CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Esta tese teve dois objetos de estudo: propriedades estocÃsticas em uma variedade Riemanniana, a saber, Completude EstocÃstica, Parabolicidade e propriedade Feller, e a geometria do tensor de Bakry-Emery. Na primeira parte da tese estudamos tais propriedades estocÃsticas no contexto de submersÃes Riemannianas e imersÃes isomÃtricas, tendo como ponto de partida o trabalho de Pigola e Setti [28] sobre a propriedade Feller. No nosso primeiro resultado, provamos que se uma imersÃo isomÃtrica em uma variedade Cartan-Hadamard possui vetor curvatura mÃdia com norma limitada entÃo a imersÃo à Feller. Um anÃlogo desse resultado jà era conhecido para o caso de completude estocÃstica [30]. Em seguida estabelecemos condiÃÃes necessÃrias e suficientes para que uma submersÃo seja estocasticamente completa (respec. parabÃlica), a saber, se uma submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e o espaÃo total à estocasticamente completo (respec. parabÃlico) entÃo a base à estocasticamente completa (respec. parabÃlica). Reciprocamente, se a submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e compacta e a base à estocasticamente completa (respec. parabÃlica) entÃo o espaÃo total à estocasticamente completo (respec. parabÃlico). Finalmente provamos que uma submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e compacta entÃo o espaÃo total Âe Feller, se, e somente se, a base à Feller. Na segunda parte desta tese estudamos o tensor de Bakry-Emery Ricci, Ricf, que à uma extensÃo, no caso de variedades ponderadas, do tensor de Ricci. Estudamos a seguinte situaÃÃo: Ricci ≥ -cG, onde c à uma constante positiva e G ≥ O à uma funÃÃo suave. Esta limitaÃÃo nos permitiu obter algumas consequencias geomÃtricas e topolÃgicas, que passamos a descrever. Seja Mf uma variedade Riemanniana ponderada e po Є Mf fixado. Nosso primeiro resultado à uma estimativa superior, fora da bola geodÃsica de raio ro, para o Laplaciano ponderado da funÃÃo distÃncia r ao ponto po, mf, em termos da integral da funÃÃo G. A primeira consequÃncia dessa estimativa à uma estimativa para o volume ponderado Volf (B(R)) de uma bola geodÃsica de raio R em termos da integral da funÃÃo G. A estimativa de mf, juntamente com a hipÃtese de Æ ser radial e Әr Æ ≥ -a,a ≥ 0 (ou | Æ|≤ k) tambÃm nos permite demonstrar um teorema de comparaÃÃo entre mf e maG, Laplaciano da funÃÃo distÃncia no modelo de curvatura aG, bem como um teorema de comparaÃÃo entre o volume ponderado de uma bola geodÃsica de raio R em Mf, VolÆ(B(R)), e o volume da bola geodÃsica de raio R no modelo MaG, de curvatura aG. Utilizando uma versÃo ponderada da fÃrmula de Bochner provamos que, se Ricci ≥ Gâ entÃo Mf satisfaz o princÃpio do mÃximo de Omori-Yau, onde G à funÃÃo suave, positiva, nÃo decrescente e tal que G-1 nÃo à integrÃvel. Em particular concluÃmos que Mf à estocasticamente completa. O prÃximo resultado que obtivemos estende, para o tensor Ricf, um teorema de Myers devido a Ambrose [1]. Para tanto, uma hipÃtese sobre a funÃÃo Æ foi necessÃria. Como aplicaÃÃo, estendemos um resultado de compacidade de Ricci solitons de Fernando-Lopes e Garcia-Rio [15]. Em 1976, Yau [36] provou uma estimativa para o gradiente de uma funÃÃo u, positiva, harmÃnica em B(2R), no caso de M ser completa e Ricf ≥ -k, k ≥ 0. Tal estimativa depende apenas de R e k e foi estendida, no caso ponderado, para funÃÃes f harmÃnicas positivas, supondo Ricf ≥ -k e Ric ≥ -H, k, H ≥ 0. Bringhton [9] obteve estimativas para o gradiente de uma funÃÃo *-harmÃnica positiva utilizando somente a hipÃtese Ricf ≥ -k. As estimativas que obtivemos estendem as estimativas citas acima e, no caso em que Æ=G=0 resultam na estimativa original de Yau. Finalmente, provamos um teorema de comparaÃÃo entre o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodÃsica de raio R em Mf e o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodÃsica de raio MG. Tal resultado estende, para o caso ponderado, um resultado de Bessa e Montenegro [4]. / In this thesis we studied two objects(?): properties in Riemannian manifolds, more precisely stochastic completeness, parabolicity and the Feller property and geometric properties of Bakry Emery Ricci tensor. First, we studied such stochastic properties on Riemannian and isometric immersions. The initial motivation was the work of Pigola and Setti [30] about the Feller property. In our first result, we proved that if a isometric immersion on a Cartan-Hadamard manifold has bounded mean curvature vector then the immersion is Feller. An analogous result was know for stochastic completeness. After we stabilish necessary and sufficient conditions to a Riemannian submersion be stochastically complete (parabolic). More precisely if a Riemannian submersion has minimal fiber and the total space is stochastically complete (parabolic ) then the basis is also stochastically complete ( parabolic ). Conversely, if the Riemannian submersion has compact minimal fiber and the basis is stochastically complete ( parabolic, Feller ) then the total space also is. We also proved that if a Riemannian submersion has compact minimal fiber then the total space is Feller if, and only if the the basis is Feller. In the second part we studied the Barkry Emery Ricci tensor Ricf, wich is a natural extension of the Ricci tensor in the context of weighted manifolds. We studied the following: suppose