Les matrices symétriques et définies positives, ou tenseurs, sont aujourd'hui fréquemment utilisées en traitement et analyse des images. Leur importance a été mise à jour avec l'apparition récente de l'IRM du tenseur de diffusion (ITD) et de l'anatomie algorithmique (AA). Cependant, il est difficile de travailler avec : la contrainte de positivité doit être satisfaite à tout prix, ce qui n'est pas garanti avec les opérations matricielles standard. Dans ce travail, nous proposons deux alternatives au calcul euclidien sur les tenseurs. Au lieu de voir l'espace des tenseurs comme un espace vectoriel, nous le considérons comme une variété, i.e., un espace courbe et lisse. Grâce à la géométrie riemannienne, il est alors possible de " déplier " cet espace et de généraliser aux tenseurs toute opération avec des implémentations étonnamment simples. Dans un deuxième temps, nous passons en revue les applications de tels cadres de calcul en ITD clinique et en AA du cerveau. En ITD, nous montrons qu'il est possible de traiter de manière optimale des données très bruitées typiques d'acquisitions cliniques, et de produire des reconstructions de fibres plausibles. En AA du cerveau, nous montrons qu'en considérant des repères anatomiques simples - les lignes sulcales - il est possible de mesurer précisément la variabilité interindividuelle du cortex. Finalement, nous développons un cadre nouveau pour étudier les corrélations anatomiques entre régions du cerveau, et présentons des résultats jusqu'à maintenant inconnus de dépendances entre sillons symétriques, et entre sillons à priori non reliés, soulevant ainsi de nouvelles questions sur l'origine de telles dépendances statistiques.

Nous étudions dans cette thèse la génération de maillages anisotropes basée sur la triangulation de Delaunay et le diagramme de Voronoi. Nous considérons tout d'abord les maillages anisotropes localement uniformes, développés par Boissonnat, Wormser et Yvinec. Bien que l'aspect théorique de cette approche soit connu, son utilité pratique n'a été que peu explorée. Une étude empirique exhaustive est présentée et révèle les avantages, mais aussi les inconvénients majeurs de cette méthode. Dans un second temps, nous étudions les diagrammes de Voronoi anisotropes définis par Labelle et Shewchuk. Nous donnons des conditions suffisantes sur un ensemble de points pour que le dual du diagramme soit une triangulation plongée en toute dimension ; un algorithme générant de tels ensembles est conçu. Ce diagramme est utilisé pour concevoir un algorithme qui génère efficacement un maillage anisotrope pour des domaines de dimension intrinsèque faible plongés dans des espaces de dimension large. Notre algorithme est prouvable, mais les résultats sont décevants. Enfin, nous présentons le diagramme de Voronoi Riemannien discret, qui utilise des avancées récentes dans l'estimation de distances géodésiques et dont le calcul est grandement accéléré par l'utilisation d'un graphe anisotrope. Nous donnons des conditions suffisantes pour que notre structure soit combinatoirement équivalente au diagramme de Voronoi Riemannien et que son dual utilisant des simplexes droits mais aussi courbes est une triangulation plongée en toute dimension. Nous obtenons de bien meilleurs résultats que pour nos autres techniques, mais dont l'utilité reste limitée / In this thesis, we study the generation of anisotropic meshes using the concepts of Delaunay triangulations and Voronoi diagrams. We first consider the framework of locally uniform anisotropic meshes introduced by Boissonnat, Wormser and Yvinec. Despite known theoretical guarantees, the practicality of this approach has only been hardly studied. An exhaustive empirical study is presented and reveals the strengths but also the overall impracticality of the method. In a second part, we investigate the anisotropic Voronoi diagram introduced by Labelle and Shewchuk and give conditions on a set of seeds such that the corresponding diagram has a dual that is an embedded triangulation in any dimension; an algorithm to generate such sets is devised. Using the same diagram, we propose an algorithm to generate efficiently anisotropic triangulations of low-dimensional manifolds embedded in high-dimensional spaces. Our algorithm is provable, but produces disappointing results. Finally, we study Riemannian Voronoi diagrams and introduce discrete Riemannian Voronoi diagrams, which employ recent developments in the numerical computation of geodesic distances and whose computation is accelerated through the use of an underlying anisotropic graph structure. We give conditions that guarantee that our discrete structure is combinatorially equivalent to the Riemannian Voronoi diagram and that its dual is an embedded triangulation, using both straight and curved simplices. We obtain significantly better results than with our other methods, but the overall utility of

Au cours des deux dernières décennies, l'intérêt porté aux interfaces cérébrales ou Brain Computer Interfaces (BCI) s’est considérablement accru, avec un nombre croissant de laboratoires de recherche travaillant sur le sujet. Depuis le projet Brain Computer Interface, où la BCI a été présentée à des fins de réadaptation et d'assistance, l'utilisation de la BCI a été étendue à d'autres applications telles que le neurofeedback et l’industrie du jeux vidéo. Ce progrès a été réalisé grâce à une meilleure compréhension de l'électroencéphalographie (EEG), une amélioration des systèmes d’enregistrement du EEG, et une augmentation de puissance de calcul.Malgré son potentiel, la technologie de la BCI n’est pas encore mature et ne peut être utilisé en dehors des laboratoires. Il y a un tas de défis qui doivent être surmontés avant que les systèmes BCI puissent être utilisés à leur plein potentiel. Ce travail porte sur des aspects importants de ces défis, à savoir la spécificité des systèmes BCI aux capacités physiques des utilisateurs, la robustesse de la représentation et de l'apprentissage du EEG, ainsi que la suffisance des données d’entrainement. L'objectif est de fournir un système BCI qui peut s’adapter aux utilisateurs en fonction de leurs capacités physiques et des variabilités dans les signaux du cerveau enregistrés.