Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Albânia Cézar de Melo (albania@bce.unb.br) on 2017-04-04T14:51:32Z No. of bitstreams: 1 2017_SaraRaissaSilvaRodrigues.pdf: 2150217 bytes, checksum: 58576539eefd04b409a3bbf9c7cff7e9 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2017-04-25T21:09:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_SaraRaissaSilvaRodrigues.pdf: 2150217 bytes, checksum: 58576539eefd04b409a3bbf9c7cff7e9 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-25T21:09:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_SaraRaissaSilvaRodrigues.pdf: 2150217 bytes, checksum: 58576539eefd04b409a3bbf9c7cff7e9 (MD5) / Um grupo G é chamado um grupo Engel se para todos x e g em G a identidade [x, g, . . . , g] = 1 vale em G, onde g é repetido no comutador um número suficiente de vezes que depende de x e g. É bem conhecido que qualquer grupo localmente nilpotente é um grupo Engel. Mas, a recíproca não vale em geral. No entanto, em [26] J. S. Wilson e E. I. Zelmanov provaram que todo grupo profinito Engel ´e localmente nilpotente.Dados um elemento g em G e um inteiro positivo n, seja En(g) o subgrupo gerado por todos os comutadores [x, g, . . . , g] onde, x varia em G e g é repetido n vezes. Esta dissertação está baseada no artigo Almost Engel finite and profinite groups [13] de E. I. Khukhro e P. Shumyatsky. Mostramos que se G é um grupo profinito tal que, para todo g em G existe um inteiro positivo n = n(g) com a propriedade que En(g) é finito, então G possui um subgrupo normal finito N tal que G/N ´e localmente nilpotente. Um resultado da mesma natureza e de tipo quantitativo ´e provado para um grupo finito G, deduzindo informações sobre a ordem do subgrupo residual nilpotente γ(G) de G. / A group G is called an Engel group if for every x and g in G the equation [x, g, . . . , g] = 1 holds in G, where g is repeated in the commutator sufficiently many times depending on x and g. It is well known that any locally nilpotent group is an Engel group, but the converse does not hold in general. However, in [26] J. S. Wilson and E. I. Zelmanov proved that any Engel profinite group is locally nilpotent. Given an element g in G and a positive integer n, let En(g) be the subgroup generated by all commutators [x, g, . . . , g] over x in G, where g is repeated n times. This master’s dissertation is based on the article Almost Engel finite and profinite groups [13] of E. I. Khukhro e P. Shumyatsky. It is shown that if G is a profinite group such that, for every g in G there is a positive integer n = n(g) such that En(g) is finite, then G has a finite normal subgroup N such that G/N is locally nilpotent. A similar result of quantitative nature holds for a finite group G, and it gives information about the order of the nilpotent residual subgroup ɣ(G) of G.