On s'intéresse à la régularité du bord des domaines minimisant des fonctionnelles du type energie de Dirichlet pénalisée par le périmètre de l'ensemble.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé Optimisation de forme. Plus spécifiquement, on s'est attaché aux difficultés liées à l'écriture des conditions d'optimalité, et à leurs utilisations. Les deux obstacles majeurs qui ont été analysés sont les suivants :<br />- gérer des formes dont on ne connaît pas a priori la régularité,<br />- gérer des contraintes géométriques fortes, c'est-à-dire qui ne permettent que très peu de variations pour écrire l'optimalité (par exemple la convexité).<br /><br />Les résultats obtenus sont décrits dans les quatre chapitres de cette thèse :<br />- le premier vise à établir un cadre de différentiation de forme valable pour des formes presque sans régularité a priori,<br />- le chapitre 2 s'attache à l'analyse des conditions d'optimalité sous contrainte de convexité, en dimension 2, et leurs applications à une classe de problèmes où les formes optimales sont nécessairement des polygones,<br />- le troisième chapitre se focalise sur deux problèmes classiques de l'optimisation de forme des valeurs propres du laplacien, qui montrent bien les deux types de difficultés évoquées ci-dessus. On y démontre des résultats de régularité, et aussi de non-régularité, des formes optimales pour ces problèmes ; on obtient des limites de régularité en $\C^{1,1/2}$ qui sont nouvelles et optimales,<br />- le dernier chapitre est motivé par la question des problèmes elliptiques partiellement surdéterminés, et on construit des contre-exemples liés à l'optimisation de forme.

L'optimisation de forme topologique permet d'obtenir une grande variété de formes possibles. Ces domaines, qui peuvent être complexes, sont généralement représentés implicitement par une fonction courbe de niveaux: la densité de matière dans le cas de l'optimisation topologique par homogénéisation, une fonction courbe de niveaux dans le cas de la méthode des level-sets et le gradient topologique donné par l'expression de l'asymptotique topologique. Le dernier cas, objet de cette thèse, présente une propriété fondamentale: la positivité du gradient topologique est une condition nécessaire et même suffisante d'optimalité. Plus précisément, soit Omega un domaine borné et j(Omega) = J(u_Omega), un critère qui dépend de Omega via la solution d'un problème d'équations aux dérivées partielles noté u_Omega. Dans la plupart des cas, la variation j(Omega - B(x, epsilon)) - j(Omega) admet un développement asymptotique (par rapport à epsilon) qui s'écrit sous la forme: f(epsilon)g(x)+o(f(epsilon)), où f(epsilon) est une fonction positive qui tend vers 0 avec epsilon. Ainsi, pour minimiser le critère, il faut créer des trous là où la fonction $g$, appelée gradient topologique, est négative. De telles formules asymptotiques ont été déjà établies pour divers problèmes. Dans cette thèse, les principaux points abordés sont: l'insertion d'une inhomogénéité dans le domaine, le cas d'opérateurs différentiels dont le symbole est non homogène (Helmholtz, Maxwell), trou de forme quelconque et le cas d'un trou sur le bord du domaine. Les résultats obtenues sont validés par des tests numériques comme par exemple l'optimisation des guides d'onde.

Nous étudions l'influence des perturbations géométriques des parois d'un domaine sur les solutions d'équations aux dérivées partielles à valeurs vectorielles, à travers un effet géométrique appelé l'effet de rugosité. Cet effet consiste à transformer des conditions de non pénétration imposées sur une suite de parois oscillantes convergeant vers une paroi lisse, en une condition qualifiée de glissement dirigé avec friction, ou friction-driven, dont une formulation générale a été obtenue en 2009 par Bucur, Feireisl et Necasova. Nous caractérisons l'effet de rugosité produit par des parois périodiques ou cristallines à l'aide des mesures de Young et de mesures capacitaires permettant de comprendre l'effet des oscillations des vecteurs normaux. D'autre part, nous démontrons la stabilité de la trajectoire d'un solide déformable à faible nombre de Reynolds, par rapport aux déformations qu'on lui impose, et proposons un schéma numérique de résolution du modèle. C'est une première étape vers la compréhension d'un effet de rugosité dynamique produit par une famille continue de micro-déformations du bord. Enfin, nous considérons le problème de la traînée d'un solide immergé dans un fluide visqueux, avec des conditions friction-driven sur la paroi solide. Après avoir montré que le problème est bien posé, nous décrivons le problème de minimisation de la traînée en termes de micro-structure de la paroi associée à la condition friction-driven. À l'aide d'outils de gamma-convergence, nous montrons que ce problème de micro-optimisation de forme possède une solution. Nous validons ces résultats par des exemples numériques et mettons en oeuvre une méthode numérique d'optimisation.

