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Orientador: Diego Sebastian Ledesma / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:36:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paula_PedroManfrimMagalhaesde_M.pdf: 1130226 bytes, checksum: bbd8d375ddf7846ed2eafe024103e682 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre variedades Riemannianas que possuem um tensor de Bakry-Émery-Ricci com limitações. Inicialmente abordamos tanto aspectos da geometria Riemanniana tradicional como métricas e geodésicas, quanto aspectos mais avançados como as fórmulas de Bochner, Weitzenböck e o teorema de Hodge. Em seguida discutimos a convergência de Gromov-Hausdorff e suas propriedades, além de serem apresentados alguns teoremas como os de Kasue e Fukaya. Por fim estudamos as propriedades topológicas e geométricas de variedades com limitação no tensor de Bakry-Émery-Ricci e o comportamento de tais limitações com respeito à submersões e à convergência de Gromov-Hausdorff / Abstract: This work presents a study about Riemannian manifolds having a Bakry-Émery-Ricci tensor with bounds. Initially we approached both the traditional aspects of Riemannian geometry like metrics and geodesics, as more advanced aspects like the Bochner, Weitzenböck formulas and the Hodge's theorem. Then we discussed the Gromov-Hausdorff convergence and its properties, in addition to showing some theorems as those from Kasue and Fukaya. Lastly we studied the topological and geometric properties of manifolds with bounds on the Bakry-Émery-Ricci tensor and the behavior of these bounds with respect to submersions and the Gromov-Hausdorff convergence / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Orientador: Diego Sebastian Ledesma / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-21T14:31:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 YalandaMuelas_YamitYesid_M.pdf: 7930295 bytes, checksum: 93c5826f6c164fed94abacbb42db5256 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Nesta dissertação apresentamos generalizações de três resultados muito conhecidos em geometria Riemanniana: o Teorema de Myers, o Teorema de Bochner e o Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll. Em particular veremos que fazendo uma pequena modificação sobre os requisitos destes teoremas no que se refere ao tensor de Ricci, os resultados permanecem inalterados / Abstract: In this dissertation we present generalizations of three well-known results in Riemannian geometry: The Myers's theorem, Bochner's theorem and the Cheeger-Gromoll splitting theorem. In particular, we will prove that making a small modification of the requirements of these theorems related to the Ricci tensor, the results remain unchanged / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Esta tese teve dois objetos de estudo: propriedades estocÃsticas em uma variedade Riemanniana, a saber, Completude EstocÃstica, Parabolicidade e propriedade Feller, e a geometria do tensor de Bakry-Emery. Na primeira parte da tese estudamos tais propriedades estocÃsticas no contexto de submersÃes Riemannianas e imersÃes isomÃtricas, tendo como ponto de partida o trabalho de Pigola e Setti [28] sobre a propriedade Feller. No nosso primeiro resultado, provamos que se uma imersÃo isomÃtrica em uma variedade Cartan-Hadamard possui vetor curvatura mÃdia com norma limitada entÃo a imersÃo à Feller. Um anÃlogo desse resultado jà era conhecido para o caso de completude estocÃstica [30]. Em seguida estabelecemos condiÃÃes necessÃrias e suficientes para que uma submersÃo seja estocasticamente completa (respec. parabÃlica), a saber, se uma submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e o espaÃo total à estocasticamente completo (respec. parabÃlico) entÃo a base à estocasticamente completa (respec. parabÃlica). Reciprocamente, se a submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e compacta e a base à estocasticamente completa (respec. parabÃlica) entÃo o espaÃo total à estocasticamente completo (respec. parabÃlico). Finalmente provamos que uma submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e compacta entÃo o espaÃo total Âe Feller, se, e somente se, a base à Feller. Na segunda