boundary Conditions (IBC) for most of them, are derived and subsequently preconditioned. In a first part dedicated to the frequency domain, the IBC-EFIE is stabilized for the low frequency and dense meshes by leveraging the quasi-Helmholtz projectors and a Calderón-like preconditioning. Then, a new IBC is introduced to enable the development of a multiplicative preconditioner for the new IBC-EFIE. In the second part on time domain,the EFIE is regularized for the Perfect Electric Conductor (PEC) case, to make it stable in the large time step regime and immune to the DC instability. Finally, the solution of the time domain IBC-EFIE is investigated by developing an efficient solution scheme and by stabilizing the equation for large time steps and dense meshes.

Cette thèse examine les décisions financières à travers la théorie des options Américaines et Exotiques. Dans un premier temps, nous avons présenté une revue de la littérature sur les options de type Américain. La tarification de l’option Américaine standard d’achat est revisitée en vue de fournir les pré-requis. Dans l’étape suivante, un nouveau type de contrat d’option, appelé Strangle Euro-American ou Strangle Hybride, a été introduit. Des formules analytiques ont été fournies pour leurs prix ainsi que leurs paramètres de gestion. Une nouvelle méthode est proposée pour calculer les intégrales qui définissent les bornes d’exercice anticipé. Il a été démontré que cette méthode est efficiente, précise et rapide pour la tarification de tous les types de Strangle voir au delà. Puis, nous avons examiné les options Step de type Américain. Nous avons démontré que les propriétés des options d’achat "vanille" ne s’appliquent pas aux Step dans certaines situations. Les formules d’évaluation et des paramètres de gestion ont été déterminés. Et enfin, nous avons considéré l’évaluation d’une firme détenant simultanément une option d’abandon et une option d’expansion de ses activités selon des conditions du marché (favorables ou défavorables). Les seuils critiques de décision ont été obtenus. Des formules analytiques pour la valeur de la firme ont été obtenues. Des simulations illustrent le comportement de ces seuils critiques de décisions anticipées. / This thesis investigates the financial decisions through the theory of American and Exotic options. First, the literature on American-style derivatives is surveyed. The pricing of standard American call option in the early exercise premium representation is addressed in order to provide prerequisites for what follows. Second, a new variant of Strangle contracts, called Euro-American or Hybrid Strangles, is introduced and priced. Analytical formulas are provided for the prices of all these option contracts as well as their hedging parameters. A new quadrature is proposed to account for the systems of coupled integral equations that locate the early exercise boundaries. It is shown to be efficient, accurate, and fast for pricing all types of early exercisable strangles and more. Third, we examines the valuation of American Step options contract. The structures of the immediate exercise regions of the various contracts are identified. Typical properties of American vanilla calls are shown to fail in some cases. Formulas for prices and hedging parameters, for the American Step options, are derived. Finally, we consider the valuation of a firm holding simultaneously an option to expand and to abandon productions depending on the state of the market (good or bad) in a real option framework. Optimal decision levels are obtained. Analytical formulas for the firm’s value are provided. Numerical results document the behavior of the firm’s value and optimal exercise boundaries levels.