SANTOS, A. S. L. Problema de Yamabe modificado em variedades compactas de dimensão quatro e métricas críticas do funcional curvatura escalar. 2017. 58 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-05-25T19:34:47Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 535461 bytes, checksum: 8c3ddbdd33d74c4eb7b265354b3bafb3 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Boa tarde, Eu revisei a Tese de ALEX SANDRO LOPES SANTOS, e encontrei um pequeno erro na capa, ele colocou os seguintes elementos: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA DOUTORADO EM MATEMÁTICA Mas deve ser alterado para: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Com os demais elementos da Tese, não há nenhum problema de formatação. Atenciosamente, on 2017-05-26T15:06:03Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-05-29T13:47:44Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-05-29T14:08:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-29T14:08:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aslsantos.pdf: 536279 bytes, checksum: f37ece7d8035a2d9c788c45d2e7807ae (MD5) Previous issue date: 2017-05-19 / In the fisrt part of this work we investigate the modified Yamabe problem on four-dimensional manifolds whose the modifiers invariants depending on the eigenvalues of the Weyl curvature tensor and they are described in terms of maximum and minimum of the biorthogonal (sectional) curvature. We provide some geometrical and topological properties on four-dimensional manifolds in terms of these invariants. In the second part we investigate the critical points of the total scalar curvature functional restricted to space of metrics with constant scalar curvature of unitary volume, for simplicity CPE metrics. It was conjectured in the 1980’s that every CPE metric must be Einstein. We prove that such a conjecture is true under a second-order vanishing condition on the Weyl tensor. / Na primeira parte deste trabalho investigamos o problema de Yamabe modificado em variedades de dimensão quatro cujos invariantes modificadores dependem dos autovalores do tensor de Weyl e são descritos em termos do máximo e mínimo da curvatura biortogonal (seccional). Fornecemos algumas propriedades geométricas e topológicas para tais variedades em termos destes invariantes. Na segunda parte investigamos os pontos críticos do funcional curvatura escalar total restrito ao espaço de métricas com curvatura escalar constante e volume unitário, abreviadamente chamamos de métricas CPE. Conjecturou-se na década de 1980 que toda métrica CPE deve ser Einstein. Provamos que tal conjectura é verdadeira sob uma condição de nulidade sobre o divergente de segunda ordem do tensor de Weyl.

BALTAZAR, H. I. Métricas críticas do funcional volume e não-existência de múltiplos buracos negros em espaço-tempo estático. 2017. 67 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-07-12T19:24:59Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_hibaltazar.pdf: 449308 bytes, checksum: a4275b6fceeb5cb76fe217e956f933cd (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-13T12:17:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_hibaltazar.pdf: 449308 bytes, checksum: a4275b6fceeb5cb76fe217e956f933cd (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-13T12:17:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_hibaltazar.pdf: 449308 bytes, checksum: a4275b6fceeb5cb76fe217e956f933cd (MD5) Previous issue date: 2017-07-05 / This work is divided in two parts. In the first one we prove a Böchner type formula for critical metrics of the volume functional on compact manifolds with fixed metric on boundary (such critical metrics are called Miao-Tam critical metrics). As an application, we derive an integral formula that will be crucial to deduce a generalization of a result obtained by Miao and Tam in 2011 for the Einstein case. More precisely, we prove that a Miao-Tam critical metric with parallel Ricci curvature must be isometric to a geodesic ball in a simply connected space form Rn, Sn or Hn. Furthermore, in dimension 3, we prove that critical metrics with non-negative sectional curvature are precisely geodesic balls of R3 or S3. Moreover, we generalize a result due to Kim and Shin (2016), replacing the harmonic Weyl tensor condition by the second order divergence free Weyl tensor condition (i.e., div2W = 0), which is weaker that the former. To be precise, we shall show that a 4-dimensional Miao-Tam critical metric, with boundary isometric to a standard sphere S3 and satisfying div2W = 0 is isometric to a geodesic ball in a simply connected space form R4, S4 or H4. At the same time, we get some rigidity results for positive static triples. In the second part, we study static vacuum space-times, which can be seen as a special case of the V-static metrics for complete Riemannian manifolds with null scalar curvature. In this case, we focus our attention on four dimensions. We prove that there are no multiple black holes on static vacuum space-times with half harmonic Weyl tensor (i.e., divW+ = 0). / Esse trabalho está dividido em duas partes. A primeira delas está relacionada ao estudo de fórmulas tipo-Böchner para métricas críticas do funcional volume em variedades compactas com métrica fixada no bordo (estas são conhecidas como métricas críticas de Miao-Tam). Como aplicação, estabeleceremos uma fórmula integral que permitirá generalizar o resultado obtido por Miao e Tam em 2011 para o caso Einstein, mais precisamente, provaremos que métricas críticas de Miao-Tam com curvatura de Ricci paralelo são isométricas às bolas geodésicas em um espaço forma simplesmente conexo Rn, Sn ou Hn. Se nos restringirmos às variedades com dimensão 3, veremos que tais estruturas se mostram ainda mais rígidas, a saber, provaremos que métricas críticas com curvatura seccional não-negativa são precisamente as bolas geodésicas de R3 ou S3. Além disso, generalizamos o resultado obtido por Kim e Shin (2016) substituindo condição de harmonicidade do tensor de Weyl pela hipótese que o tensor de Weyl tem divergente de segunda ordem nulo (i.e., div2W = 0). Mais precisamente, mostraremos que métricas críticas de Miao-Tam em dimensão 4, com bordo isométrico a esfera S3 e satisfazendo div2W = 0, são isométricas às bolas geodésicas em um espaço forma simplesmente conexo R4, S4 ou H4. Concomitantemente, obtemos resultados de rigidez para triplas estáticas positivas. Na segunda parte do trabalho, estudaremos o espaço-tempo estático no vácuo, o qual pode ser visto como um caso especial das mátricas V-estáticas para variedades completas com curvatura escalar nula. Neste caso, restringiremos nosso estudo a quarta dimensão e provaremos que não existem múltiplos buracos negros em um espaço-tempo estático no vácuo com a parte autodual do tensor de Weyl harmônico (i.e., divW+ = 0).

