Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Luis Fernando Mello / Banca: João Carlos Ferreira Costa / Resumo: Nesta dissertação estudamos critérios para determinar a existência, a não existência e a unicidade de ciclos limites de campos de vetores planares. Mais especificamente, estudamos equações de Lienard Äx + f(x; _ x) _ x + g(x) = 0; onde f e g satisfazem determinadas hip¶oteses. Em particular estudamos a equa»c~ao de van der Pol Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; a qual é conhecida da teoria dos circuitos elétricos. Provamos a existência e a unicidade de ciclos limites para estas equações. Por fim estudamos a equação de van der Pol com o parâmetro" " 1 e o fenômeno canard que ocorre ao considerarmos um parâmetro adicional ®: As técnicas utilizadas s~ao as usuais de Análise Assintótica. / Abstract: In this work we study the existence, the non existence and the uniqueness of limit cycles of planar vector felds. More specifically, we study Lienard equations Äx+f(x; _ x) _ x+g(x) = 0; where f and g satisfy some hypothesis. In particular we study the van der Pol equation Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; which is knew of the circuit theory. We prove the existence and the uniqueness of limit cycles for these equations. In the last part we study the van der Pol equation with the parameter " " 1 and the canard phenomenon which appears when we consider an additional parameter ®: The techniques employed are the usual in the Asymptotic Analysis. / Mestre

Orientador: Masayoshi Tsuchida / Banca: Márcio José Horta Dantas / Banca: Manoel Ferreira Borges Neto / Resumo: Neste trabalho apresentamos um estudo da dinâmica de um sistema vibrante não ideal, composto por um motor e uma mola, conhecido como vibrador centrífugo. O objetivo deste estudo é mostrar a diferença de comportamento do sistema, quando consideramos molas duras (coeficiente de elasticidade cúbica positivo) ou molas suaves (coeficiente de elasticidade cúbica negativo). Para mola dura foi analisada a estabilidade dos pontos de equilíbrio, e mostrada por meio da teoria de variedade central e do teorema de Bezout a existência da bifurcação de Hopf. Para mola suave, þe mostrada a existência de uma órbita heteroclínica conectando dois pontos de sela. Usando o método clássico de Melnikov, é discutida a existência ou não do comportamento caótico para um determinado nível de energia e para certos valores do coeficiente de amortecimento. Toda a análise é acompanhada de simulações numéricas para a confirmação dos resultados. / Abstract: In this work we present a study of the dynamics of a non-ideal vibrating system, composed by a motor and a spring, which is known as centrifugal vibrator. The purpose of this study is to show the difference of behavior of the system when we consider hard springs (positive coefficient of cubical elasticity) or soft springs (negative coefficient of cubical elasticity). For hard spring the stability of the fixed point was analyzed, and by means of the Central Manifolds Theory and the Bezout theorem the existence of the Hopf Bifurcation is shown. For soft spring, it is shown the existence of a heteroclinic orbit connecting two saddle points. Using the classical Melnikov method it is discussed the existence, or not, of the chaotic behavior for some energy level and certain values of the damping coefficient. All the analysis is followed by numerical simulations to confirm the results. / Mestre