Soit (X, μ) un espace de probabilité standard et Γ un groupe dénombrable agissant sur X de manière à préserver la mesure de probabilité (p.m.p.). La partition de l'espace X en orbites induite par l'action de Γ est entièrement encodée par le groupe plein de l'action, constitué de l'ensemble des bijections boréliennes de l'espace qui agissent par permutation sur chaque orbite. Plus précisément, le théorème de reconstruction de H. Dye stipule que deux actions p.m.p. sont orbitalement équivalentes (i.e. induisent la même partition à une bijection p.m.p. près) si et seulement si leurs groupes pleins sont isomorphes.Le sujet de cette thèse est grandement motivé par ce théorème de reconstruction, puisqu'il s'agit de voir comment des invariants d'équivalence orbitale, qui portent donc sur la partition de l'espace en orbites, se traduisent en des propriétés algébriques ou topologiques du groupe plein associé.Le résultat majeur porte sur le rang topologique des groupes pleins, c'est-à-dire le nombre minimum d'éléments nécessaires pour engendrer un sous-groupe dense. Il se trouve être fortement relié a un invariant fondamental d'équivalence orbitale : le coût. Plus précisément, nous avons montré que le rang topologique était, dans le cas ergodique, égal à la partie entière du coût de l'action plus un. Le cas non ergodique a également été étudié, et on a obtenu des résultats complémentaires sur la généricité de l'ensemble des générateurs topologiques.Enfin, on a caractérisé les actions dont toutes les orbites sont infinies : ce sont exac- tement celles dont le groupe plein n'admet aucun morphisme non trivial à valeurs dans Z/2Z.

Soit (X, μ) un espace de probabilité standard et Γ un groupe dénombrable agissant sur X de manière à préserver la mesure de probabilité (p.m.p.). La partition de l’espace X en orbites induite par l’action de Γ est entièrement encodée par le groupe plein de l’action, constitué de l’ensemble des bijections boréliennes de l’espace qui agissent par permutation sur chaque orbite. Plus précisément, le théorème de reconstruction de H. Dye stipule que deux actions p.m.p. sont orbitalement équivalentes (i.e. induisent la même partition à une bijection p.m.p. près) si et seulement si leurs groupes pleins sont isomorphes.Le sujet de cette thèse est grandement motivé par ce théorème de reconstruction, puisqu’il s’agit de voir comment des invariants d’équivalence orbitale, qui portent donc sur la partition de l’espace en orbites, se traduisent en des propriétés algébriques ou topologiques du groupe plein associé.Le résultat majeur porte sur le rang topologique des groupes pleins, c’est-à-dire le nombre minimum d’éléments nécessaires pour engendrer un sous-groupe dense. Il se trouve être fortement relié a un invariant fondamental d’équivalence orbitale : le coût. Plus précisément, nous avons montré que le rang topologique était, dans le cas ergodique, égal à la partie entière du coût de l’action plus un. Le cas non ergodique a également été étudié, et on a obtenu des résultats complémentaires sur la généricité de l’ensemble des générateurs topologiques.Enfin, on a caractérisé les actions dont toutes les orbites sont infinies : ce sont exac- tement celles dont le groupe plein n’admet aucun morphisme non trivial à valeurs dans Z/2Z. / Let (X,μ) be a standard probability space and Γ a countable group acting on X in a measure preserving way. The partition of the space X into Γ-orbits is entirely encoded by the full group of the action, consisting of all the Borel bijections of X which act by permutation on every orbit. To be more precise, Dye’s reconstruction theorem states that two measure preserving actions are orbit equivalent (i.e. they induce the same partition up to a measure preserving bijection of (X, μ)) if and only if their full groups are isomorphic.The reconstruction theorem is the main motivation for this thesis, in which we try to understand how exactly orbit equivalence invariants of measure preserving actions translate into algebraic or topological properties of the associated full group.The main result deals with the topological rank of full groups, that is the minimal number of elements needed to generate a dense subgroup. It happens to be deeply linked to a fundamental invariant of orbit equivalence : the cost. To be more precise, we have shown that the topological rank is, in the ergodic case, equal to the integer part of the cost of the action plus one. The non-ergodic case was also treated, and we obtained some genericity results for the set of topological generators.We also obtained a characterization of the measure preserving actions having only infinite orbits : these are the ones whose full group has non nontrivial morphism into Z/2Z.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la théorie mesurée des groupes, à l'entropie sofique et aux algèbres d'opérateurs ; plus précisément, on étudie les actions des groupes sur des espaces de probabilités, des propriétés fondamentales de leur entropie sofique (pour des groupes discrets), leurs groupes pleins (pour des groupes Polonais), et les algèbres de von Neumann et leurs sous-algèbres moyennables (pour des groupes à caractère hyperbolique et des réseaux de groupes de Lie). Cette thèse est constituée de trois parties.Dans une première partie j'étudie l'entropie sofique des actions profinies. L'entropie sofique est un invariant des actions mesurées des groupes sofiques défini par L. Bowen qui généralise la notion d'entropie introduite par Kolmogorov. La définition d'entropie sofique nécessite de fixer une approximation sofique du groupe. Nous montrons que l'entropie sofique des actions profinies est effectivement dépendante de l'approximation sofique choisie dans le cas des groupes libres et certains réseaux de groupes de Lie.La deuxième partie est un travail en collaboration avec François Le Maître. Elle est constituée d'un article prépublié dans lequel nous généralisons la notion de groupe plein aux actions préservant une