Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 489385 bytes, checksum: f564b620e335758735ac20b6205a5111 (MD5) Previous issue date: 2010-02-26 / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais / In this work, we study the eror-correction codes that are ideals in the group algebra FG(M;N;R) over a field F of characteristic 2, where the underlying group is a non-abelian metacyclic of odd order and has the following presentation: G(M;N;R) = ‹a, b : aM = bN = 1, ba = aRb›; onde mdc(M;R) = 1, RN = 1(mod M) e R ≠ 1. We use the theory of representations of the metacyclic groups to find the idempotent generators of the minimal central codes of FG(M;N;R) and prove that these codes are combinatorically equivalent to certain abelian codes whose minimum distances are not the best. However, some of these minimal central codes break down into direct sum of minimal left ideals (left codes), which have minimum distances greater than those abelian codes of comparable length and size. Thus, the study of certain metacyclic minimal (left) codes becomes more interesting. A detailed description of the theory of representations of metacyclic groups and some results on group algebras that support the determination of metacyclic codes are initially presented, as well as some results on cyclic codes. / Neste trabalho, estudamos os códigos corretores de erros que são ideais na álgebra de grupo FG(M;N;R) sobre um corpo F de característica 2, onde o grupo subjacente é metacíclico, não abeliano, de ordem ímpar e possui a seguinte apresentação: G(M;N;R) = ‹a, b : aM = bN = 1, ba = aRb›; onde mdc(M;R) = 1, RN = 1(mod M) e R ≠ 1. Utilizamos a teoria de representações dos grupos metacíclicos para encontrar os idempotentes geradores dos códigos centrais minimais de FG(M;N;R) e provamos que estes códigos são combinatorialmente equivalentes a certos códigos abelianos, cujas distâncias mínimas não são as melhores possíveis. No entanto, alguns destes códigos centrais minimais se decompõem em soma direta de ideais (códigos) minimais à esquerda, que possuem distâncias mínimas maiores que as dos códigos abelianos de comprimento e dimensão comparáveis. Desta maneira, o estudo de certos códigos metacíclicos minimais (à esquerda) se torna mais interessante. Uma descrição detalhada da teoria de representações dos grupos metacíclicos e alguns resultados sobre álgebras de grupo que auxiliam a determinação dos códigos metacíclicos são apresentados preliminarmente, bem como alguns resultados sobre códigos cíclicos.

Neste trabalho, consideramos álgebras de grupo semissimples F_G de grupos metacíclicos não abelianos que cindem sobre corpos finitos. Inicialmente, damos condições para que o número de componentes simples da álgebra F_G seja minimal e encontramos os idempotentes centrais primitivos quando a ordem do grupo é igual a p^l^, onde p e l são números primos distintos. Posteriormente, obtemos condições necessárias e suficientes para que o número de componentes simples da álgebra F_G seja minimal no caso em que a ordem do grupo é igual a 2n. Finalmente, quando G=D_{p^}, o grupo diedral de ordem 2p^, obtemos duas decomposições da álgebra F_D_{p^}$ como soma direta de ideais à esquerda minimais, calculamos suas dimensões e pesos e mostramos que, em uma destas decomposições, os códigos à esquerda minimais não são equivalentes a códigos abelianos, dando uma resposta afirmativa para uma conjectura formulada por Sabin e Lomonaco em 1995. / We consider semisimple group algebras F_G of non abelian split metacyclic groups over a finite field. First we give necessary and suficiente conditions for them to have a minimal number of simple components and find the primitive central idempotents of F_G in the case when the order G is equals p^l^, where p and l are different prime numbers. Then, we consider the special case when the order of G is 2n. Finally, when G=D_{p^} the dihedral group of order 2p^, we obtain two decomposition of the algebra into direct sum of minimal left ideals, compute their dimensions and weights. We show that one of these decompositions gives raise to minimal codes that are not combinatorially equivalent to abelian codes giving an affirmative answer to a conjecture formulated by Sabin and Lomonaco in 1995.

Neste trabalho, estudamos a ação dos grupos split metacíclicos \'D IND. (2h+1) POT. 2 nas esferas. Encontramos uma região fundamental dos espaços quocientes, chamados de Formas Espaciais Esféricas Metacíclicas, que foi utilizada para construirmos um conveniente complexo de cadeias destas formas com o qual calculamos o anel de cohomologia e a torção de Reidemeister. Obtivemos também uma relação entre as diferentes torções encontradas / In this work, we study the action of the split metacyclic groups \'D IND. (2h+1) POT. 2 on the spheres. We find a fundamental domain of the quotient spaces, called Metacyclic Spherical Space Forms. Through this region we have built a convenient chain complex of these spaces and we used it to calculate their cohomology ring and Reidemeister torsion. We obtained also a relation between the different torsions found

Neste trabalho, consideramos álgebras de grupo semissimples F_G de grupos metacíclicos não abelianos que cindem sobre corpos finitos. Inicialmente, damos condições para que o número de componentes simples da álgebra F_G seja minimal e encontramos os idempotentes centrais primitivos quando a ordem do grupo é igual a p^l^, onde p e l são números primos distintos. Posteriormente, obtemos condições necessárias e suficientes para que o número de componentes simples da álgebra F_G seja minimal no caso em que a ordem do grupo é igual a 2n. Finalmente, quando G=D_{p^}, o grupo diedral de ordem 2p^, obtemos duas decomposições da álgebra F_D_{p^}$ como soma direta de ideais à esquerda minimais, calculamos suas dimensões e pesos e mostramos que, em uma destas decomposições, os códigos à esquerda minimais não são equivalentes a códigos abelianos, dando uma resposta afirmativa para uma conjectura formulada por Sabin e Lomonaco em 1995. / We consider semisimple group algebras F_G of non abelian split metacyclic groups over a finite field. First we give necessary and suficiente conditions for them to have a minimal number of simple components and find the primitive central idempotents of F_G in the case when the order G is equals p^l^, where p and l are different prime numbers. Then, we consider the special case when the order of G is 2n. Finally, when G=D_{p^} the dihedral group of order 2p^, we obtain two decomposition of the algebra into direct sum of minimal left ideals, compute their dimensions and weights. We show that one of these decompositions gives raise to minimal codes that are not combinatorially equivalent to abelian codes giving an affirmative answer to a conjecture formulated by Sabin and Lomonaco in 1995.

Neste trabalho, estudamos a ação dos grupos split metacíclicos \'D IND. (2h+1) POT. 2 nas esferas. Encontramos uma região fundamental dos espaços quocientes, chamados de Formas Espaciais Esféricas Metacíclicas, que foi utilizada para construirmos um conveniente complexo de cadeias destas formas com o qual calculamos o anel de cohomologia e a torção de Reidemeister. Obtivemos também uma relação entre as diferentes torções encontradas / In this work, we study the action of the split metacyclic groups \'D IND. (2h+1) POT. 2 on the spheres. We find a fundamental domain of the quotient spaces, called Metacyclic Spherical Space Forms. Through this region we have built a convenient chain complex of these spaces and we used it to calculate their cohomology ring and Reidemeister torsion. We obtained also a relation between the different torsions found