<p>Dagens industrirobotar är mycket mer komplexa än vad de var för några år sedan. Regleringen baseras på matematiska modeller och för att prestandan ska var lika bra eller bättre än förr krävs det att modellerna är anpassade till individen. Det krävs därför att modellparametrarna justeras för att stämma överens med den aktuella roboten.</p><p>Rapporten handlar om hur de flexibla modellparametrarna ska trimmas för robotens leder så att verktygets svängningar minskar. På grund av att en rörelse på en axel påverkar de övriga axlarna, blir detta ett sexdimensionellt minimeringsproblem. Detta kan dock lösas genom att låsa vissa leder i olika positioner och på så sätt delas minimeringen upp i flera steg med som mest tre variabler att minimera över. Målfunktionen beräknas som L2-normen över den del av momentsignalen som, enligt momentframkopplingen, ska var konstant. En dåligt trimmad robot svänger mycket vilket ger ett högt målfunktionsvärde. Genom att justera de flexibla modellparametrarna kan svängningen minimeras.</p> / <p>Industrial robots are more complex today than they were a few years ago. The control is based on mathematical models and in order to keep the performance or make it even better it is desirable to adjust the models so that they fit the individual robot. It is therefore necessary to adjust the model parameters.</p><p>The report deals with how to tune the model parameters, that affect the joint flexibility, to decrease the oscillation of the tool. A joint is dependent on the motion of the other joints and therefore it becomes a six-dimensional optimization problem. The problem can be simplified to a number of subproblems with at most three dimensions by selecting joint positions which minimizes the coupling between the joints. The objective function is calculated as the L2-norm over a sequence of the motor torque. The sequence is defined to be where the torque reference is constant. A robot which is poorly tuned oscillate a lot, which implies a large function value. The oscillation can be decreased by a careful tuning of the model parameters.</p><p> </p>

Dagens industrirobotar är mycket mer komplexa än vad de var för några år sedan. Regleringen baseras på matematiska modeller och för att prestandan ska var lika bra eller bättre än förr krävs det att modellerna är anpassade till individen. Det krävs därför att modellparametrarna justeras för att stämma överens med den aktuella roboten. Rapporten handlar om hur de flexibla modellparametrarna ska trimmas för robotens leder så att verktygets svängningar minskar. På grund av att en rörelse på en axel påverkar de övriga axlarna, blir detta ett sexdimensionellt minimeringsproblem. Detta kan dock lösas genom att låsa vissa leder i olika positioner och på så sätt delas minimeringen upp i flera steg med som mest tre variabler att minimera över. Målfunktionen beräknas som L2-normen över den del av momentsignalen som, enligt momentframkopplingen, ska var konstant. En dåligt trimmad robot svänger mycket vilket ger ett högt målfunktionsvärde. Genom att justera de flexibla modellparametrarna kan svängningen minimeras. / Industrial robots are more complex today than they were a few years ago. The control is based on mathematical models and in order to keep the performance or make it even better it is desirable to adjust the models so that they fit the individual robot. It is therefore necessary to adjust the model parameters. The report deals with how to tune the model parameters, that affect the joint flexibility, to decrease the oscillation of the tool. A joint is dependent on the motion of the other joints and therefore it becomes a six-dimensional optimization problem. The problem can be simplified to a number of subproblems with at most three dimensions by selecting joint positions which minimizes the coupling between the joints. The objective function is calculated as the L2-norm over a sequence of the motor torque. The sequence is defined to be where the torque reference is constant. A robot which is poorly tuned oscillate a lot, which implies a large function value. The oscillation can be decreased by a careful tuning of the model parameters.

