Στην διδακτορική διατριβή αναπτύξαμε ασφαλή και έμπιστα πρωτόκολλα επικοινωνιών εισάγοντας ένα νέο μοντέλο έμπιστου συστήματος που ικανοποιεί τις συνεχώς εξελισσόμενες απαιτήσεις των υπολογιστικών συστημάτων. Για την ανάπτυξη του μοντέλου μας συνδυάσαμε την μαθηματική λογική και τα φαινόμενα κατωφλίου που προκύπτουν ασυμπτωτικά στην ανάπτυξη των συνδυαστικών δομών. Η βασική ιδέα της διδακτορικής διατριβής είναι ότι στα δυναμικά γενικά συστήματα υπολογισμού δεν μπορεί η έννοια της εμπιστοσύνης και της ασφάλειας να είναι στατική. Πιστεύουμε ότι ένα έμπιστο και ασφαλές σύστημα θα πρέπει να μελετάται με στατιστικές, ασυμπτωτικές παραμέτρους, καθώς τα τμήματα του συστήματος εξελίσσονται. Κατά συνέπεια, ο κύριος στόχος μας είναι να καθορίσουμε την εμπιστοσύνη ως μια ιδιότητα του συστήματος που «εμφανίζεται» όταν ισχύουν ασυμπωτικά, σχεδόν βέβαια ένα σύνολο λογικών ιδιοτήτων στις τυχαίες δομές επικοινωνίας, οι οποίες διαμορφώνουν τα συστήματα υπολογισμού. Στην διδακτορική διατριβή καθορίζονται διάφορες ιδιότητες που σχετίζονται με την ασφάλεια και εμπιστοσύνη του συστήματος και εκφράζονται χρησιμοποιώντας την λογική πρώτης ή δεύτερης τάξης και ταυτόχρονα ορίζονται και οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες αυτές οι ιδιότητες εμφανίζονται στο όριο τους, καθώς το σύστημα αυξάνεται. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούμε μοντέλα γράφων που μπορούν ρεαλιστικά να περιγράψουν ένα δυναμικό και συνεχώς εξελισσόμενο δίκτυο και δείχνουμε ότι αυτά τα μοντέλα μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να ικανοποιούν διάφορες ``καλές'' ιδιότητες, οι οποίες του επιτρέπουν μια ασφαλή επικοινωνία. Το τελευταίο διάστημα παρουσιάζουν αρκετό ερευνητικό και επιστημονικό ενδιαφέρον τα ασύρματά δίκτυα που χρησιμοποιούν συσκευές με μικρούς πόρους σε μνήμη και ενέργεια. Επιπλέον η διδακτορική διατριβή περιλαμβάνει τον σχεδιασμό και την υλοποίηση νέων κρυπτογραφικών πρωτοκόλλων διαχείρισης κλειδιού σε τέτοια ασύρματα δυναμικά δίκτυα . Εδώ παρουσιάζουμε κρυπτογραφικά πρωτόκολλα που είναι κατάλληλα για μια μη στατική δομή δικτύου, τα οποία δεν απαιτούν συγκεκριμένη τοπολογία δικτύου και στηρίζονται μόνο στις απλές περιορισμένου φάσματος ανταλλαγές μηνυμάτων. Για να μπορέσουμε να αναπτύξουμε αυτά τα πρωτόκολλα βασιστήκαμε σε γνωστές κρυπταναλιτικές μεθόδους χρησιμοποιώντας πρωτόκολλα κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης. Τέλος η μελέτη μας δίνει έμφαση στα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα των πρωτοκόλλων μας δεδομένης της διαθέσιμης τεχνολογίας, των αντίστοιχων κριτηρίων αποδοτικότητας (ενέργεια, χρόνος) και του παρεχόμενου επιπέδου ασφάλειας. / In this Phd thesis,, we try to use formal logic and threshold phenomena that asymptotically emerge with certainty in order to build new trust models and to evaluate the existing one. The departure point of our work is that dynamic, global computing systems are not amenable to a static viewpoint of the trust concept, no matter how this concept is formalized. We believe that trust should be a statistical, asymptotic concept to be studied in the limit as the system's components grow according to some growth rate. Thus, our main goal is to define trust as an emerging system property that ``appears'' or "disappears" when a set of properties hold, asymptotically with probability$ 0$ or $1$ correspondingly . Here we try to combine first and second order logic in order to analyze the trust measures of specific network models. Moreover we can use formal logic in order to determine whether generic reliability trust models provide a method for deriving trust between peers/entities as the network's components grow. Our approach can be used in a wide range of applications, such as monitoring the behavior of peers, providing a measure of trust between them, assessing the level of reliability of peers in a network. Wireless sensor networks are comprised of a vast number of ultra-small autonomous computing, communication and sensing devices, with restricted energy and computing capabilities, that co-operate to accomplish a large sensing task. Sensor networks can be very useful in practice. Such systems should at least guarantee the confidentiality and integrity of the information reported to the controlling authorities regarding the realization of environmental events. Therefore, key establishment is critical for the protection in wireless sensor networks and the prevention of adversaries from attacking the network. Finally in this dissertation we also propose three distributed group key establishment protocols suitable for such energy constrained networks. This dissertation is composed of two parts. Part I develops the theory of the first and second order logic of graphs - their definition, and the analysis of their properties that are expressible in the {\em first order language} of graphs. In part II we introduce some new distributed group key establishment protocols suitable for sensor networks. Several key establishment schemes are derived and their performance is demonstrated.