Dans la mesure où le tremblement transsonique limite le domaine de vol des aéronefs, sa prédiction à moindre coût et son contrôle sont d'intérêt crucial pour les avionneurs. Nous proposons donc dans ce travail d'une part d'améliorer le calcul des écoulements transsoniques instationnaires typiques du tremblement et d'autre part d'évaluer une démarche de contrôle de ce phénomène. Le présent travail inclut un état de l'art sur le tremblement transsonique, une présentation des méthodes employées ainsi que des travaux de validation réalisés. Compte tenu des limitations de la modélisation statistique de la turbulence classique, l'utilisation de modélisations dites hybrides (PANS et DES) est alors explorée pour le calcul du tremblement transsonique sur profils supercritiques ; ces techniques permettent de reproduire numériquement avec une précision satisfaisante les phénomènes observés expérimentalement. Enfin, une démarche originale d'optimisation de formes est proposée afin de diminuer l'intensité ou de repousser l'apparition du tremblement transsonique sur profils d'ailes. Les cas traités (profils classique ou supercritique) ainsi que la démarche multi-objectifs adoptée permettent d'élaborer une méthodologie efficace et systématique d'obtention de formes plus performantes vis-à-vis du tremblement.

Nous étudions la déformation d'une goutte d'eau par électromouillage. La géométrie de la goutte près de la ligne de contact, au coeur de la compréhension complète du phénomène, soulève encore des interrogations. Ce travail y apporte des réponses théoriques et numériques. Un modèle utilisant l'optimisation de forme nous permet de montrer que l'angle de contact est indépendant du potentiel appliqué. Pour permettre une visualisation, nous simulons numériquement les formes macroscopiques de gouttes grâce à un code existant. Ceci étant insuffisant pour visualiser ce qui se passe à la ligne de contact, nous proposons deux voies. Nous améliorons l'approximation de la singularité du potentiel à la ligne de contact. Puis vu le caractère local de l'information recherchée, nous modifions le modèle global et extrayons un modèle différentiel local pour préciser les formes de gouttes à potentiel donné, effectuer un calcul précis de courbure, et enfin visualiser l'invariance de l'angle de contact.

Les antennes lentilles sont des dispositifs ayant pour support les ondes électromagnétiques et sont constituées d'une source primaire et d'un système focalisant diélectrique. La montée en importance récente d'applications en ondes millimétriques (exemple : radars d'assistance et d'aide à la conduite), nécessite la construction d'antennes lentilles de quelques centimètres qui répondent à des cahiers des charges spécifiques à chaque cas. L'une des problématiques à résoudre consiste à déterminer la forme optimale de la lentille étant données : (i) les caractéristiques de la source primaire, (ii) les caractéristiques en rayonnement fixées. Ce projet de thèse vise à développer de nouveaux outils pour l'optimisation de forme en utilisant une formulation intégrale du problème.<br />Cette thèse s'articule en deux parties. Dans la première nous avons construit plusieurs formulations intégrales pour le problème de diffraction diélectrique en utilisant une approche par équation intégrale surfacique. Dans la seconde nous avons étudié les dérivées de forme des opérateurs intégraux standard en électromagnétisme dans le but de les incorporer dans un algorithme d'optimisation de forme.