À ces fins, deux voies principales sont explorées : la première, qui peut être considérée comme un ajustement de haut niveau, est un changement de paradigmes BCI. Elle porte sur la création de nouveaux paradigmes qui peuvent augmenter les performances de la BCI, alléger l'inconfort de l'utilisation de ces systèmes, et s’adapter aux besoins des utilisateurs. La deuxième voie, considérée comme une solution de bas niveau, porte sur l’amélioration des techniques de traitement du signal et d’apprentissage statistique pour améliorer la qualité du signal EEG, la reconnaissance des formes, ainsi que la tache de classification.D'une part, une nouvelle méthodologie dans le contexte de la robotique d'assistance est définie : il s’agit d’une approche hybride où une interface physique est complémentée par une interface cérébrale pour une interaction homme-machine plus fluide. Ce système hybride utilise les capacités motrices résiduelles des utilisateurs et offre la BCI comme un choix optionnel : l'utilisateur choisit quand utiliser la BCI et peut alterner entre les interfaces cérébrales et musculaire selon le besoin.D'autre part, pour l’amélioration des techniques de traitement du signal et d'apprentissage statistique, ce travail utilise un cadre Riemannien. Un frein majeur dans le domaine de la BCI est la faible résolution spatiale du EEG. Ce problème est dû à l'effet de conductance des os du crâne qui agissent comme un filtre passe-bas non linéaire, en mélangeant les signaux de différentes sources du cerveau et réduisant ainsi le rapport signal-à-bruit. Par conséquent, les méthodes de filtrage spatial ont été développées ou adaptées. La plupart d'entre elles – à savoir la Common Spatial Pattern (CSP), la xDAWN et la Canonical Correlation Analysis (CCA) – sont basées sur des estimations de matrice de covariance. Les matrices de covariance sont essentielles dans la représentation d’information contenue dans le signal EEG et constituent un élément important dans leur classification. Dans la plupart des algorithmes d'apprentissage statistique existants, les matrices de covariance sont traitées comme des éléments de l'espace euclidien. Cependant, étant symétrique et défini positive (SDP), les matrices de covariance sont situées dans un espace courbe qui est identifié comme une variété riemannienne. Utiliser les matrices de covariance comme caractéristique pour la classification des signaux EEG, et les manipuler avec les outils fournis par la géométrie de Riemann, fournit un cadre solide pour la représentation et l'apprentissage du EEG. / In the last two decades, interest in Brain-Computer Interfaces (BCI) has tremendously grown, with a number of research laboratories working on the topic. Since the Brain-Computer Interface Project of Vidal in 1973, where BCI was introduced for rehabilitative and assistive purposes, the use of BCI has been extended to more applications such as neurofeedback and entertainment. The credit of this progress should be granted to an improved understanding of electroencephalography (EEG), an improvement in its measurement techniques, and increased computational power.Despite the opportunities and potential of Brain-Computer Interface, the technology has yet to reach maturity and be used out of laboratories. There are several challenges that need to be addresses before BCI systems can be used to their full potential. This work examines in depth some of these challenges, namely the specificity of BCI systems to users physical abilities, the robustness of EEG representation and machine learning, and the adequacy of training data. The aim is to provide a BCI system that can adapt to individual users in terms of their physical abilities/disabilities, and variability in recorded brain signals.To this end, two main avenues are explored: the first, which can be regarded as a high-level adjustment, is a change in BCI paradigms. It is about creating new paradigms that increase their performance, ease the discomfort of using BCI systems, and adapt to the user’s needs. The second avenue, regarded as a low-level solution, is the refinement of signal processing and machine learning techniques to enhance the EEG signal quality, pattern recognition and classification.On the one hand, a new methodology in the context of assistive robotics is defined: it is a hybrid approach where a physical interface is complemented by a Brain-Computer Interface (BCI) for human machine interaction. This hybrid system makes use of users residual motor abilities and offers BCI as an optional choice: the user can choose when to rely on BCI and could alternate between the muscular- and brain-mediated interface at the appropriate time.On the other hand, for the refinement of signal processing and machine learning techniques, this work uses a Riemannian framework. A major limitation in this filed is the EEG poor spatial resolution. This limitation is due to the volume conductance effect, as the skull bones act as a non-linear low pass filter, mixing the brain source signals and thus reducing the signal-to-noise ratio. Consequently, spatial filtering methods have been developed or adapted. Most of them (i.e. Common Spatial Pattern, xDAWN, and Canonical Correlation Analysis) are based on covariance matrix estimations. The covariance matrices are key in the representation of information contained in the EEG signal and constitute an important feature in their classification. In most of the existing machine learning algorithms, covariance matrices are treated as elements of the Euclidean space. However, being Symmetric and Positive-Definite (SPD), covariance matrices lie on a curved space that is identified as a Riemannian manifold. Using covariance matrices as features for classification of EEG signals and handling them with the tools provided by Riemannian geometry provide a robust framework for EEG representation and learning.