mesure de probabilité des groupes polonais, et en particulier, des groupes localement compacts. On définit une topologie polonaise sur ces groupes pleins et on étudie leurs propriétés topologiques fondamentales, notamment leur rang topologique et la densité des éléments apériodiques.La troisième partie est un travail en collaboration avec Rémi Boutonnet. Elle est constituée de deux articles prépubliés dans lesquels nous considérons la question de la maximalité de la sous-algèbre de von Neumann d'un sous-groupe moyennable maximal, dans celle du groupe ambiant. Nous résolvons la question dans le cas des groupes à caractère hyperbolique en utilisant les techniques de Sorin Popa. Puis, nous introduisons un critère dynamique à la Furstenberg, permettant de résoudre la question pour des sous-groupes moyennables de réseaux des groupes de Lie en rang supérieur. / This dissertation is about measured group theory, sofic entropy and operator algebras. More precisely, we will study actions of groups on probability spaces, some fundamental properties of their sofic entropy (for countable groups), their full groups (for Polish groups) and the amenable subalgebras of von Neumann algebras associated with hyperbolic groups and lattices of Lie groups. This dissertation is composed of three parts.The first part is devoted to the study of sofic entropy of profinite actions. Sofic entropy is an invariant for actions of sofic groups defined by L. Bowen that generalize Kolmogorov's entropy. The definition of sofic entropy makes use of a fixed sofic approximation of the group. We will show that the sofic entropy of profinite actions does depend on the chosen sofic approximation for free groups and some lattices of Lie groups. The second part is based on a joint work with François Le Maître. The content of this part is based on a prepublication in which we generalize the notion of full group to probability measure preserving actions of Polish groups, and in particular, of locally compact groups. We define a Polish topology on these full groups and we study their basic topological properties, such as the topological rank and the density of aperiodic elements. The third part is based on a joint work with Rémi Boutonnet. The content of this part is based on two prepublications in which we try to understand when the von Neumann algebra of a maximal amenable subgroup of a countable group is itself maximal amenable. We solve the question for hyperbolic and relatively hyperbolic groups using techniques due to Popa. With different techniques, we will then present a dynamical criterion which allow us to answer the question for some amenable subgroups of lattices of Lie groups of higher rank.

Cette thèse rassemble des travaux qui abordent des sujets de la dynamique topologique par le biais de la logique et de la théorie descriptive des ensembles, et réciproquement. La première partie est consacrée à l'étude des groupes polonais Roelcke précompacts. Cette famille comprend plusieurs groupes de permutations, d'isométries et d'homéomorphismes d'objets mathématiques distingués. Basés sur des travaux précédents de Ben Yaacov et Tsankov, nous développons une traduction modèle-théorique de plusieurs aspects dynamiques de ces groupes. Puis nous utilisons cette traduction pour obtenir une compréhension précise, dans ce cas, de la hiérarchie dynamique étudiée par Glasner et Megrelishvili. Ensuite (avec I. Ben Yaacov et T. Tsankov), nous donnons une description modèle-théorique de la compactification hilbertienne des groupes oligomorphes, et nous caractérisons les groupes oligomorphes Eberlein. Nous étudions également les groupes d'automorphismes des structures randomisées, ainsi que les modèles séparables de la théorie des belles paires de randomisations. Dans la deuxième partie (avec J. Melleray), nous étudions les groupes pleins d'homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor et leurs mesures invariantes. Nous montrons que les groupes pleins des homéomorphismes minimaux n'admettent pas de topologie polonaise, puis qu'ils sont des sous-ensembles non-boréliens du groupe d'homéomorphismes de l'espace de Cantor. Ensuite, nous étudions les clôtures des groupes pleins au moyen de la théorie de Fraïssé. Finalement, nous donnons une caractérisation des ensembles de mesures invariantes des homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor / This thesis gathers different works approaching subjects of topological dynamics by means of logic and descriptive set theory, and conversely. The first part is devoted to the study of Roelcke precompact Polish groups, which are the same as the automorphism groups of N0-categorical structures. They form a rich family of examples of infinite-dimensional topological groups, including several interesting permutation groups, isometry groups and homeomorphism groups of distinguished mathematical objects. Building on previous work of Ben Yaacov and Tsankov, we develop a model-theoretic translation of several dynamical aspects of these groups. Then we use this translation to obtain a precise understanding, in this case, of the dynamical hierarchy studied by Glasner and Megrelishvili. Later, with I. Ben Yaacov and T. Tsankov, we provide a model-theoretic description of the Hilbert-compactification of oligomorphic groups, and we give a characterization of Eberlein oligomorphic groups. We also study automorphism groups of randomized structures, as well the separable models of the theory of beautiful pairs of randomizations. The second part, with J. Melleray, studies full groups of minimal homeomorphisms of the Cantor space and their invariant measures. We show that full groups of minimal homeomorphisms do not admit a Polish group topology, and are moreover non-Borel subsets of the homeomorphism group of the Cantor space. We then study the closures of full groups by means of Fraïssé theory. Finally, we give a characterization of the sets of invariant measures of minimal homeomorphisms of the Cantor space