Les problèmes d'optimisation de forme sont présents naturellement en physique, ingénierie, biologie, etc. Ils visent à répondre à différentes questions telles que:-A quoi une aile d'avion parfaite pourrait ressembler?-Comment faire pour réduire la résistance d'un objet en mouvement dans un gaz ou un fluide?-Comment construire une structure élastique de rigidité maximale?-Quel est le comportement d'un système de cellules en interaction?Pour des exemples précis et autres applications de l'optimisation de forme nous renvoyons à [20] et [69]. Ici, nous traitons les aspects mathématiques théoriques de l'optimisation de forme, concernant l'existence d'ensembles optimaux ainsi que leur régularité. Dans toutes les situations que l'on considère, la fonctionnelle dépend de la solution d'une certaine équation aux dérivées partielles posée sur la forme inconnue. Nous allons parfois se référer à cette fonction comme une fonction d'état.Les fonctions d'état les plus simples, mais qui apparaissent dans beaucoup de problèmes, sont données par les solutions des équations -Δw = 1 et -Δu = λu,qui sont liées à la torsion et aux modes d'oscillation d'un objet donné. Notre étude se concentrera principalement sur ces fonctionnelles de formes, impliquant la torsion et le spectre.[20] D. Bucur, G. Buttazzo: Variational Methods in Shape Optimization Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations 65, Birkhauser Verlag, Basel (2005).[69] A. Henrot, M. Pierre: Variation et optimisation de formes: une analyse geometrique. Springer-Berlag, Berlin, 2005. / The shape optimization problems naturally appear in engineering and biology. They aim to answer questions as:-What a perfect wing may look like?-How to minimize the resistance of a moving object in a gas or a fluid?-How to build a rod of maximal rigidity?-What is the behaviour of a system of cells?The shape optimization appears also in physics, mainly in electrodynamics and in the systems presenting both classical and quantum mechanics behaviour. For explicit examples and furtheraccount on the applications of the shape optimization we refer to the books [20] and [69]. Here we deal with the theoretical mathematical aspects of the shape optimization, concerning existence of optimal sets and their regularity. In all the practical situations above, the shape of the object in study is determined by a functional depending on the solution of a given partial differential equation. We will sometimes refer to this function as a state function.The simplest state functions are provided by solutions of the equations−∆w = 1 and −∆u = λu,which usually represent the torsion rigidity and the oscillation modes of a given object. Thus our study will be concentrated mainly on the situations, in which these state functions appear,i.e. when the optimality is intended with respect to energy and spectral functionals. [20] D. Bucur, G. Buttazzo: Variational Methods in Shape Optimization Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations 65, Birkhauser Verlag, Basel (2005).[69] A. Henrot, M. Pierre: Variation et optimisation de formes: une analyse geometrique. Springer-Berlag, Berlin, 2005.

Dans ce manuscrit, nous présentons une méthode d’optimisation de forme qui se base sur des paramètres géométriques comme des longueurs, des angles, etc. Nous nous appuyons sur des techniques d’optimisation basées sur un gradient. La sensibilité de la fonction objectif par rapport à la position des noeuds du maillage nous est fournie par un solveur adjoint que l’on considère comme une boîte noire. Afin d’optimiser par rapport aux paramètres CAO, nous nous concentrons sur l’évaluation de la sensibilité de la position des noeuds par rapport à ces paramètres. Ainsi, nous proposons deux approches par différences finies. La première méthode s’appuie sur une projection harmonique afin de comparer dans un même espace le maillage initial et celui obtenu suite à la variation d’un paramètre CAO. Les développements présentés dans ce manuscrit permettent d’étendre l’application aux formes ayant plusieurs frontières comme les collecteurs d’échappement. Nous avons développé une méthode d’interpolation adaptée à cette comparaison. L’ensemble du processus a été automatisé et nous en montrons l’entière efficacité sur des applications industrielles en aérodynamique interne. La deuxième méthode se base directement sur les géométries CAO pour évaluer cette sensibilité. Nous utilisons la définition intrinsèque des patches dans l’espace paramétrique (u;v) pour effectuer cette comparaison. Grâce à l’utilisation des coordonnées exactes en tout point de la surface fournies par la CAO, nous évitons d’avoir recours à une interpolation afin d’avoir la meilleure précision de calcul possible. Cependant, contrairement à la première méthode, elle requiert d’identifier les correspondances entre les patches d’une forme à l’autre. Une application sur un cas académique a été faite en aérodynamique externe. La pertinence de la première méthode a été démontrée sur des cas représentatifs et multiobjectifs, ce qui permettrait de faciliter son déploiement et son utilisation dans un cadre industriel. Quant à la deuxième méthode, nous avons montré son fort potentiel. Cependant, des développements supplémentaires seraient nécessaires pour une application plus poussée. Du fait qu’elles sont indépendantes des solveurs mécaniques et du nombre de paramètres, ces méthodes réduisent considérablement les temps de développement des produits, notamment en permettant l’optimisation multiphysique en grande dimension. / In this manuscript, we present a shape optimization method based on CAD parameters such as lengths, angles, etc. We rely on gradient-based optimization techniques. The sensitivity of the objective function, with respect to the mesh nodes position, is provided by an adjoint solver considered here as a black box. To optimize with respect to CAD parameters, we focus on computing the sensitivity of the nodes positions with respect to these parameters. Thus, we propose two approaches based on finite differences. The first method uses a harmonic projection to compare in the same space the initial mesh and the one obtained after a change of the set of CAD parameters. The developments presented in this manuscript open up new doors like the application to shapes with multiple borders such as exhaust manifolds. We also developed an interpolation method suitable for this comparison. The entire process is automated, and we demonstrate the entire effectiveness on internal aerodynamics industrial applications. The second method is directly based on the CAD geometries to assess this sensitivity. To perform this comparison, we use the intrinsic definition of the patches in the parametric space (u;v). Through the use of the exact coordinates at any point on the surface provided by the CAD, we avoid using an interpolation to get the best calculation accuracy possible. However, unlike the first method, it requires to identify the correspondence between patches from one shape to another. An application on an external aerodynamics academic case was made. The relevance of the first method is demonstrated on a representative multi-objective case, which facilitate its deployment use in an industrial environment. Regarding the second method, we showed its great potential. However, further developments are needed to handle more advanced cases. Because they are independent of the mechanical solver and the number of parameters, these methods significantly reduce product development time, particularly by allowing large and multiphysics optimization.

