Ce travail est dévolu à l'étude de la diffraction d'ondes électromagnétiques par un corps diélectrique. Des équations de Maxwell, nous dérivons deux équations intégrales. L'une est une équation intégrale volumique à noyau fortement singulier et l'autre, une équation intégrale couplée surface-volume à noyau faiblement singulier. Ces deux formulations sont analysées, à l'aide des résultats standard de Fredholm, en considérant une permittivité électrique discontinue à travers le bord du diélectrique. Cette hypothèse est réaliste et permet de prendre en compte des matériaux composés de différentes couches diélectriques. L'équation intégrale volumique est ensuite résolue numériquement. A cette fin, nous avons développé une méthode pour traiter les singularités de l'opérateur intégral volumique. Cette méthode de traitement des singularités est une méthode de changements de variables faisant appel aux transformations de Duffy et elle peut s'appliquer à une classe plus grande d'opérateurs intégraux. La méthode et l'équation intégrale volumique sont implémentées dans le code Mélina++ qui est une librairie d'éléments fins développée au sein de l'Institut de Recherche Mathématique de Rennes. Quelques résultats de tests numériques viennent, enfin, compléter le travail.

La mise en œuvre de la méthode des éléments finis de frontière nécessite l'évaluation d'intégrales comportant un intégrand singulier. Un calcul fiable et précis de ces intégrales peut dans certains cas se révéler à la fois crucial et difficile. La méthode que nous proposons consiste en une réduction récursive de la dimension du domaine d'intégration et aboutit à une représentation de l'intégrale sous la forme d'une combinaison linéaire d'intégrales mono-dimensionnelles dont l'intégrand est régulier et qui peuvent s'évaluer numériquement mais aussi explicitement. L'équation de Helmholtz 3-D sert d'équation modèle mais ces résultats peuvent être utilisés pour les équations de Laplace et de Maxwell 3-D. L'intégrand est décomposé en une partie homogène et une partie régulière ; cette dernière peut être traitée par les méthodes usuelles d'intégration numérique. Pour la discrétisation du domaine, des triangles plans sont utilisés ; par conséquent, nous évaluons des intégrales sur le produit de deux triangles. La technique que nous avons développée nécessite de distinguer entre diverses configurations géométriques ; c'est pourquoi nous traitons séparément le cas de triangles coplanaires, dans des plans sécants ou parallèles. Divers prolongements significatifs de la méthode sont présentés : son extension à l'électromagnétisme, l'évaluation de l'intégrale du noyau de Green complet pour les coefficients d'auto-influence, et le calcul de la partie finie d'intégrales hypersingulières. / The implementation of the boundary element method requires the evaluation of integrals with a singular integrand. A reliable and accurate calculation of these integrals can in some cases be crucial and difficult. The proposed method is a recursive reduction of the dimension of the integration domain and leads to a representation of the integral as a linear combination of one-dimensional integrals whose integrand is regular and that can be evaluated numerically and even explicitly. The 3-D Helmholtz equation is used as a model equation, but these results can be used for the Laplace and the Maxwell equations in 3-D. The integrand is decomposed into a homogeneous part and a regular part, the latter can be treated by conventional numerical integration methods. For the discretization of the domain we use planar triangles, so we evaluate integrals over the product of two triangles. The technique we have developped requires to distinguish between several geometric configurations, that's why we treat separately the case of triangles in the same plane, in secant planes and in parallel planes.

La mise en œuvre de la méthode des éléments finis de frontière nécessite l'évaluation d'intégrales comportant un intégrand singulier. Un calcul fiable et précis de ces intégrales peut dans certains cas se révéler à la fois crucial et difficile. La méthode que nous proposons consiste en une réduction récursive de la dimension du domaine d'intégration et aboutit à une représentation de l'intégrale sous la forme d'une combinaison linéaire d'intégrales mono-dimensionnelles dont l'intégrand est régulier et qui peuvent s'évaluer numériquement mais aussi explicitement. L'équation de Helmholtz 3-D sert d'équation modèle mais ces résultats peuvent être utilisés pour les équations de Laplace et de Maxwell 3-D. L'intégrand est décomposé en une partie homogène et une partie régulière ; cette dernière peut être traitée par les méthodes usuelles d'intégration numérique. Pour la discrétisation du domaine, des triangles plans sont utilisés ; par conséquent, nous évaluons des intégrales sur le produit de deux triangles. La technique que nous avons développée nécessite de distinguer entre diverses configurations géométriques ; c'est pourquoi nous traitons séparément le cas de triangles coplanaires, dans des plans sécants ou parallèles. Divers prolongements significatifs de la méthode sont présentés : son extension à l'électromagnétisme, l'évaluation de l'intégrale du noyau de Green complet pour les coefficients d'auto-influence, et le calcul de la partie finie d'intégrales hypersingulières.

Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d'ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie, une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présente dans ce modèle des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s'annulent. La relation de dispersion met en évidence deux phénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d'onde s'annule ou tend vers l'infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d'une solution résonante. En effet, à cause des coefficients s'annulant continument en changeant de signe, la solution peut être singulière, i.e. avoir une composante non intégrable. Cependant, grâce au principe d'absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite de solutions intégrables du problème régularisé. L'expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passage à la limite. La partie II concerne l'approximation numérique. Elle comprend la mise en place d'une nouvelle méthode numérique adaptée aux coefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la formulation variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques, construites comme approximations locales du problème adjoint. L'analyse de convergence est effectuée en dimension un, en dimension deux la construction des fonctions de base et leur propriété d'interpolation sont détaillées. La méthode d'ordre élevé obtenue permet de simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.