Olofsfors AB beställer idag stålplåtar, remsor och stänger av stålleveran- törer för sin produktion av skop- och vägstål samt skogsband. Stålremsorna för produktion av skop- och vägstål beställs i dimensioner som är redo att skä- ras endimensionellt och vidarebehandlas till skopstålsdetaljer i fabriken. För att effektivisera produktionen i form av ekonomibesparingar och minskning av spill har Olofsfors AB köpt en ny maskin som kan behandla större plåtar och skära ut mindre remsor från dessa och de kan således göra ekonomiska besparingar tack vare billigare inköp. Företaget vill hitta en metod som minimerar spill av material vilket ska leda till ekonomiska besparingar. Syftet med projektet är att utveckla ett program som Olofsfors AB kan använda sig av i den dagliga verksamheten för att optimera materialanvändningen. Problemet att skära ut mindre bitar ur ett större råmaterial är vanligt i industrier och kallas Cutting stock problem. Vi har använt oss av en redan utvecklad modell bestående av en modifierad branch &amp; bound-algoritm för att hitta möjliga mönster som kan skäras ut ur råmaterialet, implementerat den i MATLAB® samt förbättrat den. Vidare har det använts fyra olika optimeringsmodeller vilka lett till olika heltalsprogram som samtliga lösts med den inbyggda MATLAB®-metoden intlinprog, vilken använder sig av branch &amp; bound som lösningsmetod. Resultatet gav ett för användaren lättanvänt program som ger förslag på en optimal dimension bland en mängd möjliga dimensioner på ett råmate- rial, utifrån årsvolym och dimensioner för remsor eller stänger. Föreslagen dimension är den dimension som resulterar i så låg materialförbrukning som möjligt. Utöver detta kan Olofsfors AB använda detta program för att hitta vilka mönster som ska skäras ut givet efterfrågan, samt använda utdata från programmet för att reda ut kapacitetsgräns i restbitslager och finna vilka lagerartiklar som är särskilt lämpliga att producera från restbitar.

This master thesis in optimization and systems theory is a development of two different optimization models formulated to schedule multi-skilled agents for contact centers depending on the forecasted demand, assigned by Teleopti. Four mixed integer linear programming models are created with the optimization programming language GAMS and solved by the internet based solver NEOS. Two of the models are formulated to perform an optimal scheduling that matches a forecasted demand per skill and day and the remaining two models are formulated to perform an optimal scheduling that matches a forecasted demand per skill, day and half hour. The first two models are referred to as the Basic Models and the second two are referred to as the Complex Models. The Basic Models includes seven constraints and the Complex Model includes nine constraints, describing regulations at the contact center. The main goal of the project is to find an optimal solution that results in an as even distribution of under or over scheduling. The scheduling optimization covers a period of 28 days, starting on a Monday which results in four weeks. The optimization models are based on two sets of data, there are 104 assigned agents that possesses one, two or three of the skills Channel, Direct and Product. All agents are bound to work according to a contract specified through the constraints. In the Basic Model the forecasted demand is given in amount of hours per day and skill, the demand is non-cyclical. In the Complex model the forecasted demand is given in amount of half hours per day, skill and half hour. Each day is scheduled from 7 a.m. to 11 p.m. resulting in 32 available half hours. All optimization models are developed to correctly mathematically formulate the constraints specified by Teleopti. Any non-linear equation that arises are linearized to maintain linearity, this is favourable in the sense of computational time solving the models. The objective functions in this thesis are formulated to describe the main goal of even distribution as correctly as possible. The result for the Basic Model shows that an optimal solution is achieved after 34 seconds. This model contains 169,080 variables and 39,913 equations. In the Complex Models integer solutions are achieved, but no optimal solution is found in 8 hours of computational time. The larger Complex Model contains 9,385,984 variables and 1,052,253 equations and the smaller Complex Model contains 5,596,952 variables and 210,685 equations. Teleopti’s scheduler produces an integer solution matching the Complex Model in 4 minutes. / Detta examensarbete i optimering och systemteori är framtagningen av två olika optimeringsmodeller formulerade för att schemalägga multikompetenta agenter för kontaktcenters beroende av den förväntade efterfrågan, tilldelad av Teleopti. Fyra blandade heltals linjära programmeringsmodeller skapas med optimeringsprogrammeringsspråket GAMS och löses av den internetbaserade lösaren NEOS. Två av modellerna är formulerade för att utföra en optimal schemaläggning som matchar en prognostiserad efterfrågan per skicklighet och dag och de återstående två modellerna är