Orientador: Olivâine Santana de Queiroz / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-27T03:06:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Hitomi_EduardoEizoAramaki_M.pdf: 5800906 bytes, checksum: 04b93921a20d8ab0f71d4977b9e93e73 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Nesta dissertação realizamos um estudo sobre o fluxo de curvatura média em espaços Euclidianos sob as perspectivas analítica e geométrica. Tratamos inicialmente da existência e regularidade de soluções em tempos pequenos de equações parabólicas quase lineares de segunda ordem em variedades Riemannianas, o que é essencial para garantirmos a existência de uma solução suave em tempo pequeno do fluxo de curvatura média. Em uma segunda parte, passamos a alguns resultados sobre o comportamento no intervalo maximal de existência de uma solução suave da hipersuperfície em evolução, por meio de equações das componentes geométricas associadas e de Princípios de Máximo. Próximo desse tempo maximal, analisamos a formação de singularidades do Tipo I por meio da Fórmula de Monotonicidade de Huisken e de rescalings, e do Tipo II por meio de uma técnica de blow-up devida a Hamilton. Em especial, reservamos o caso de curvas a um capítulo a parte e apresentamos resultados clássicos da teoria de curve-shortening flows / Abstract: In this dissertation we study the mean curvature flow in Euclidean spaces from the analytic and geometric point of view. We deal initially with short-time existence and regularity of a solution for second order quasilinear parabolic equations on Riemannian manifolds, which is essential to guarantee the short-time existence of a smooth solution to the mean curvature flow. In a second part, we present some results concerning the behavior of the evolving hypersurface close to the maximal time of existence of a smooth solution, by means of Maximum Principles and evolution equations of the associated geometric components. Close to this maximal time, we analyse the formation of singularities of Type I by means of rescalings and Huisken's Monotonicity Formula, and of Type II by means of a blow-up technique due to Hamilton. In particular, we reserve the case of curves to a separate chapter, where we present some classical results in curve-shortening flow theory / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Orientador: Diego Sebastian Ledesma / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:36:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paula_PedroManfrimMagalhaesde_M.pdf: 1130226 bytes, checksum: bbd8d375ddf7846ed2eafe024103e682 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre variedades Riemannianas que possuem um tensor de Bakry-Émery-Ricci com limitações. Inicialmente abordamos tanto aspectos da geometria Riemanniana tradicional como métricas e geodésicas, quanto aspectos mais avançados como as fórmulas de Bochner, Weitzenböck e o teorema de Hodge. Em seguida discutimos a convergência de Gromov-Hausdorff e suas propriedades, além de serem apresentados alguns teoremas como os de Kasue e Fukaya. Por fim estudamos as propriedades topológicas e geométricas de variedades com limitação no tensor de Bakry-Émery-Ricci e o comportamento de tais limitações com respeito à submersões e à convergência de Gromov-Hausdorff / Abstract: This work presents a study about Riemannian manifolds having a Bakry-Émery-Ricci tensor with bounds. Initially we approached both the traditional aspects of Riemannian geometry like metrics and geodesics, as more advanced aspects like the Bochner, Weitzenböck formulas and the Hodge's theorem. Then we discussed the Gromov-Hausdorff convergence and its properties, in addition to showing some theorems as those from Kasue and Fukaya. Lastly we studied the topological and geometric properties of manifolds with bounds on the Bakry-Émery-Ricci tensor and the behavior of these bounds with respect to submersions and the Gromov-Hausdorff convergence / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática