Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution exacte de problèmes NP-difficiles sur les graphes et les hypergraphes. Les problèmes que nous étudions regroupent dans un premier temps des variantes du problème classique du nombre chromatique. Les variantes de ce problème se distinguent par la difficulté introduite par les relations entre les classes de couleurs, ou la difficulté de reconnaissance des classes de couleurs elles-mêmes. Puis nous ferons le lien avec les problèmes de transversaux sur les hypergraphes. Plus particulièrement, il s’agira de s’intéresser à l’énumération de transversaux minimaux dans un hypergraphe de rang borné. Outre la résolution exacte, nous nous intéressons à la résolution à paramètre fixe. Le problème de racine carrée de graphe est un problème important en théorie des graphes. Nous proposons et montrons la solubilité à paramètre fixe de deux problèmes d’optimisation reliés. Finalement, nous nous intéresserons à la résolution de problèmes de graphe, soit en lien avec les problèmes de colorations, soit pour montrer les performances possibles de différents algorithmes en fonction de l’espace mémoire disponible. Dans cette thèse, nous aurons à cœur d’appliquer judicieusement la grande majorité des techniques essentielles en algorithmique exacte exponentielle. Principalement, nous appliquerons la programmation dynamique ou le principe d’inclusion-exclusion pour les problèmes de coloration. La technique de programmation dynamique se retrouvera pour d’autres problèmes de cette thèse, aux côtés d’autres méthodes comme la technique de branchement ou de mesurer et conquérir / In this thesis, we are interested in the exact computation of np-hard problems on graphs and hypergraphs. Firstly, we study several variants of colorings. Those variants appear harder than the famous chromatic number problem, by adding difficulty in recognizing the color classes, or more often by introducing various relationships between them. Then we link to problems of transversals in hypergraphs. More precisely, we are interested in enumerating minimal transversals in bounded ranked hypergraphs. Besides the exact computation, we are also interested in fixed parameter tractability. For this area, we study two optimization versions of the famous square root of graphs problem. Finally, we will be interested in solving other problems of graphs related to colorings, or in order to compare efficiencies of algorithms depending on the memory space available. In this thesis, we will apply most of major techniques in designing exact exponential algorithms. The main techniques we use are dynamic programming, inclusion-exclusion, branching, or measure and conquer

Nous nous intéressons à la résolution en parallèle de système d’équations linéaires creux et de large taille. Le calcul de la solution d’un tel type de système requiert un grand espace mémoire et une grande puissance de calcul. Il existe deux principales méthodes de résolution de systèmes linéaires. Soit la méthode est directe et de ce fait est rapide et précise, mais consomme beaucoup de mémoire. Soit elle est itérative, économe en mémoire, mais assez lente à atteindre une solution de qualité suffisante. Notre travail consiste à combiner ces deux techniques pour créer un solveur hybride efficient en consommation mémoire tout en étant rapide et robuste. Nous essayons ensuite d’améliorer ce solveur en introduisant une nouvelle méthode pseudo directe qui contourne certains inconvénients de la méthode précédente. Dans les premiers chapitres nous examinons les méthodes de projections par lignes, en particulier la méthode Cimmino en bloc, certains de leurs aspects numériques et comment ils affectent la convergence. Ensuite, nous analyserons l’accélération de ces techniques avec la méthode des gradients conjugués et comment cette accélération peut être améliorée avec une version en bloc du gradient conjugué. Nous regarderons ensuite comment le partitionnement du système linéaire affecte lui aussi la convergence et comment nous pouvons améliorer sa qualité. Finalement, nous examinerons l’implantation en parallèle du solveur hybride, ses performances ainsi que les améliorations possible. Les deux derniers chapitres introduisent une amélioration à ce solveur hybride, en améliorant les propriétés numériques du système linéaire, de sorte à avoir une convergence en une seule itération et donc un solveur pseudo direct. Nous commençons par examiner les propriétés numériques du système résultants, analyser la solution parallèle et comment elle se comporte face au solveur hybride et face à un solveur direct. Finalement, nous introduisons de possible amélioration au solveur pseudo direct. Ce travail a permis d’implanter un solveur hybride "ABCD solver" (Augmented Block Cimmino Distributed solver) qui peut soit fonctionner en mode itératif ou en mode pseudo direct. / We are interested in solving large sparse systems of linear equations in parallel. Computing the solution of such systems requires a large amount of memory and computational power. The two main ways to obtain the solution are direct and iterative approaches. The former achieves this goal fast but with a large memory footprint while the latter is memory friendly but can be slow to converge. In this work we try first to combine both approaches to create a hybrid solver that can be memory efficient while being fast. Then we discuss a novel approach that creates a pseudo-direct solver that compensates for the drawback of the earlier approach. In the first chapters we take a look at row projection techniques, especially the block Cimmino method and examine some of their numerical aspects and how they affect the convergence. We then discuss the acceleration of convergence using conjugate gradients and show that a block version improves the convergence. Next, we see how partitioning the linear system affects the convergence and show how to improve its quality. We finish by discussing the parallel implementation of the hybrid solver, discussing its performance and seeing how it can be improved. The last two chapters focus on an improvement to this hybrid solver. We try to improve the numerical properties of the linear system so that we converge in a single iteration which results in a pseudo-direct solver. We first discuss the numerical properties of the new system, see how it works in parallel and see how it performs versus the iterative version and versus a direct solver. We finally consider some possible improvements to the solver. This work led to the implementation of a hybrid solver, our "ABCD solver" (Augmented Block Cimmino Distributed solver), that can either work in a fully iterative mode or in a pseudo-direct mode.

Attention, ce résumé comporte un peu d'ironie et d'humour. Dans ce mémoire, nous défendons l'idée selon laquelle, pour tout modèle de calcul raisonnable, ce n'est plus tant le modèle qui compte pour caractériser les classes de complexité importantes que la complexité de la structure combinatoire sous-jacente et en définitive d'un graphe sous-jacent. Pour prendre l'exemple des circuits booléens ou algébriques comme modèles, tout ce qui importe est la complexité du graphe orienté sous-jacent au circuit. Par modèle de calcul raisonnable, nous entendons, comme il se doit, un modèle qui étudié sur une classe de graphes standard nous donne la classe de complexité standard attendue afin de satisfaire aux règles élémentaires des tautologies. On pourrait aussi choisir comme modèles raisonnables les modèles Turing-complet (ou une autre notion de complétude plus adaptée selon les objets calculés), formalisables dans une logique simple (afin d'éviter les "tricheries" et les modèles conçus spécialement pour faire échouer la belle idée défendue). Néanmoins, cette seconde option n'étant pas sans risque, nous nous contentons de la proposer. La thèse défendue est une version un peu plus formalisée et précise mathématiquement de cette idée aux contours un peu flous et qui est donc nécessairement un peu fausse telle quelle.