Le but principal de cette thèse est de présenter des conditions suffisantes pour garantir l'existence de subdivisions dans les graphes dirigés. Bien que ce genre de questions soit assez bien maitrisé dans le cas des graphes non orientés, très peu de résultats sont connus sur le sujet des graphes dirigés. La conjecture la plus célèbre du domaine est sans doute celle attribuée à Mader en 1985 qui dit qu'il existe une fonction f tel que tout graphe dirigé de degré sortant minimal supérieur à f(k) contient le tournoi transitif sur k sommets comme subdivision. Cette question est toujours ouverte pour k=5. Cette thèse présente quelques résultats intermédiaires tendant vers cette conjecture. Il y est d'abords question de montrer l'existence de subdivisions de graphes dirigés autre que les tournois, en particulier les arborescences entrantes. Il y a aussi la preuve que les graphes dirigés de grand degré sortant contiennent des immersions de grand tournois transitifs, question qui avait été posée en 2011 par DeVos et al. En regardant un autre paramètre, on montre aussi qu'un grand nombre chromatique permet de forcer des subdivisions de certains cycles orientés, ainsi que d'autre structures, pour des graphes dirigés fortement connexes. Cette thèse présente également la preuve de la conjecture de Erd\H{o}s-Sands-Sauer-Woodrow qui dit que les tournois dont les arcs peuvent être partitionnés en k graphes dirigés transitifs peuvent être dominé par un ensemble de sommet dont la taille dépend uniquement de k. Pour finir, cette thèse présente la preuve de deux résultats, un sur l'orientation des hypergraphes et l'autre sur la coloration AVD,utilisant la technique de compression d'entropie. / The main purpose of the thesis was to exhibit sufficient conditions on digraphs to find subdivisions of complex structures. While this type of question is pretty well understood in the case of (undirected) graphs, few things are known for the case of directed graphs (also called digraphs). The most notorious conjecture is probably the one due to Mader in 1985. He asked if there exists a function f such that every digraph with minimum outdegree at least f(k) contains a subdivision of the transitive tournament on k vertices. The conjecture is still wide open as even the existence of f(5) remains open. This thesis presents some weakening of this conjecture. Among other results, we prove that digraphs with large minimum outdegree contain large in-arborescences. We also prove that digraphs with large minimum outdegree contain large transitive tournaments as immersions, which was conjectured by DeVos et al. in 2011. Changing the parameter, we also prove that large chromatic number can force subdivision of cycles and other structures in strongly connected digraphs. This thesis also presents the proof of the Erd\H{o}s-Sands-Sauer-Woodrow conjecture that states that the domination number of tournaments whose arc set can be partitioned into k transitive digraphs only depends on k. The conjecture, asked in 1982, was still open for k=3. Finally this thesis presents proofs for two results, one about orientation of hypergraphs and the other about AVD colouring using the recently developed probabilistic technique of entropy compression.

La recherche menée dans cette thèse a pour but de développer une analyse harmonique pour des fonctions définies sur les sommets d'un graphe orienté. À l'ère du déluge de données, de nombreuses données sont sous forme de graphes et données sur ce graphe. Afin d'analyser d'exploiter ces données de graphes, nous avons besoin de développer des méthodes mathématiques et numériquement efficientes. Ce développement a conduit à l'émergence d'un nouveau cadre théorique appelé le traitement de signal sur graphe dont le but est d'étendre les concepts fondamentaux du traitement de signal classique aux graphes. Inspirées par l'aspect multi échelle des graphes et données sur graphes, de nombreux constructions multi-échelles ont été proposé. Néanmoins, elles s'appliquent uniquement dans le cadre non orienté. L'extension d'une analyse harmonique sur graphe orienté bien que naturelle, s'avère complexe. Nous proposons donc une analyse harmonique en utilisant l'opérateur de marche aléatoire comme point de départ de notre cadre. Premièrement, nous proposons des bases de type Fourier formées des vecteurs propres de l'opérateur de marche aléatoire. De ces bases de Fourier, nous en déterminons une notion fréquentielle en analysant la variation de ses vecteurs propres. La détermination d'une analyse fréquentielle à partir de la base des vecteurs de l'opérateur de marche aléatoire nous amène aux constructions multi-échelles sur graphes orientés. Plus particulièrement, nous proposons une construction en trames d'ondelettes ainsi qu'une construction d'ondelettes décimées sur graphes orientés. Nous illustrons notre analyse harmonique par divers exemples afin d'en montrer l'efficience et la pertinence. / The research conducted in this thesis aims to develop a harmonic analysis for functions defined on the vertices of an oriented graph. In the era of data deluge, much data is in the form of graphs and data on this graph. In order to analyze and exploit this graph data, we need to develop mathematical and numerically efficient methods. This development has led to the emergence of a new theoretical framework called signal processing on graphs, which aims to extend the fundamental concepts of conventional signal processing to graphs. Inspired by the multi-scale aspect of graphs and graph data, many multi-scale constructions have been proposed. However, they apply only to the non-directed framework. The extension of a harmonic analysis on an oriented graph, although natural, is complex. We, therefore, propose a harmonic analysis using the random walk operator as the starting point for our framework. First, we propose Fourier-type bases formed by the eigenvectors of the random walk operator. From these Fourier bases, we determine a frequency notion by analyzing the variation of its eigenvectors. The determination of a frequency analysis from the basis of the vectors of the random walk operator leads us to multi-scale constructions on oriented graphs. More specifically, we propose a wavelet frame construction as well as a decimated wavelet construction on directed graphs. We illustrate our harmonic analysis with various examples to show its efficiency and relevance.