Pagrindinė šios disertacijos tema - stochastinių diferencialinių lygčių (SDL), valdomų trupmeninio Brauno judesio (tBj), sprendinių Hursto indekso H vertinimas. Pirmiausia disertacijoje išnagrinėta SDL, valdomų tBj, sprendinių pirmos ir antros eilės kvadratinių variacijų ribinė elgsena. Iš šių rezultatų seka keli stipriai pagrįsti Hursto indekso H įvertiniai. Įrodyta, kad šie įvertiniai išlieka stipriai pagrįsti, jei tikra sprendinio trajektorija keičiama jos Milšteino aproksimacija. Taip pat išnagrinėtos pokyčių santykio (increment ratios) statistikos H įvertinio, gauto J. M. Bardeto ir D. Surgailio 2010 m., taikymo trupmeninio geometrinio Brauno judesio Hursto indekso vertinimui galimybės bei nustatytas modifikuoto Gladyševo H įvertinio konvergavimo į tikrąją parametro reikšmę greitis. Gauti įvertiniai palyginti su kai kuriais kitais žinomais Hursto indekso H įvertiniais: naiviais bei mažiausių kvadratų Gladyševo ir eta-sumavimo osciliacijos įvertiniais, variogramos įvertiniu ir pokyčių santykio statistikos įvertiniu. Įvertiniu elgsena buvo palyginta trupmeniniam Ornšteino-Ulenbeko (OU) procesui bei trupmeniniam geometriniam Brauno judesiui (gBj). Pradinės išvados buvo padarytos O-U procesui, kuris yra Gauso, o gBj procesas buvo naudojamas patikrinti, kaip šie įvertiniai elgiasi, kai procesas yra ne Gauso. Disertaciją sudaro įvadas, 3 pagrindiniai skyriai, išvados, literatūros sąrašas, autoriaus publikacijų disertacijos tema sąrašas ir du priedai. / The main topic of this dissertation is the estimation of the Hurst index H of the solutions of stochastic differential equations (SDEs) driven by the fractional Brownian motion (fBm). Firstly, the limit behavior of the first and second order quadratic variations of the solutions of SDEs driven by the fBm is analyzed. This yields several strongly consistent estimators of the Hurst index H. Secondly, it is proved that in case the solution of the SDE is replaced by its Milstein approximation, the estimators remain strongly consistent. Additionally, the possibilities of applying the increment ratios (IR) statistic based estimator of H originally obtained by J. M. Bardet and D. Surgailis in 2010 to the fractional geometric Brownian motion are examined. Furthermore, this dissertation derives the convergence rate of the modified Gladyshev's estimator of the Hurst index to its real value. The estimators obtained in the dissertation were compared with several other known estimators of the Hurst index H, namely the naive and ordinary least squares Gladyshev and eta-summing oscillation estimators, the variogram estimator and the IR estimator. The models chosen for comparison of these estimators were the fractional Ornstein-Uhlenbeck (O-U) process and the fractional geometric Brownian motion (gBm). The initial inference about the behavior of these estimators was drawn for the O-U process which is Gaussian, while the gBm process was used to check how the estimators behave in a... [to full text]

The main topic of this dissertation is the estimation of the Hurst index H of the solutions of stochastic differential equations (SDEs) driven by the fractional Brownian motion (fBm). Firstly, the limit behavior of the first and second order quadratic variations of the solutions of SDEs driven by the fBm is analyzed. This yields several strongly consistent estimators of the Hurst index H. Secondly, it is proved that in case the solution of the SDE is replaced by its Milstein approximation, the estimators remain strongly consistent. Additionally, the possibilities of applying the increment ratios (IR) statistic based estimator of H originally obtained by J. M. Bardet and D. Surgailis in 2010 to the fractional geometric Brownian motion are examined. Furthermore, this dissertation derives the convergence rate of the modified Gladyshev’s estimator of the Hurst index to its real value. The estimators obtained in the dissertation were compared with several other known estimators of the Hurst index H, namely the naive and ordinary least squares Gladyshev and eta-summing oscillation estimators, the variogram estimator and the IR estimator. The models chosen for comparison of these estimators were the fractional Ornstein-Uhlenbeck (O-U) process and the fractional geometric Brownian motion (gBm). The initial inference about the