Les problèmes d'optimisation de forme sont présents naturellement en physique, ingénierie, biologie, etc. Ils visent à répondre à différentes questions telles que:-A quoi une aile d'avion parfaite pourrait ressembler?-Comment faire pour réduire la résistance d'un objet en mouvement dans un gaz ou un fluide?-Comment construire une structure élastique de rigidité maximale?-Quel est le comportement d'un système de cellules en interaction?Pour des exemples précis et autres applications de l'optimisation de forme nous renvoyons à [20] et [69]. Ici, nous traitons les aspects mathématiques théoriques de l'optimisation de forme, concernant l'existence d'ensembles optimaux ainsi que leur régularité. Dans toutes les situations que l'on considère, la fonctionnelle dépend de la solution d'une certaine équation aux dérivées partielles posée sur la forme inconnue. Nous allons parfois se référer à cette fonction comme une fonction d'état.Les fonctions d'état les plus simples, mais qui apparaissent dans beaucoup de problèmes, sont données par les solutions des équations -Δw = 1 et -Δu = λu,qui sont liées à la torsion et aux modes d'oscillation d'un objet donné. Notre étude se concentrera principalement sur ces fonctionnelles de formes, impliquant la torsion et le spectre.[20] D. Bucur, G. Buttazzo: Variational Methods in Shape Optimization Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations 65, Birkhauser Verlag, Basel (2005).[69] A. Henrot, M. Pierre: Variation et optimisation de formes: une analyse geometrique. Springer-Berlag, Berlin, 2005. / The shape optimization problems naturally appear in engineering and biology. They aim to answer questions as:-What a perfect wing may look like?-How to minimize the resistance of a moving object in a gas or a fluid?-How to build a rod of maximal rigidity?-What is the behaviour of a system of cells?The shape optimization appears also in physics, mainly in electrodynamics and in the systems presenting both classical and quantum mechanics behaviour. For explicit examples and furtheraccount on the applications of the shape optimization we refer to the books [20] and [69]. Here we deal with the theoretical mathematical aspects of the shape optimization, concerning existence of optimal sets and their regularity. In all the practical situations above, the shape of the object in study is determined by a functional depending on the solution of a given partial differential equation. We will sometimes refer to this function as a state function.The simplest state functions are provided by solutions of the equations−∆w = 1 and −∆u = λu,which usually represent the torsion rigidity and the oscillation modes of a given object. Thus our study will be concentrated mainly on the situations, in which these state functions appear,i.e. when the optimality is intended with respect to energy and spectral functionals. [20] D. Bucur, G. Buttazzo: Variational Methods in Shape Optimization Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations 65, Birkhauser Verlag, Basel (2005).[69] A. Henrot, M. Pierre: Variation et optimisation de formes: une analyse geometrique. Springer-Berlag, Berlin, 2005.

Ce travail s'inscrit dans la perspective de l'enrichissement des bases de données d'occupation du sol. La description de l'occupation du sol permet de produire des indicateurs environnementaux pour la gestion des écosystèmes et des territoires, en réponse à des besoins sociétaux, réglementaires et scientifiques. Aussi, des bases de données décrivant l'occupation du sol existent à différents niveaux (local, national, européen) ou sont en cours de constitution. Il est toutefois apparu que la connaissance de l'occupation du sol nécessaire pour certaines applications de modélisation de la ville (simulateurs de micro-météorologie, d'hydrologie, ou de suivi de pollutions), voire de suivi réglementaire (imperméabilisation des sols) est plus fine (au niveau sémantique et géométrique) que ce que contiennent ces bases de données. Des cartes de matériaux sont donc nécessaires pour certaines applications. Elles pourraient constituer une couche supplémentaire, à la fois dans des bases de données sur l'occupation du sol (comme l'occupation du sol à grande échelle de l'IGN) et dans des maquettes urbaines 3D.Aucune base de données existante ne contenant cette information, la télédétection apparaît comme la seule solution pour la produire. Néanmoins, du fait de la forte hétérogénéité des matériaux, de leur variabilité, mais aussi des fortes ressemblances entre classes distinctes, il apparaît que les capteurs optiques multispectraux classiques (limités aux 4 canaux rouge - vert - bleu - proche infrarouge) sont insuffisants pour bien discriminer des matériaux. Un capteur dit superspectral, c'est-à-dire plus riche spectralement, pourrait apporter une solution à cette limite. Ce travail s'est donc positionné dans l'optique de la conception d'un tel capteur et a consisté à identifier la meilleure configuration spectrale pour la classification des matériaux urbains, ou du moins à proposer des solutions s'en approchant. Un travail d'optimisation spectrale