parte desta tese estudamos o tensor de Bakry-Emery Ricci, Ricf, que à uma extensÃo, no caso de variedades ponderadas, do tensor de Ricci. Estudamos a seguinte situaÃÃo: Ricci ≥ -cG, onde c à uma constante positiva e G ≥ O à uma funÃÃo suave. Esta limitaÃÃo nos permitiu obter algumas consequencias geomÃtricas e topolÃgicas, que passamos a descrever. Seja Mf uma variedade Riemanniana ponderada e po Є Mf fixado. Nosso primeiro resultado à uma estimativa superior, fora da bola geodÃsica de raio ro, para o Laplaciano ponderado da funÃÃo distÃncia r ao ponto po, mf, em termos da integral da funÃÃo G. A primeira consequÃncia dessa estimativa à uma estimativa para o volume ponderado Volf (B(R)) de uma bola geodÃsica de raio R em termos da integral da funÃÃo G. A estimativa de mf, juntamente com a hipÃtese de Æ ser radial e Әr Æ ≥ -a,a ≥ 0 (ou | Æ|≤ k) tambÃm nos permite demonstrar um teorema de comparaÃÃo entre mf e maG, Laplaciano da funÃÃo distÃncia no modelo de curvatura aG, bem como um teorema de comparaÃÃo entre o volume ponderado de uma bola geodÃsica de raio R em Mf, VolÆ(B(R)), e o volume da bola geodÃsica de raio R no modelo MaG, de curvatura aG. Utilizando uma versÃo ponderada da fÃrmula de Bochner provamos que, se Ricci ≥ Gâ entÃo Mf satisfaz o princÃpio do mÃximo de Omori-Yau, onde G à funÃÃo suave, positiva, nÃo decrescente e tal que G-1 nÃo à integrÃvel. Em particular concluÃmos que Mf à estocasticamente completa. O prÃximo resultado que obtivemos estende, para o tensor Ricf, um teorema de Myers devido a Ambrose [1]. Para tanto, uma hipÃtese sobre a funÃÃo Æ foi necessÃria. Como aplicaÃÃo, estendemos um resultado de compacidade de Ricci solitons de Fernando-Lopes e Garcia-Rio [15]. Em 1976, Yau [36] provou uma estimativa para o gradiente de uma funÃÃo u, positiva, harmÃnica em B(2R), no caso de M ser completa e Ricf ≥ -k, k ≥ 0. Tal estimativa depende apenas de R e k e foi estendida, no caso ponderado, para funÃÃes f harmÃnicas positivas, supondo Ricf ≥ -k e Ric ≥ -H, k, H ≥ 0. Bringhton [9] obteve estimativas para o gradiente de uma funÃÃo *-harmÃnica positiva utilizando somente a hipÃtese Ricf ≥ -k. As estimativas que obtivemos estendem as estimativas citas acima e, no caso em que Æ=G=0 resultam na estimativa original de Yau. Finalmente, provamos um teorema de comparaÃÃo entre o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodÃsica de raio R em Mf e o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodÃsica de raio MG. Tal resultado estende, para o caso ponderado, um resultado de Bessa e Montenegro [4]. / In this thesis we studied two objects(?): properties in Riemannian manifolds, more precisely stochastic completeness, parabolicity and the Feller property and geometric properties of Bakry Emery Ricci tensor. First, we studied such stochastic properties on Riemannian and isometric immersions. The initial motivation was the work of Pigola and Setti [30] about the Feller property. In our first result, we proved that if a isometric immersion on a Cartan-Hadamard manifold has bounded mean curvature vector then the immersion is Feller. An analogous result was know for stochastic completeness. After we stabilish necessary and sufficient conditions to a Riemannian submersion be stochastically complete (parabolic). More precisely if a Riemannian submersion has minimal fiber and the total space is stochastically complete (parabolic ) then the basis is also stochastically complete ( parabolic ). Conversely, if the Riemannian submersion has compact minimal fiber and the basis is stochastically complete ( parabolic, Feller ) then the total space also is. We also proved that if a Riemannian submersion has compact minimal fiber then the total space is Feller if, and only if the the basis is Feller. In the second part we studied the Barkry Emery Ricci tensor Ricf, wich is a natural extension of the Ricci tensor in the context of weighted manifolds. We studied the following: suppose that Ricf has a lower bound âcG where G is a smooth nonnegative function and c a positive constant. Such lower bound allow us to obtain some geometric and topological consequences as we describe below. Consider Mf a weighted Riemannian manifold. The