that Ricf has a lower bound âcG where G is a smooth nonnegative function and c a positive constant. Such lower bound allow us to obtain some geometric and topological consequences as we describe below. Consider Mf a weighted Riemannian manifold. The first consequence is an upper estimate, outside a geodesic ball of radius r0, for the weighted Laplacian of the Riemannian distance in terms of the function G. Let Mf be a weighted Riemannian manifold and po Є Mf fixed. Our first result is an upper bound, outside of a geodesic ball of radius R centered in po, for the weighted Laplacian os the Riemannian distance function from po in terms od the function G. The first consequence of this estimate is an estimate for the weighted volume Volf (B(R)) of a geodesic ball with radius R in terms of the integral of G. This estimate together the assumption of f be radial and Ә f ≥ - a, a≥ 0 (or | f | ≤k ) allow us to prove a comparison theorem for mf e mag, the Laplacian of distance function of the Riemannian model fo curvature aG, as such as a comparison theoremfor the weighted volume of a geodesic ball with radius R on the Riemannian model MaG, with curvature aG. Using a weighted version of the Bochner formula we proved that Ricf ≥ Gâ then Mf satisfies the Omori-Yau Maximum Principle, where G is a positive, nondecreasing smooth function, such that G-1 does not belong to L1(Mf). In particular we conclude that Mf is stochastically complete. The next result we proved extends, for the tensor Ricf, a type Myers theorem due to Ambrose [1]. For this an additional assumption on f was required. As an aplication of this result we extended a result about compacity of Ricci solitons due to Fernandez-Lopez e GarcÃa-Rio [15]. In 1976, Yau [36] proved an estimate for the gradient of a positive harmonic funcion u, defined on B(2R), when M is complete and Ric ≥ -k, k≥ 0. Such estimate depends only on R and k and was extended, to the weighted, to the case, to f-harmonic positive functions, when Ricf ≥ - k and Ric ≥ - H, k, H ≥ 0. Brighton [9] obtained estimates for the gradient of a positive f-harmonic function assuming only Ricf ≥ -k. We obtained estimates for the case Ricf ≥ -G where G is a smooth nonnegative function and when f= G = 0 we recover the original estimate of Yau. Finally we proved a comparison theorem between the first eigenvalue of the geodesic ball of radius r on Mf and the first eigenvalue of the geodesic ball of radius r of the model MG. Such result extends, to the weighted case, a result due to Bessa e Montenegro [4].

Si µ est une mesure de probabilité à support compact dans uns espace vectoriel ou affine de dimension finie, le barycentre (ou centre de gravité) de µ est un point bien défini de l’espace. Mais des difficultés surgissent lorsque l’espace est remplacé par une variété riemannienne M ; dans ce cas, même en se restreignant aux variétés convexes (c’est-à-dire deux dont points quelconques sont toujours joints par une géodésique et une seule) et aux mesures à support fini, il est en général impossible d'assigner à chaque probabilité un barycentre de façon que, d'une part,pour tous λϵ [0; 1] et x et y dans M, le barycentre de µ = (1- λ ) δˣ+ λ δy soit toujours le point γ(λ), sur la géodésique telle que γ (0) = x et γ (1) = y, et que, d'autre part, soit préservée la propriété d'associativité (pour faire une moyenne, on peut commencer par faire des moyennes partielles). Dés que la mesure µ est portée par au moins trois points non tous situées sur une même géodésique, il y a de multiples façons différentes de définir son barycentre comme barycentre de barycentres partiels de barycentres partiels etc., chaque opération élémentaire ne faisant intervenir que deux points. On obtient ainsi tout un ensemble de points de M, les barycentres itérés de µ . Pour des probabilités plus générales, on appelle barycentre convexe de µ l'ensemble b(µ) des points x de M qui sont limites d'une suite (xn), ou chaque xn est un barycentre itéré d'une probabilité µn à support fini, les mesures µn tendant vers µ. / If μ is a probability measure carried on a small in a finite-dimension vectorial or affine space, the μ- barycenter (center of gravity) is a well-defined point in space. Nevertheless, difficulties arise when space is changed by Riemannian manifold M. In this case, even if we limit to convex manifolds (i.e : when any two points are joined by one geodesic and just one) and to finite-support measures, it’s, in general impossible to attribute a barycenter to each probability, in such a way, on one hand, whetever λϵ [0; 1] and x and y in M, the barycenter of µ = (1- λ ) δˣ+ λ δy will be always the point γ(λ) of the geodesic such that γ (0) = x et γ (1) =y, and on another hand, the associative property will be maintained (to make a mean, we can begin by doing partial means). Once the measure μ is carried by at least three points which are not all localed on the same geodesic, there are different manners to define its barycenter as one of partial barycenters of partial barycenters and so on, in which each elementary operation includes only two points. Thus, we get a whole set of set of points of M, the iterated barycenters of μ. For more general probabilities μ, we call convex barycenter of μ, the set b(μ) of points x of M which are limit of sequence (xn), in which each xn is an iterated barycenter of a finite support probability μn, the measure μn tending to μ.