Le travail de la thèse concerne l'étude de quelques problèmes inverses par différents approches mathématiques. Dans la première partie, nous considérons le problème inverse géométrique consistant à retrouver une fissure ou cavité(s) inconnue à partir de mesures sur le bord d'un domaine plan. Nous traitons ce problème par des techniques d'approximation rationnelle et méromorphe dans le plan complexe. Nous étudions un autre problème inverse consistant à estimer l'aire d'une cavité. Nous donnons une majoration explicite de l'aire de la cavité. Cette majoration est basée sur une estimation de croissance dans l'espace de Hardy­-Sobolev de la couronne. Nous appliquons également cette estimation pour donner la vitesse de comvergence d'un schéma d'ïnterpolation d'une fonction de l'espace de Hardy-Sobolev de la couronne. Dans la deuxième partie, nous considérons d'abord le problème inverse d'identification des paramètres de Lamé en élasticité linéaire. Nous transformons ce problème en un problème de minimisation et nous exhibons quelques exemples numériques. Nous considérons également le problème inverse d'identification d'une inclusion correspondant à une discontinuité de la conductivité. Nous utilisons la méthode du gradient topologique pour une première approximation et ensuite la méthode du gradient classique pour identifier plus précisément celles-ci. Enfin, nous étudions un problème inverse d'identification d'une inclusion en élasticité linéaire. Nous utilisons le gradient de forme pour retrouver numériquement des inclusions elliptiques. / This work concerns the study of some inverse problems by different mathematical approaches. ln the first part, we consider the geometrical inverse problem. related to the identification of an unknown crack or inclusion(s) by boundary measurements. We treat this problem by technique of rational and meromorphic approximation in the complex plane. We study another inverse problem, namely estimating the area of a cavity. We derivive an explicit upper bound on the area of the cavity. We also aplly this estimation, to find an upper bound on the rate of convergence of a recovery interpolation schema in the Hardy-Sobolev space of an annulus. ln the second part. we first consider the inverse problem of recovering the Lamé parameters in linear elasticity from boundary measurements. we perform numerical experiments. We also consider the inverse problem or identification of an inclusion corresponding to a discontinuity of the conductivity. We use the method of the topological gradient to obtain a first estimate on the location of one or several inclusions and then, we use the method of the classical gradient to identify more precisely these. Finally. in the context of shape optimization, we study the inverse problem of identification of an inclusion in linear elasticity. We calculate the shape gradient of a functional of Kohn-Vogelius type, minmax of a lagrangian with respect to the parameter of deformation. We use this gradient to numerically flnd elliptic inclusions

Cette thèse porte sur l'étude du problème inverse de détection d'obstacle/objet par des méthodes d'optimisation. Ce problème consiste à localiser un objet inconnu oméga situé à l'intérieur d'un domaine borné connu Oméga à l'aide de mesures de bord et plus précisément de données de Cauchy sur une partie Gammaobs de thetaOmega. Nous étudions les cas scalaires et vectoriels pour ce problème en considérant les équations de Laplace et de Stokes. Dans tous les cas, nous nous appuyons sur une résultat d'identifiabilité qui assure qu'il existe un unique obstacle/objet qui correspond à la mesure de bord considérée. La stratégie utilisée dans ce travail est de réduire le problème inverse à la minimisation d'une fonctionnelle coût: la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Cette approche est fréquemment utilisée et permet notamment d'utiliser des méthodes d'optimisation pour des implémentations numériques. Cependant, afin de bien définir la fonctionnelle, cette méthode nécessite de connaître une mesure sur tout le bord extérieur thetaOmega. Ce dernier point nous conduit à étudier le problème de complétion de données qui consiste à retrouver les conditions de bord sur une région inaccessible, i.e. sur thetaOmega\Gammaobs, à partir des données de Cauchy sur la région accessible Gammaobs. Ce problème inverse est également étudié en minimisant une fonctionnelle de type Kohn-Vogelius. La caractère mal posé de ce problème nous amène à régulariser la fonctionnelle via une régularisation de Tikhonov. Nous obtenons plusieurs propriétés théoriques comme des propriétés de convergence, en particulier lorsque les données sont bruitées. En tenant compte de ces résultats théoriques, nous reconstruisons numériquement les données de bord en mettant en oeuvre un algorithme de gradient afin de minimiser la fonctionnelle régularisée. Nous étudions ensuite le problème de détection d'obstacle lorsque seule une mesure de bord partielle est disponible. Nous considérons alors les conditions de bord inaccessibles et l'objet inconnu comme les variables de la fonctionnelle et ainsi, en utilisant des méthodes d'optimisation de forme géométrique, en particulier le gradient de forme de la fonctionnelle de Kohn-Vogelius, nous obtenons la reconstruction numérique de l'inclusion inconnue. Enfin, nous considérons, dans le cas vectoriel bi-dimensionnel, un nouveau degré de liberté en étudiant le cas où le nombre d'objets est inconnu. Ainsi, nous utilisons l'optimisation de forme topologique afin de minimiser la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Nous obtenons le développement asymptotique topologique de la solution des équations de Stokes 2D et caractérisons le gradient topologique de cette fonctionnelle. Nous déterminons alors numériquement le nombre d'obstacles ainsi que leur position. De plus, nous proposons un algorithme qui combine les méthodes d'optimisation de forme topologique et géométrique afin de déterminer numériquement le nombre d'obstacles, leur position ainsi que leur forme. / This PhD thesis is dedicated to the study of the inverse problem of obstacle/object detection using optimization methods. This problem consists in localizing an unknown object omega inside a known bounded domain omega by means of boundary measurements and more precisely by a given Cauchy pair on a part Gammaobs of thetaOmega. We cover the scalar and vector scenarios for this problem considering both the Laplace and the Stokes equations. For both cases, we rely on identifiability result which ensures that there is a unique obstacle/object which corresponds to the considered boundary measurements. The strategy used in this work is to reduce the inverse problem into the minimization of a cost-type functional: the Kohn-Vogelius functional. This kind of approach is widely used and permits to use optimization tools for numerical implementations. However, in order to well-define the functional, this approach needs to assume the knowledge of a measurement on the whole exterior boundary thetaOmega. This last point leads us to first study the data completion problem which consists in recovering the boundary conditions on an inaccessible region, i.e. on thetaOmega\Gammaobs, from the Cauchy data on the accessible region Gammaobs. This inverse problem is also studied through the minimization of a Kohn-Vogelius type functional. The ill-posedness of this problem enforces us to regularize the functional via a Tikhonov regularization. We obtain several theoretical properties as convergence properties, in particular when data is corrupted by noise. Based on these theoretical results, we reconstruct numerically the boundary data by implementing a gradient algorithm in order to minimize the regularized functional. Then we study the obstacle detection problem when only partial boundary measurements are available. We consider the inaccessible boundary conditions and the unknown object as the variables of the functional and then, using geometrical shape optimization tools, in particular the shape gradient of the Kohn-Vogelius functional, we perform the numerical reconstruction of the unknown inclusion. Finally, we consider, into the two dimensional vector case, a new degree of freedom by studying the case when the number of objects is unknown. Hence, we use the topological shape optimization in order to minimize the Kohn-Vogelius functional. We obtain the topological asymptotic expansion of the solution of the 2D Stokes equations and characterize the topological gradient for this functional. Then we determine numerically the number and location of the obstacles. Additionally, we propose a blending algorithm which combines the topological and geometrical shape optimization methods in order to determine numerically the number, location and shape of the objects.