a donc été réalisé afin d'optimiser à la fois la position des bandes dans le spectre ainsi que leur largeur. Le travail s'est déroulé en deux temps. Une première tâche a consisté à définir et préciser les méthodes d'optimisation de bandes, et à les valider sur des jeux de données de référence de la littérature. Deux heuristiques d'optimisation classiques (l'une incrémentale, l'autre stochastique) ont été choisies du fait de leur généricité et de leur flexibilité, et donc de leur capacité à être utilisées pour différents critères de sélection d'attributs. Une comparaison de différentes mesures de la pertinence d'un jeu de bandes a été effectuée afin de définir le score à optimiser lors du processus de sélection de bandes. L'optimisation de la largeur des bandes a ensuite été étudiée : la méthode proposée consiste à préalablement construire une hiérarchie de bandes fusionnées en fonction de leur similarité, le processus de sélection de bandes se déroulant ensuite au sein de cette hiérarchie. La seconde partie du travail a consisté en l'application de ces algorithmes d'optimisation spectrale au cas d'étude des matériaux urbains. Une collection de spectres de matériaux urbains a d'abord été réunie à partir de différentes librairies spectrales (ASTER, MEMOIRES, ...). L'optimisation spectrale a ensuite été menée à partir de ce jeu de données. Il est apparu qu'un nombre limité de bandes bien choisies suffisait pour discriminer 9 classes de matériaux communs (ardoise - asphalte - ciment - gravier - métal - pavés en pierre - shingle - terre – tuile). L'apport de bandes issues du domaine de l'infrarouge onde courte (1400 - 2500 nm) pour la discrimination des matériaux a également été vérifiée. La portée des résultats chiffrés obtenus en terme de confusions entre les matériaux reste toutefois à nuancer du fait de la très faible représentation de certains matériaux dans la librairie de spectres collectés, ne couvrant donc pas la totalité de leur variabilité / This work was performed in the context of a possible enrichment of land cover databases. The description of land cover is necessary it possible to produce environmental indicators for the management of ecosystems and territories, in response to various societal and scientific needs. Thus, different land cover databases already exist at various levels (global, European, national, regional or local) or are currently being produced. However, it appeared that knowledge about land cover should more detailled in urban areas, since it is required by several city modeling applications (micro-meteorological, hydrological, or pollution monitoring simulators), or public regulations monitoring (e.g. concerning ground perviousness). Such materials maps would be (both semantically and spatially) finer than what is contained in existing land cover databases. Therefore, they could be an additional layer, both in land cover databases (such as in IGN High Resolution land cover database) and in 3D city models. No existing database contains such information about urban material maps. Thus remote sensing is the only solution to produce it. However, due to the high heterogeneity of urban materials, their variability, but also the strong similarities between different material classes, usual optical multispectral sensors (with only the 4 red - green - blue - near infrared bands) are not sufficient to reach a good discrimination of materials. A multispectral sensor or superspectral, that is to say spectrally richer, could therefore provide a solution to this limit. Thus, this work was performed intending the design of such sensor. It aimed at identifying the best spectral configuration for classification of urban materials, or at least to propose sub-optimal solutions. In other words, a spectral optimization was carried out in order to optimize both the position of the bands in the spectrum and their width. Automatic feature selection methods were used. This work was performed in two steps. A first task aimed at defining the spectral optimization methods and at validating them on literature reference data sets. Two state-of-the-art optimization heuristics (Sequential Forward Floating Search and genetic algorithms) were chosen owing to their genericity and flexibility, and therefore their ability to be used to optimize different feature selection criteria. A benchmark of different scores measuring the relevance of a set of features was performed to decide which score to optimize during the band selection process. Band width optimization was then studied: the proposed method consisted in building a hierarchy of bands merged according to their similarities. Band selection was then processed within this hierarchy. The second part of the work consisted in the application of these spectral optimization algorithms to the case study of urban materials. A collection of urban materials spectra was first caught and from various spectral libraries ( ASTER , MEMORIES...). Spectral optimization was then performed on this dataset. A limited number (about 10) of well chosen bands appeared to be sufficient to classify next common materials (slates - asphalt - cement - gravel - metal - cobblestones - shingle - earth – tiles). Bands from short wave infrared spectral domain (1400 - 2500 nm) were shown again to be very useful to discriminate urban materials. However, quantitative results assessing the confusions between the materials must be considered carefully since some materials are very uncommon in the library of collected spectra, and thus their possible variability is not completely considered

