L'objet de cette thèse est de démontrer une formule reliant les métriques de Ray-Singer hypoelliptique et de Milnor sur le déterminant de la cohomologie d'une variété riemannienne compacte par une déformation à la Witten du laplacien hypoelliptique en théorie de de Rham. / The purpose of this thesis is to prove a formula relating the hypoelliptic Ray-Singermetric and the Milnor metric on the determinant of the cohomology of a compact Riemannian manifold by a Witten-like deformation of the hypoelliptic Laplacian in de Rham theory.

Dans cette thèse, on donne une formule géométrique explicite pour les intégrales orbitales semisimples tordues du noyau de la chaleur sur un espace symétrique, en utilisant la méthode du laplacien hypoelliptique développée par Bismut. On montre que nos résultats sont compatibles avec les résultats classiques de la théorie de l'indice équivariant local sur les espaces localement symétriques compacts. On utilise notre formule explicite pour évaluer le terme dominant dans l'asymptotique quand d -> + ∞ de la torsion analytique équivariante de Ray-Singer associée à une famille de fibrés vectoriels plats Fd sur un espace localement symétrique compact. On montre que le terme dominant peut être calculé à l'aide de W-invariants au sens de Bismut-Ma-Zhang. / In this thesis, we give an explicit geometric formula for the twisted semisimple orbital integrals associated with the heat kernel on symmetric spaces. For that purpose, we use the method of the hypoelliptic Laplacian developed by Bismut. We show that our results are compatible with classical results in local equivariant index theory. We also use this formula to evaluate the leading term of the asymptotics as d -> + ∞ of the equivariant Ray-Singer analytic torsion associated with a sequence of flat vector bundles Fd on a compact locally symmetric space. We show that the leading term can be evaluated in terms of the W-invariants constructed by Bismut-Ma-Zhang.