Gromov's theorem on finitely generated groups of polynomial growth is one of the cornerstones of geometric group theory. It has seen many applications and has immense importance within its realm. However, the early proofs of Gromov's theorem were based on deep results and were practically unsuitable for teaching. Recently, a new family of proofs have been published, potentially providing new ways to learn and teach Gromov's theorem. In this Master's thesis, we aim to provide an expository introduction to Gromov's theorem and its proofs.  We will first explore a brief theoretical overview of geometric group theory, which will include a proof of a theorem of Bass-Guivarc'h. We will then give a detailed account of an elementary proof of Gromov's theorem for groups of sub-polynomial growth, which was originally outlined by Tao in a blog post. The main contribution we make in this thesis is providing a significant amount of additional detail, bridging the gaps, and providing theoretical clarifications to all the steps in this proof. Finally, we will present some applications of Gromov's theorem. / Gromovs sats om ändligt genererade grupper med polynomiell tillväxt är en av grundpelarna inom geometrisk gruppteori. Satsen har sett många tillämpningar och har enorm betydelse inom sitt område. Dock baserades de tidiga bevisen för Gromovs sats på djupa resultat och var praktiskt taget olämpliga för undervisning. Nyligen har en ny familj av bevis publicerats, vilket potentiellt ger nya sätt att lära sig och undervisa Gromovs sats. I denna uppsats syftar vi till att ge en förklarande introduktion till Gromovs sats och dess bevis. Först ges en kort teoretisk översikt över geometrisk gruppteori, vilket kommer att inkludera ett bevis av en sats av Bass-Guivarc'h. Sedan ger vi en detaljerad redogörelse för ett elementärt bevis av Gromovs sats om grupper med sub-polynomiell tillväxt, vilket ursprungligen beskrevs av Tao i en bloggpost. Det huvudsakliga bidraget vi gör i denna uppsats är att tillhandahålla en betydande mängd ytterliga detaljer, och att ge teoretiska förtydliganden i alla steg i detta bevis. Slutligen presenterar vi några tillämpningar av Gromovs sats.