Contexte : Le cancer du sein est le cancer le plus fréquent et le deuxième cancer le plus mortel chez la femme. Les techniques d'imagerie constituent un élément essentiel pour le dépistage, le diagnostic, la stadification et le traitement du cancer du sein. L'imagerie par résonance magnétique avec injection de produit de contraste (CE-MRI) est actuellement la technique d'imagerie standard pour la détection du développement vasculaire anormal et des prises de contraste des lésions mammaires. CE-MRI est cependant très coûteuse et peu disponible. De plus, sa résolution spatiale pourrait être insuffisante pour la détection de certains types de lésions, et ne permet pas d'imager les amas de microcalcifications. Le développement de l'angiomammographie double-énergie (CESM) a permis l'utilisation des produits de contraste intraveineux en clinique avec des appareils conventionnels de mammographie. Cependant, CESM est une technique de projection 2D et présente, par conséquence, des limites pour décrire la structure 3D interne des lésions et pour fournir une information fonctionnelle 3D précise.La tomosynthèse numérique du sein avec injection de produit de contraste (CE-DBT) et le scanner dédié du sein avec injection de produit de contraste (CE-bCT) sont deux techniques d'imagerie actuellement en investigation par des groupes de recherche académiques et industriels. Il est cependant anticipé que le potentiel quantitatif de la CE-DBT soit limité, en raison de la faible résolution en profondeur due à l'ouverture angulaire limitée de la DBT. CE-bCT, avec sa résolution spatiale quasi-isotrope et son intensité de signal proportionnelle au coefficient d'atténuation linéaire, est supposée offrir une information quantitative plus précise, bien qu'une utilisation à faible dose de radiation reste toujours un défi.Objectifs : L'objectif de cette thèse a été d'étudier la faisabilité de la méthode CE-bCT et sa capacité à détecter et localiser des tumeurs vascularisées, ainsi que d'offrir de l'information morphologique et fonctionnelle précise sur les tumeurs. Pour comprendre la valeur ajoutée de la CE-bCT par rapport à CE-DBT, le potentiel quantitatif des deux méthodes a également été comparé. Nos études ont été réalisées grâce à des simulations par ordinateur, validées par des mesures expérimentales.Méthodes : Dans un premier temps, une plateforme de simulation capable de modéliser différentes techniques d'imagerie du sein par rayons X, et fournissant des images radiographiques de fantômes numériques simples et complexes, a été implémentée et validée. Deuxièmement, une étude d'optimisation pour la technique CE-bCT basée sur une approche double-énergie a été réalisée, dans le but de maximiser la qualité des images équivalentes-iode ainsi que des images morphologiques. Enfin, le potentiel quantitatif des méthodes CE-bCT et CE-DBT a été comparé au travers de l'évaluation de la détectabilité, de la caractérisation, de la localisation et de la mesure de l'étendue 3D des lésions iodées. Dans une étude impliquant des observateurs humains, la détectabilité et la caractérisation des lésions iodées de différentes tailles, formes et concentrations ont été comparées entre CE-bCT et CE-DBT, grâce à l'utilisation d'un fantôme anthropomorphique numérique du sein.Conclusions : Les études de simulation menées pendant cette thèse suggèrent que le scanner dédié du sein avec injection de produit de contraste iodé pourrait être une technique réalisable pour la détection, localisation et caractérisation des tumeurs du sein, pour un niveau de dose comparable à une mammographie standard. Bien que les comparaisons préliminaires avec CE-DBT suggèrent une performance comparable sur la détection et caractérisation, l'information 3D complète combinée avec une haute résolution spatiale font de CE-bCT une évolution intéressante de CESM vers une évaluation quantitative 3D des prises de contraste, et une alternative potentielle à CE-MRI pour certaines indications cliniques. / Background: Worldwide, breast cancer is the most common cancer and second deadliest cancer in women. Diagnostic imaging techniques are a critical part for screening, diagnosis, tumor staging and cancer therapy of the breast. Contrast-Enhanced Magnetic Resonance Imaging (CE-MRI) is the current standard imaging technique allowing detection of abnormal vascular development and lesion contrast uptake. CE-MRI is however very costly and not widely available. Moreover, its spatial resolution might not be sufficient to depict certain types of lesions including microcalcifications. The development of Contrast-Enhanced Spectral Mammography (CESM) has