L'objet de ce travail a principalement consisté en l'étude et la mise en oeuvre d'une méthode de calcul des gradients des fonctions aérodynamiques par rapport à des paramètres géométriques pour un système aéroélastique soumis à un écoulement lointain stationnaire. Dans un premier temps, une méthodologie de calcul de l'équilibre aéroélastique statique a tout d'abord été développée. Dans ce cadre, le comportement du fluide peut être modélisé par les équations d'Euler ou par les équations de Navier-Stokes moyennées (RANS). Celles-ci sont numériquement résolues par elsA - code de simulation numérique pour la mécanique des fluides développé à l'ONERA. Le comportement de la structure est, quant à lui, prédit par la théorie des poutres et les équations d'Euler-Bernoulli. Le chargement aérodynamique est transmis à la structure par l'intermédiaire de la matrice des coefficients d'influence également appelée matrice de flexibilité. Seuls les efforts de torsion et de flexion sont transmis de manière consistante à la structure, dont seuls les mouvements induits de torsion et de flexion sont calculés sous l'hypothèse des petits déplacements. La déformation résultante sur le maillage du domaine fluide est prédite analytiquement par analogie avec la mécanique du solide. Enfin, le système aéroélastique couplé est résolu selon un processus itératif inspiré de la méthode du point fixe. Dans un deuxième temps, un cadre de calcul, pour le système aéroélastique décrit précédemment, des gradients des fonctions d'intérêt (objectif et contraintes) par rapport à un vecteur de paramètres géométriques de la forme solide a été mis en oeuvre. Les gradients peuvent être calculés par la méthode de l'équation linéarisée discrète ou par la méthode du vecteur adjoint discret. Ces méthodes reposent sur la résolution de systèmes linéaires couplés, effectuée, dans le cadre de cette étude, par un processus itératif doublement retardé. Pour finir, ces développements ont été appliqués au calcul des gradients des coefficients aérodynamiques de traînée et de portance par rapport à un ensemble de paramètres de forme pour trois configurations aérodynamiques de complexité croissante: équations d'Euler résolues sur un maillage multibloc coïncident, équations RANS résolues sur un maillage monobloc, et, finalement, équations RANS résolues sur un maillage multibloc non-coïncident. La validité des résultats a été établie par comparaison aux gradients calculés par différences finies. Une dernière partie du travail a été consacrée à l'évaluation des performances de quatre modèles réduits non physiques dans le cadre d'un processus d'optimisation de forme d'une configuration bidimensionnelle de turbomachine.