first consequence is an upper estimate, outside a geodesic ball of radius r0, for the weighted Laplacian of the Riemannian distance in terms of the function G. Let Mf be a weighted Riemannian manifold and po Є Mf fixed. Our first result is an upper bound, outside of a geodesic ball of radius R centered in po, for the weighted Laplacian os the Riemannian distance function from po in terms od the function G. The first consequence of this estimate is an estimate for the weighted volume Volf (B(R)) of a geodesic ball with radius R in terms of the integral of G. This estimate together the assumption of f be radial and Ә f ≥ - a, a≥ 0 (or | f | ≤k ) allow us to prove a comparison theorem for mf e mag, the Laplacian of distance function of the Riemannian model fo curvature aG, as such as a comparison theoremfor the weighted volume of a geodesic ball with radius R on the Riemannian model MaG, with curvature aG. Using a weighted version of the Bochner formula we proved that Ricf ≥ Gâ then Mf satisfies the Omori-Yau Maximum Principle, where G is a positive, nondecreasing smooth function, such that G-1 does not belong to L1(Mf). In particular we conclude that Mf is stochastically complete. The next result we proved extends, for the tensor Ricf, a type Myers theorem due to Ambrose [1]. For this an additional assumption on f was required. As an aplication of this result we extended a result about compacity of Ricci solitons due to Fernandez-Lopez e GarcÃa-Rio [15]. In 1976, Yau [36] proved an estimate for the gradient of a positive harmonic funcion u, defined on B(2R), when M is complete and Ric ≥ -k, k≥ 0. Such estimate depends only on R and k and was extended, to the weighted, to the case, to f-harmonic positive functions, when Ricf ≥ - k and Ric ≥ - H, k, H ≥ 0. Brighton [9] obtained estimates for the gradient of a positive f-harmonic function assuming only Ricf ≥ -k. We obtained estimates for the case Ricf ≥ -G where G is a smooth nonnegative function and when f= G = 0 we recover the original estimate of Yau. Finally we proved a comparison theorem between the first eigenvalue of the geodesic ball of radius r on Mf and the first eigenvalue of the geodesic ball of radius r of the model MG. Such result extends, to the weighted case, a result due to Bessa e Montenegro [4].

BALTAZAR, H. I. Métricas críticas do funcional volume e não-existência de múltiplos buracos negros em espaço-tempo estático. 2017. 67 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-07-12T19:24:59Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_hibaltazar.pdf: 449308 bytes, checksum: a4275b6fceeb5cb76fe217e956f933cd (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-13T12:17:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_hibaltazar.pdf: 449308 bytes, checksum: a4275b6fceeb5cb76fe217e956f933cd (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-13T12:17:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_hibaltazar.pdf: 449308 bytes, checksum: a4275b6fceeb5cb76fe217e956f933cd (MD5) Previous issue date: 2017-07-05 / This work is divided in two parts. In the first one we prove a Böchner type formula for critical metrics of the volume functional on compact manifolds with fixed metric on boundary (such critical metrics are called Miao-Tam critical metrics). As an application, we derive an integral formula that will be crucial to deduce a generalization of a result obtained by Miao and Tam in 2011 for the Einstein case. More precisely, we prove that a Miao-Tam critical metric with parallel Ricci curvature must be isometric to a geodesic ball in a simply connected space form Rn, Sn or Hn. Furthermore, in dimension 3, we prove that critical metrics with non-negative sectional curvature are precisely geodesic balls of R3 or S3. Moreover, we generalize a result due to Kim and Shin (2016), replacing the harmonic Weyl tensor condition by the second order divergence free Weyl tensor condition (i.e., div2W = 0), which is weaker that the former. To be precise, we shall show that a 4-dimensional Miao-Tam critical metric, with boundary isometric to a standard sphere S3 and satisfying div2W = 0 is isometric to a geodesic ball in a simply connected space form R4, S4 