Dans cette thèse, nous étudions les aspects structurels et algorithmiques de différents problèmes de théorie des graphes. Rappelons qu’un graphe est un ensemble de sommets éventuellement reliés par des arêtes. Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.<p>Tout d’abord, nous considérons les deux problèmes suivants :le problème de vertex cover et celui de dominating set, deux cas particuliers du problème de hitting set. Un vertex cover est un ensemble de sommets qui rencontrent toutes les arêtes alors qu’un dominating set est un ensemble X de sommets tel que chaque sommet n’appartenant pas à X est adjacent à un sommet de X. La version connexe de ces problèmes demande que les sommets choisis forment un sous-graphe connexe. Pour les deux problèmes précédents, nous examinons le prix de la connexité, défini comme étant le rapport entre la taille minimum d’un ensemble répondant à la version connexe du problème et celle d’un ensemble du problème originel. Nous prouvons la difficulté du calcul du prix de la connexité d’un graphe. Cependant, lorsqu’on exige que le prix de la connexité d’un graphe ainsi que de tous ses sous-graphes induits soit borné par une constante fixée, la situation change complètement. En effet, pour les problèmes de vertex cover et de dominating set, nous avons pu caractériser ces classes de graphes pour de petites constantes.<p>Ensuite, nous caractérisons en termes de dominating sets connexes les graphes Pk- free, graphes n’ayant pas de sous-graphes induits isomorphes à un chemin sur k sommets. Beaucoup de problèmes sur les graphes sont étudiés lorsqu’ils sont restreints à cette classe de graphes. De plus, nous appliquons cette caractérisation à la 2-coloration dans les hypergraphes. Pour certains hypergraphes, nous prouvons que ce problème peut être résolu en temps polynomial.<p>Finalement, nous travaillons sur le problème de Pk-hitting set. Un Pk-hitting set est un ensemble de sommets qui rencontrent tous les chemins sur k sommets. Nous développons un algorithme d’approximation avec un facteur de performance de 3. Notre algorithme, basé sur la méthode primal-dual, fournit un Pk-hitting set dont la taille est au plus 3 fois la taille minimum d’un Pk-hitting set. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Les graphes sont des structures mathématiques utilisées pour modéliser les relations par paires entre objets. Malgré leur structure simple, les graphes ont des applications dans divers domaines tels que l'informatique, la physique, la biologie et la sociologie. L'objectif principal de ce travail est de continuer l'étude des problèmes de coloration et de détection dans le cadre de classes de graphes fermées par sous-graphes induits (que nous appelons classes de graphes héréditaires).La première classe que nous considérons est graphes sans ISK4 - les graphes qui ne contiennent aucune subdivision de en tant que sous-graphe induit. Nous montrons que le nombre chromatique de cette classe est limité à 24, une amélioration considérable par rapport à la borne existant précédemment. Nous donnons également une bien meilleure limite dans le cas sans triangle. De plus, nous prouvons qu'il existe un algorithme de complexité pour détecter cette classe, ce qui répond à une question de Chudnovsky et al. et Lévêque et al.La deuxième classe que nous étudions est celle des graphes sans trou pair et sans étoile d’articulation. Cela est motivé par l'utilisation de la technique de décomposition pour résoudre certains problèmes d'optimisation. Nous garantissons la fonction χ-bounding optimale pour cette classe. Nous montrons que la classe a rank-width bornée, ce qui implique l'existence d'un algorithme de coloration en temps polynomial. Enfin, la coloration gloutonne connexe dans les graphes sans griffes est considérée. Une façon naturelle de colorier un graphe est d'avoir un ordre de ses sommets et d'affecter pour chaque sommet la première couleur disponible. Beaucoup de recherches ont été faites pour des ordres généraux. Cependant, nous connaissons très peu de choses sur la caractérisation des bons graphes par rapport aux ordres connexes. Un graphe est bon si pour chaque sous-graphe induit connexe de , chaque ordre connexe donne à une coloration optimale. Nous donnons la caractérisation complète de bons graphes sans griffes en termes de sous-graphes induits minimaux interdits. / Graphs are mathematical structures used to model pairwise relations between objects. Despite their simple structures, graphs have applications in various areas like computer science, physics, biology and sociology. The main focus of this work is to continue the study of the coloring and detecting problems in the setting of graph classes closed under taking induced subgraphs (which we call hereditary graph classes). The first class we consider is ISK4-free graphs - the graphs that do not contain any subdivision of K4 as an induced subgraph. We prove that the chromatic number of this class is bounded by 24, a huge improvement compared to the best-known bound. We also give a much better bound in the triangle-free case. Furthermore, we prove that there exists an O(n 9) algorithm for detecting this class, which answers a question by Chudnovsky et al. and Lévêque et al. The second class we study is even-hole-free graphs with no star cutset. This was motivated by the use of decomposition technique in solving some optimization problems. We prove the optimal χ -bounding function for this class and show that it has bounded rank-width, which implies the existence of a polynomial-time coloring algorithm.Finally, the connected greedy coloring in claw-free graphs is considered. A natural way to color a graph is to have an order of its vertices and assign for each vertex the first available color. A lot of researches have been done for general orders. However, we know very little about the characterization of good graphs with respect to connected orders. A graph G is good if for every connected induced subgraph H of G, every connected order gives H an optimal coloring. We give the complete characterization of good claw-free graphs in terms of minimal forbidden induced subgraphs.