formulerade för att utföra en optimal schemaläggning som matchar en prognostiserad efterfrågan per färdighet, dag och en halvtimme. De två första modellerna i detta arbete benämns de Grundläggande Modellerna och de resterande två benämns de Komplexa Modellerna. Grundmodellerna inkluderar sju bivillkor och de Komplexa modellerna innehåller nio bivillkor, vilka beskriver arbetsvillkoren på kontaktcentret. Projektets huvudmål är att hitta en optimal lösning som resulterar i en jämn fördelning av under- eller överschemaläggning. Den schemalagda optimeringen täcker en period av 28 dagar, vilken börjar på en måndag vilket resulterar i fyra veckor. Optimeringsmodellerna är baserade på två uppsättningar data, det finns 104 tillgängliga agenter vilka har en, två eller tre av kompetenserna Channel, Direct och Product. Alla agenter är bundna att arbeta enligt det kontrakt som specificeras genom bivillkoren. I grundmodellen anges den prognostiserade efterfrågan i timmar per dygn och kompetens, efterfrågan är icke-cyklisk. I den komplexa modellen anges den beräknade efterfrågan i mängd halvtimmar per dag, kompetens och halvtimme. Varje dag är schemalagd från kl. 07.00 till 23.00 vilket resulterar i 32 tillgängliga halvtimmar. Alla optimeringsmodeller är utvecklade för att matematiskt beskriva de begränsningar som Teleopti specificerar. Alla icke-linjära ekvationer som uppstår linjäriseras för att upprätthålla linjäritet, detta är gynnsamt i avseendet mängd tid beräkningen av modellerna tar. Målfunktionerna i detta arbete är formulerade för att beskriva huvudmålet för jämn distribution så korrekt som möjligt. Resultatet för grundmodellen visar att en optimal lösning uppnås efter 34 sekunder. Denna modell innehåller 169,080 variabler och 39,913 ekvationer. I de komplexa modellerna uppnås heltalslösningar, men ingen optimal lösning hittas på 8 timmars beräkningstid. Den större komplexa modellen innehåller 9,385,984 variabler och 1,052,253 ekvationer och den mindre komplexa modellen innehåller 5,596,952 variabler och 210,665 ekvationer. Teleoptis schemaläggare producerar en heltalslösning som matchar den komplexa modellen på 4 minuter.

The purpose of this thesis is to investigate how tractor swapping can be implemented in Vehicle Routing Problems (VRP) with electric heavy goods vehicles, and to evaluate how a model that allows for tractor swapping performs, in terms of schedule cost, against a model that does not. Hence, this thesis introduces a new rich VRP variant which includes tractor swapping, as well as time windows, pickup and delivery, and electric vehicles. The model is named Electric Tractor Swap Vehicle Routing Problem (E-TSVRP) and is formulated as a mixed integer linear program. As for the solver, Gurobi is used. The results show that utilizing tractor swapping can reduce the total cost of serving customers significantly by reducing en-route charging and utilizing drivers more efficiently. Specifically, it is shown that the cost reduction comes mainly from reducing driver work time. By demonstrating how tractor swapping works and how the results can be visualized on smaller cases, this thesis aims to serve as a foundation for future research within the field. To be able to fully implement the model for large logistics problem instances however, alternative solution methods such as heuristics or metaheuristics should be developed so that the problems can be solved in a reasonable amount of time. / Syftet med denna uppsats är att undersöka hur traktorbyten kan implementeras i "Vehicle Routing Problem" (VRP) med tunga, elektriska lastfordon, och att utvärdera hur en modell som tillåter traktorbyten presterar mot en modell som inte tillåter det, med avseende på den totala schemakostnaden. I uppsatsen introduceras därför en ny och generell VRP som har stöd för traktorbyten, men som också modellerar energikonsumtion och laddning av elektriska lastbilar, samt tillåter tidsfönster för när leveranser kan levereras och hämtas upp på godtyckliga platser. Modellen kallas för "Electric Tractor Swap Vehicle Routing Problem" (E-TSVRP) och formuleras som ett linjärt, blandat heltalsprogram. Programmet löses sedan med lösaren Gurobi. Resultaten visar att utnyttjandet av traktorbyten kan märkbart minska den totala kostnaden av att leverera varor till kunder genom att minska tiden som föraren väntar på att traktorn laddar. Mer specifikt tillåts möjligheten att byta till en ny traktor när den tidigare får slut på energi, vilket möjliggör en högre utnyttjandegrad av förarna, och den fakturerade tiden associerad till förarna kan minskas. Detta sker genom en avvägning mellan å ena sidan högre hårdvarukostnader för fler traktorer och å andra sidan lägre förarkostnader. Genom att demonstrera hur traktorbyten fungerar och hur resultaten kan visualiseras på mindre transportproblem, strävar denna uppsats efter att verka som en grund för framtida forskning. För att modellen ska kunna användas för stora logistikproblem bör dock alternativa lösningsmetoder som till exempel lösningsheuristiker eller metaheuristiker utvecklas så att problemen kan lösas inom en rimlig tid.