or H4. At the same time, we get some rigidity results for positive static triples. In the second part, we study static vacuum space-times, which can be seen as a special case of the V-static metrics for complete Riemannian manifolds with null scalar curvature. In this case, we focus our attention on four dimensions. We prove that there are no multiple black holes on static vacuum space-times with half harmonic Weyl tensor (i.e., divW+ = 0). / Esse trabalho está dividido em duas partes. A primeira delas está relacionada ao estudo de fórmulas tipo-Böchner para métricas críticas do funcional volume em variedades compactas com métrica fixada no bordo (estas são conhecidas como métricas críticas de Miao-Tam). Como aplicação, estabeleceremos uma fórmula integral que permitirá generalizar o resultado obtido por Miao e Tam em 2011 para o caso Einstein, mais precisamente, provaremos que métricas críticas de Miao-Tam com curvatura de Ricci paralelo são isométricas às bolas geodésicas em um espaço forma simplesmente conexo Rn, Sn ou Hn. Se nos restringirmos às variedades com dimensão 3, veremos que tais estruturas se mostram ainda mais rígidas, a saber, provaremos que métricas críticas com curvatura seccional não-negativa são precisamente as bolas geodésicas de R3 ou S3. Além disso, generalizamos o resultado obtido por Kim e Shin (2016) substituindo condição de harmonicidade do tensor de Weyl pela hipótese que o tensor de Weyl tem divergente de segunda ordem nulo (i.e., div2W = 0). Mais precisamente, mostraremos que métricas críticas de Miao-Tam em dimensão 4, com bordo isométrico a esfera S3 e satisfazendo div2W = 0, são isométricas às bolas geodésicas em um espaço forma simplesmente conexo R4, S4 ou H4. Concomitantemente, obtemos resultados de rigidez para triplas estáticas positivas. Na segunda parte do trabalho, estudaremos o espaço-tempo estático no vácuo, o qual pode ser visto como um caso especial das mátricas V-estáticas para variedades completas com curvatura escalar nula. Neste caso, restringiremos nosso estudo a quarta dimensão e provaremos que não existem múltiplos buracos negros em um espaço-tempo estático no vácuo com a parte autodual do tensor de Weyl harmônico (i.e., divW+ = 0).

Cette thèse traite de plusieurs sujets d'analyse dans les espaces métriques mesurés, en lien avec le transport optimal et des conditions de courbure-dimension. Nous considérons en particulier les équations de continuité dans ces espaces, du point de vue de fonctionnelles continues sur les espaces de Sobolev, et du point de vue de la dualité avec les courbes absolument continues dans l'espace de Wasserstein. Sous une condition de courbure-dimension, mais sans condition de doublement de mesure ou d'inégalité de Poincaré, nous montrons également l'identification des p-gradients faibles. Nous étudions ensuite les espaces de Sobolev sur le produit tordu de l'ensemble des réels et d'un espace métrique mesuré. En particulier, nous montrons la propriété Sobolev-à-Lipschitz sous une certaine condition de courbure-dimension. Enfin, sous une telle condition et dans le cadre d'une théorie non-lisse de Bakry-Emery, nous obtenons une inégalité améliorée de Bochner et proposons une définition du N-tenseur de Ricci. / This thesis concerns in some topics on calculus in metric measure spaces, in connection with optimal transport theory and curvature-dimension conditions. We study the continuity equations on metric measure spaces, in the viewpoint of continuous functionals on Sobolev spaces, and in the viewpoint of the duality with respect to absolutely continuous curves in the Wasserstein space. We study the Sobolev spaces of warped products of a real line and a metric measure space. We prove the 'Pythagoras theorem' for both cartesian products and warped products, and prove Sobolev-to-Lipschitz property for warped products under a certain curvature-dimension condition. We also prove the identification of p-weak gradients under curvature-dimension condition, without the doubling condition or local Poincaré inequality. At last, using the non-smooth Bakry-Emery theory on metric measure spaces, we obtain a Bochner inequality and propose a definition of N-Ricci tensor.