made the clinical use of intravenous contrast enhancement with conventional mammography possible. However, CESM is a 2D projection technique and therefore presents limitations to depict the 3D internal structures of lesions and to provide accurate quantitative 3D functional information.Contrast-Enhanced Digital Breast Tomosynthesis (CE-DBT) and dedicated Contrast-Enhanced Breast CT (CE-bCT) are two breast imaging modalities currently under investigation by academic and industrial research groups. It is however anticipated that the quantitative potential of CE-DBT is limited, due to the inherent low depth-resolution of limited opening angle DBT modality. CE-bCT with quasi-isotropic spatial resolution and voxel signal intensity proportional to the linear attenuation coefficient is believed to offer more accurate quantitative information, though a low-dose operation is still a challenge.Objectives: The purpose of this thesis has been to study the technical feasibility of CE-bCT and its potential to accurately depict and localize tumors, as well as to provide accurate quantitative morphological and functional imaging information about tumors, at low radiation dose levels. To understand the incremental value of CE-bCT over CE-DBT, the quantitative potential of both technologies have been compared. This investigation has been performed through computer simulations.Methods: At first, a simulation platform capable of modeling various X-ray breast imaging techniques and providing radiographic images of simple and complex computational phantoms was developed and validated. Secondly, an optimization study of a CE-bCT technique based on a dual-energy approach was performed, aiming to maximize image quality of iodine-enhanced and morphological images. Finally, the quantitative potential of CE-bCT and CE-DBT was compared through the assessment of iodine-enhanced lesion detectability, characterization, localization and 3D extent measurement. In a human observer study, depiction and characterization of iodine-enhanced lesions of different sizes, shapes and iodine uptakes was compared between CE-bCT and CE-DBT using a mesh-based anthropomorphic breast phantom.Conclusions: The simulation studies in this PhD thesis suggest that dual-energy iodine-injected CE-bCT could be a feasible technique for breast tumor depiction, localization and characterization, with dose levels comparable to standard mammography. While preliminary comparisons with CE-DBT suggests comparable depiction and characterization performance, the fully 3D information combined with high spatial resolution confirms CE-bCT as an interesting low-dose evolution of CESM toward 3D quantitative assessment of contrast uptakes and potential alternative to

Le problème de l'optimisation des valeurs propres du Laplacien est ancien puisqu'à la fin du XIXème siècle Lord Rayleigh conjecturait que la première valeur propre avec condition de Dirichlet était minimisée par le disque. Depuis le problème a été beaucoup étudié. Et les possibilités de recherches sont multiples : diverses conditions, ajout de contraintes, existence, description des optima ... Dans ce document on se limite aux conditions de Dirichlet et de Neumann, dans R^2 et dans R^3. On procède dans un premier temps à un état de l'art. On se focalise ensuite sur les disques et les boules. En effet, ils font partie des rares formes pour lesquelles il est possible de calculer explicitement et relativement facilement les valeurs propres. On verra malheureusement que ces formes ne sont la plupart du temps pas des minimiseurs. Enfin on s'intéresse aux simulations numériques possibles. En effet, puisque peu de calculs théoriques peuvent être faits il est intéressant d'obtenir numériquement des candidats. Cela permet ensuite d'avoir des hypothèses de travail théorique. `{A} cet effet nous donnerons des éléments de compréhension sur une méthode de simulation numérique ainsi que des résultats obtenus. / The optimization of Laplacian eigenvalues is a classical problem. In fact, at the end of the nineteenth century, Lord Rayleigh conjectured that the first eigenvalue with Dirichlet boundary condition is minimized by a disk. This problem received a lot of attention since this first study and research possibilities are numerous: various conditions, geometrical constraints added, existence, description of optimal shapes... In this document we restrict us to Dirichlet and Neumann boundary conditions in R^2 and R^3. We begin with a state of the art. Then we focus our study on disks and balls. Indeed, these are some of the only shapes for which it is possible to explicitly and relatively easily compute the eigenvalues. But we show in one of the main result of this document that they are not minimizers for most eigenvalues. Finally we take an interest in the possible numerical experiments. Since we can do very few theoretical computations, it is interesting to get numerical candidates. Then we can deduce some theoretical working assumptions. With this in mind we give some keys to understand our numerical method and we also give some results obtained.