O presente trabalho desenvolve a abordagem bidimensional, tanto no espaço de velocidades como no espaço de número de onda, para determinar a evolução temporal dos modos eletrostáticos íon-sônico e de Langmuir, e das partículas (elétrons) em plasmas. A teoria empregada para o sistema feixe-plasma em questão usa a abordagem de turbulência fraca desenvolvida pelo Professor Peter H. Yoon, que se empenha em generalizar a teoria de turbulência fraca estabelecida ate então. A análise numérica bidimensional permite abordar questões como isotropização da distribuição de partículas e dispersão angular de ondas, impraticável na simplificação unidimensional. De forma sumária, os resultados obtidos permitem (i) reconhecer a importância dos processos de espalhamento não-linear na produção de elétrons energéticos, (ii) sugerir que o chamado condensado de Langmuir decorre de um \efeito dimensional" ou decorre de efeitos não-lineares de ordem superior, ou mesmo de um tratamento mais acurado de efeitos não-lineares já contabilizados, mas de forma aproximada, (iii) reconhecer que um elevado grau de isotropização da distribuição eletrônica somente é alcançado para densidades do feixe suficientemente elevadas, (iv) identificar que um sistema com feixes antissimétricos _e altamente eficaz na produção de oscilações íon-sônicas, quando comparado a um sistema de feixe _único. Adicionalmente, estudam-se sistemas com inomogeneidade espacial e uma ou duas dimensões em velocidade e número de onda; lineares e não-lineares. Os resultados permitem uma melhor compreensão do comportamento do sistema feixe-plasma ao longo do espaço. Por _m, determina-se uma nova ferramenta matem ática que permite calcular a relação de dispersão para funções distribuição de velocidade arbitrárias. Ainda, uma nova abordagem num erica semianal tica e introduzida a qual resulta em reduzido tempo de processamento e estabilidade num erica aumentada. / The present work develops the bidimensional approach, both in velocity and wave number spaces, in order to establish the temporal evolution of ion-sound and Langmuir electrostatic modes, and particles (electrons) in plasmas. The framework for the beamplasma system considered is the weak turbulence approach developed by Professor Peter H. Yoon, who has worked toward the generalization of the weak turbulence theory so far established. The bidimensional numerical analysis allows one to address issues such as isotropization of particle distributions and angular dispersion of waves, unfeasible within the unidimensional simpli cation. Brie y, the results obtained allow one to (i) recognize the importance of nonlinear scattering in the production of energetic electrons, (ii) suggest that the so called Langmuir condensate either stem from a "dimensional e ect"or is due to higher order nonlinear e ects, or even to a more accurate approach of nonlinear e ects already accounted, but in an approximated form, (iii) recognize that a high degree of isotropization of electron distribution is only attained for su ciently high beam densities, (iv) identify that a system with anti-symmetric beams is highly e cient in producing ion-sound waves, compared to a single beam system. In addition, systems with spatial inhomogeneities are studied either in one or two dimensions in velocity and wave number spaces; both linear and nonlinear. The results allow for a better understanding of the beam-plasma system along the space. Finally, a novel mathematical tool is devised which allows for the calculation of dispersion relations for arbitrary distribution functions. Still, a novel semi-analytical numerical approach is introduced which allows for reduced processing time and higher numerical stability.

Neste trabalho estudamos a interação feixe-plasma aplicando a teoria de turbulência fraca. Primeiramente fazemos uma introdução `a teoria cinética de plasmas, estudando aspectos fundamentais como: a abordagem estatística das equações do plasma, o tratamento a ser dado `as funções de correlação que aparecem nessa abordagem, e o sistema de equações de Vlasov-Maxwell. Em seguida estudamos a aproximação de Vlasov e a solução do sistema de Vlasov- Maxwell na aproximação linear, enfocando a descrição de ondas no plasma e o amortecimento de Landau. Ao longo desse desenvolvimento fazemos uma apresentação relativamente detalhada dos procedimentos introduzidos por Landau ao tratar o sistema Vlasov-Maxwell como um problema de valor inicial, incluindo uma discussão sobre a resolução de integrais no plano complexo, com polos no denominador, e a solução da relação de dispersão para encontrar os modos normais de oscilação no plasma. Apresentamos também uma breve revisão a respeito da aproximação quase-linear do sistema de Vlasov- Maxwell, na qual abordamos a obtenção da equação quase-linear de difusão no espaço das velocidades para partículas e estudamos suas propriedades de conservação. Nesse contexto da teoria quase-linear, apresentamos uma revisão a respeito da evolução temporal do amortecimento de Landau no caso de distribuição de velocidades Maxwelliana e da instabilidade que pode ocorrer no caso de uma função distribuição com um feixe de partículas. Depois dessa introdução `a aproximação linear e `a teoria quase-linear, abordamos a teoria de turbulência fraca num plasma não magnetizado, incluindo interações não lineares entre ondas e partículas. O formalismo apresentado inclui efeitos como emissão espontânea e induzida, decaimento e espalhamento de ondas. O sistema de equações acopladas da teoria de turbulência fraca é então reduzido a uma aplicação a um sistema considerando duas dimensões, depois reescrito em termos de coordenadas polares e adaptado para solução numérica. Apresentamos então uma descrição do código numérico desenvolvido usando linguagem Fortran, abordando um plasma com elétrons descritos por uma função distribuição Maxwelliana com um feixe tênue, e íons descritos por uma função distribuição Maxwelliana. Finalmente, comparamos nossos resultados com outros obtidos por outros autores em trabalhos anteriores, desenvolvidos usando coordenadas cartesianas, avaliando nosso trabalho. Por último, discutimos algumas perspectivas para o desenvolvimento futuro do trabalho. / In the present work we study the beam-plasma interaction using the weak turbulence theory. We start with an introduction to the kinetic theory of plasmas, studying fundamental features, like the statistical approach to the plasma equations, the procedures to be employed to deal with the correlation functions appearing in the statistical approach, and the system of Vlasov-Maxwell equations. In the sequence we discuss the Vlasov approximation and the solution of the Vlasov- Maxwell system in the linear approximation, emphasizing the description of waves in the plasma and the Landau damping. Along the development we present a relatively detailed description of the procedures introduced by Landau to treat the Vlasov-Maxwell system as an initial value problem, including a discussion about the resolution of integrals in the complex plane, with poles in the denominator, and the solution of the dispersion relation to find the normal mode of oscillations in the plasma. We also present a short review about the quasilinear approximation of the Vlasov-Maxwell system, in which we discuss the derivation of the quasilinear diffusion equation in the space of particle velocities, and study its properties of conservation. In the context of the quasilinear theory, we present a short review about the time evolution of the Landau damping in the case of Maxwellian velocity distribution, and about the instability which can occur in the case of a distribution function with a beam of particles. After the introduction to the linear approximation and to the quasilinear theory, we present the equations of weak turbulence theory for a unmagnetized plasma, including non-linear interactions between waves and particles. The formalism which is presented includes effects and spontaneous and induced emission, decay and scattering of waves. The system of coupled equations of the weak turbulence theory is then reduced to application to a bi-dimensional case, and then re-written in terms of polar coordinates and adapted to numerical solution. We then present a description of the numerical code developed using Fortran language, suitable to describe a plasma with electrons described by a Maxwellian distribution function with a tenuous beam, and ions described by a Maxwellian distribution. Finally, we compare our results with results obtained by other authors in previous works, developed using cartesian coordinates, as a validation of our work. Lastly we discuss some perspectives for future developments.