SILVA, Adam Oliveira da. Rigidez de métricas críticas para funcionais riemannianos. 2017. 78 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-19T19:08:04Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 481005 bytes, checksum: 2bdfc6ab68b042a5cfd4f67caf1e21e4 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Estou devolvendo a Tese de ADAM OLIVEIRA DA SILVA, para que o arquivo seja substituído, pois o aluno já veio na BCM e orientei quais eram as correções a serem feitas. Atenciosamente, on 2017-09-20T14:03:26Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-09-20T16:47:21Z No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-21T12:26:34Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-21T12:26:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_tese_aosilva.pdf: 480774 bytes, checksum: a1267dd82f8a82a19f79902004e1afb5 (MD5) Previous issue date: 2017-09-15 / The aim of this work is to study metrics that are critical points for some Riemannian functionals. In the first part, we investigate critical metrics for functionals which are quadratic in the curvature on closed Riemannian manifolds. It is known that space form metrics are critical points for these functionals, denoted by F t,s (g). Moreover, when s = 0, always Einstein metrics are critical to F t (g). We proved that under some conditions the converse is true. For instance, among others results, we prove that if n ≥ 5 and g is a Bach-flat critical metric to F −n/4(n−1) , with second elementary symmetric function of the Schouten tensor σ 2 (A) > 0, then g should be Einstein. Furthermore, we show that a locally conformally flat critical metric with some additional conditions are space form metrics. In the second part, we study the critical metrics to volume functional on compact Riemannian manifolds with connected smooth boundary. We call such critical points of Miao-Tam critical metrics due to the variational study making by Miao and Tam (2009). In this work, we show that the geodesics balls in space forms Rn , Sn and Hn have the maximum possible boundary volume among Miao-Tam critical metrics with connected boundary provided that the boundary be an Einstein manifold. In the same spirit, we also extend a rigidity theorem due to Boucher et al. (1984) and Shen (1997) to n-dimensional static metrics with positive constant scalar curvature, which give us another way to get a partial answer to the Cosmic no-hair conjecture already obtained by Chrusciel (2003). / Este trabalho tem como principal objetivo estudar métricas que são pontos críticos de alguns funcionais Riemannianos. Na primeira parte, investigaremos métricas críticas de funcionais que são quadráticos na curvatura sobre variedades Riemannianas fechadas. É de conhecimento que métricas tipo formas espaciais são pontos críticos para tais funcionais, denotados aqui por F t,s (g). Além disso, no caso s = 0, métricas de Einstein são sempre críticas para F t (g). Provamos que sob algumas condições, a recíproca destes fatos são verdadeiras. Por exemplo, dentre outros resultados, provamos que se n ≥ 5 e g é uma métrica Bach-flat crìtica para F−n/4(n−1) com segunda função simétrica elementar do tensor de Schouten σ 2 (A) > 0, então g tem que ser métrica de Einstein. Ademais, mostramos que uma métrica crítica localmente conformemente plana, com algumas hipóteses adicionais, tem que ser tipo forma espacial. Na segunda parte, estudamos as métricas críticas do funcional volume sobre variedades Riemannianas compactas com bordo suave conexo. Chamamos tais pontos críticos de métricas críticas de Miao-Tam, devido ao estudo variacional feito por Miao e Tam (2009). Neste trabalho provamos que as bolas geodésicas das formas espaciais Rn , S n e H n possuem o valor máximo para o volume do bordo dentre todas as métricas críticas de Miao-Tam com bordo conexo, desde que o bordo seja uma variedade de Einstein. No mesmo sentido, também estendemos um teorema de rigidez devido à Boucher et al. (1984) e Shen (1997) para métricas estáticas de dimensão n e com curvatura escalar constante positiva, o qual nos fornece outra maneira para obter uma resposta parcial para a Cosmic no-hair conjecture já obtida por Chrusciel (2003).