behavior of these estimators was drawn for the O-U process which is Gaussian, while the gBm process was used to check how the estimators behave in a... [to full text] / Pagrindinė šios disertacijos tema – stochastinių diferencialinių lygčių (SDL), valdomų trupmeninio Brauno judesio (tBj), sprendinių Hursto indekso H vertinimas. Pirmiausia disertacijoje išnagrinėta SDL, valdomų tBj, sprendinių pirmos ir antros eilės kvadratinių variacijų ribinė elgsena. Iš šių rezultatų seka keli stipriai pagrįsti Hursto indekso H įvertiniai. Įrodyta, kad šie įvertiniai išlieka stipriai pagrįsti, jei tikra sprendinio trajektorija keičiama jos Milšteino aproksimacija. Taip pat išnagrinėtos pokyčių santykio (increment ratios) statistikos H įvertinio, gauto J. M. Bardeto ir D. Surgailio 2010 m., taikymo trupmeninio geometrinio Brauno judesio Hursto indekso vertinimui galimybės bei nustatytas modifikuoto Gladyševo H įvertinio konvergavimo i tikrąją parametro reikšme greitis. Gauti įvertiniai palyginti su kai kuriais kitais žinomais Hursto indekso H įvertiniais: naiviais bei mažiausių kvadratų Gladyševo ir eta-sumavimo osciliacijos įvertiniais, variogramos įvertiniu ir pokyčių santykio statistikos įvertiniu. Įvertinių elgsena buvo palyginta trupmeniniam Ornšteino-Ulenbeko (OU) procesui bei trupmeniniam geometriniam Brauno judesiui (gBj). Pradinės išvados buvo padarytos O-U procesui, kuris yra Gauso, o gBj procesas buvo naudojamas patikrinti, kaip šie įvertiniai elgiasi, kai procesas yra ne Gauso. Disertaciją sudaro įvadas, 3 pagrindiniai skyriai, išvados, literatūros sąrašas, autoriaus publikacijų disertacijos tema sąrašas ir du priedai.

L’énergie éolienne, l’une des énergies renouvelables les plus compétitives, est considérée comme une solution qui remédie aux inconvénients de l’énergie fossile. Pour une meilleure gestion et exploitation de cette énergie, des prévisions de sa production s’avèrent nécessaires. Les méthodes de prévisions utilisées dans la littérature permettent uniquement une prévision de la moyenne annuelle de cette production. Certains travaux récents proposent l’utilisation du Théorème Central Limite (TCL), sous des hypothèses non classiques, pour l’estimation de la production annuelle moyenne de l’énergie éolienne ainsi que sa variance pour une seule turbine. Nous proposons dans cette thèse une extension de ces travaux à un parc éolien par relaxation de l’hypothèse de stationnarité la vitesse du vent et la production d’énergie, en supposant que ces dernières sont saisonnières. Sous cette hypothèse la qualité de la prévision annuelle s’améliore considérablement. Nous proposons aussi de prévoir la production d’énergie éolienne au cours des quatre saisons de l’année. L’utilisation du modèle fractal, nous permet de trouver une division ”naturelle” de la série de la vitesse du vent afin d’affiner l’estimation de la production éolienne en détectant les points de ruptures. Dans les deux derniers chapitres, nous donnons des outils statistiques de la détection des points de ruptures et d’estimation des modèles fractals. / The wind energy, one of the most competitive renewable energies, is considered as a solution which remedies the inconveniences of the fossil energy. For a better management and an exploitation of this energy, forecasts of its production turn out to be necessary. The methods of forecasts used in the literature allow only a forecast of the annual mean of this production. Certain recent works propose the use of the Central Limit Theorem (CLT), under not classic hypotheses, for the estimation of the mean annual production of the wind energy as well as its variance for a single turbine. We propose in this thesis, an extension of these works in a wind farm by relaxation of the hypothesis of stationarity the wind speed and the power production, supposing that the latter are seasonal. Under this hypothesis the quality of the annual forecast improves considerably. We also suggest planning the wind power production during four seasons of the year. The use of the fractal model, allows us to find a "natural" division of the series of the wind speed to refine the estimation of the wind production by detecting abrupt change points. Statistical tools of the change points detection and the estimation of fractal models are presented in the last two chapters.