Les chocs thermiques provoquent, en général, l’endommagement et la fissuration des matériaux. Ces phénomènes sont observés, par exemple, dans le revêtement de barrière thermique pour les moteurs des turbines, le traitement des surfaces ou la soudure par laser etc. Plusieurs travaux de recherche ont été réalisés au cours des dernières décennies dans l’objectif d’améliorer les performances thermiques et/ou mécaniques des matériaux sous chargement thermique. L’étude des dommages et de la fissuration des matériaux provoqués par les chocs thermiques, tels que le décollement des interfaces et de décohésion de revêtements, a reçu également une attention considérable par les chercheurs. La majorité de ces travaux utilisent les théories classiques, tels que la loi de Fourier de conduction thermique et l'hypothèse de quasi-statique. Malheureusement ces théories ne sont pas adaptées dans le cas de charges extrêmes provoqués par le choc thermique et dans le cas des matériaux micro-fissurés. En conséquence, les théories conventionnelles doivent être enrichies.L'objectif de la thèse est de montrer le rôle crucial des termes non Fourier et les termes inertiels dans le cas de choc thermique sous conditions sévères et dans le cas où les fissures sont petites. Pour cela nous avons mené des études sur deux structures particulières soumises à des chocs thermiques. Chaque structure contient une fissure parallèle au bord libre de la structure située au voisinage de ce dernier. L’influence de la présence de fissure sur la conductivité thermique est prise en compte. Nous avons utilisé la théorie Hyperbolique de transfert de chaleur par conduction pour les champs thermique et mécanique à la place de la théorie traditionnelle classique de Fourier. Pour mener cette étude, nous avons utilisé les Transformées de Laplace et de Fourier aux équations de mouvement et à l’équation de transfert de chaleur. En s’intéressant en particulier aux champs de contrainte au voisinage de la pointe de fissure et aux facteurs d'intensité de contrainte dynamiques. Le problème se ramène à la résolution d’un système d'équations intégrales singulières dans l'espace de Laplace-Fourier. On utilise une méthode d'intégration numérique pour obtenir les différents champs. Nous résolvons ensuite un système d'équations algébriques linéaires. En effectuant des inversions numériques des transformées, nous obtenons les champs de contrainte de température et les facteurs d'intensité de contrainte dynamiques dans le domaine temporel.Les résultats numériques montrent que la conductivité thermique du milieu est affectée par l’ouverture de la fissure ce qui perturberait fortement le champ de température ainsi que l'amplitude des facteurs d'intensité de contrainte dynamiques. Les amplitudes sont supérieures à celles obtenues à partir de la théorie classique de Fourier ainsi que dans le cadre de l'hypothèse quasi-statique. On constate également qu’elles oscillent au cours du temps. La prise en compte simultanément de l’influence de la fissure sur la conductivité thermique, de l'effet non-Fourier ainsi que les effetsIVd'inertie induit un couplage entre les trois phénomènes qui rendrait le problème de choc thermique très complexe. L'effet de barrière thermique induit par la fissure affecte d’une manière significative les champs de température et des contraintes. Les effets d’inertie, et des termes non-Fourier joueraient également un rôle non négligeable lorsque la longueur de la fissure est petite. Comme dans de nombreux problèmes d'ingénierie, l'initiation et la propagation des micro-fissures sont des mécanismes dont il faut tenir compte dans les prévisions de la rupture des structures. Ces effets non conventionnels ne sont plus négligeables et doivent être inclus dans l'analyse de la fracture des structures soumises à des chocs thermiques. / Thermal shock problems occur in many engineering materials and elements, which are used in high temperature applications such as thermal barrier coatings (TBCs), solid propellant of rocket-engine, pulsed-laser processing of materials, and so on. The thermal shock resistance performances and the thermal shock damages of materials, especially the interface debonding and spallation of coatings, have received considerable attention in both analysis and design. Some conventional theories, such as the Fourier’s law of thermal conduction and the quasi-static assumption of the thermoelastic body, may no longer be appropriate because of the extreme loads provoked by the thermal shock. Therefore, these conventional theories need to be enriched or revised.The objective of this thesis is to develop the solutions of the transient temperature field and thermal stresses around a partially insulated crack in a thermoelastic strip under thermal shock loading. The crack lies parallel to the heated traction free surface. The thermal conductivity of the crack gap is taken into account. Hyperbolic heat conduction theory is used in solving the temperature field instead of the traditional Fourier thermal conduction theory. Equations of motion are applied to obtain the stress fields and the dynamic stress intensity factors of the crack. The Laplace and Fourier transforms are applied to solve the thermal-elastic governing equations such that the mixed boundary value problems are reduced to solving a singular integral equations system in Laplace-Fourier space. The numerical integration method is applied to get the temperature field and stress fields, respectively. The problems are then solved numerically by converting the singular integral equations to a linear algebraic equations system. Finally, numerical inversions of the Laplace transform are performed to obtain the temperature field and dynamic stress intensity factors in the time domain.Numerical results show that the thermal conductivity of the crack gap strongly affects the uniformity of the temperature field and consequently, the magnitude of the dynamic stress intensity factors of the crack. The stress intensity factors would have higher amplitude and oscillating feature comparing to those obtained under the conventional Fourier thermal conduction and quasi-static hypotheses. It is also observed that the interactions of the thermal conductivity of the crack gap, the non-Fourier effect and the inertia effects would make the dynamic thermal shock problem more complex. The magnitude of the thermal barrier, non-Fourier and inertia effects is estimated for some practical cases.