O objetivo deste trabalho é estudar os efeitos não lineares que resultam na dinâmica de um dímero rígido e amortecido, provido de rotação deslizando sobre um substrato periódico unidimensional. Simulações numéricas são realizadas para dinâmicas com amortecimento nos graus de liberdade translacional e rotacional, para lançamentos do dímero com velocidades translacionais finitas (estado transiente); com o dímero sujeito a uma força externa aplicada na coordenada do centro de massa e com temperaturas finitas (estado estacionário). As equações de movimento descritas em coordenadas de centro de massa e rotacional são caracterizadas por um acoplamento roto-translacional, este que é ativado em regimes distintos durante o deslizamento do dímero, resultando em transferências de energia entre suas coordenadas. A motivação deste estudo é tentar compreender os efeitos rotacionais emergentes na dinâmica do menor objeto possível que seja capaz de rotar, de forma a possibilitar simples contribuições para o entendimento da origem do atrito em escalas nanométricas. No estado de transiente foi possível obter soluções analíticas para os diferentes regimes da velocidade do centro de massa do dímero, bem como uma compreensão extensiva de sua dinâmica, realizada através de um estudo sobre o comportamento geral de sua inclinação angular e com comparações instrutivas com trabalhos anteriores realizados com um dímero vibrante. No estado estacionário foi possível determinar o comportamento no limiar de deslizamento (atrito estático) através do seu estudo como função da inclinação angular inicial. Três diferentes dinâmicas surgem neste estado, uma relacionada com um adátomo, outra com caráter pendular, e a última em que o dímero é capaz de deslizar realizando rotações completas. Nas três dinâmicas surgem efeitos não lineares, sendo que nas duas últimas acontece devido ao acoplamento rototranslacional, em que a natureza das dinâmicas são qualitativamente compreendidas através de uma análise do potencial efetivo como função da inclinação angular. Argumentos e considerações concisas são desenvolvidas com o âmbito de se formular simples expressões aproximadas que predizem com eficácia alguns dos limites que foram previstos. Também foi estudado o efeito da inclusão de temperaturas finitas no sistema, resultando numa atenuação no efeito não linear. / The aim of this work is to study the effects of rotation of the non linear friction of a damped dimer sliding on a 1D periodic substrate. Numerical simulations are performed with: a damping in the translational and rotational coordinate, throwing the dimer with a finite initial translational velocity (transient state); with the dimer subjected to an external force applied in the center of mass coordinate and with finite temperatures (steady state). The equations of motion in terms of center of mass and rotational coordinate show a rototranslational coupling, whose is activated for distinct regimes while the dimer is sliding, resulting in an energy transfer between the coordinates. The motivation of this work is to understand the rotational effects that emerges from the dynamics of the smallest object that can rotate, in order to achieve simple contributions to the understanding of the friction origin in nanometric scale. The first system was the transient state, and we were able to obtain analytical solutions of the center of mass velocity while the dimer is sliding in the three distinct regimes that arise. As well as an extensive comprehension of this dynamics, performed by studying the whole behavior of the angular inclination and instructive comparisons with the vibrating dimer. In the steady state system, an analysis of the behavior of the dimer at the threshold sliding (static friction) as function of the angular inclination allowed a complete understanding of the threshold effects. Three distinct dynamics arise from this state, one related to the adatom, another with a pendulous nature, and the last with the dimer performing complete rotations while is sliding. Non linear effects arise from the thee dynamics, for the two former cases the effects arise from roto-translational coupling, which are qualitatively understood by analysing the effective potential as function of the angular inclinations. Reasonable and proper arguments are developed aiming to construct simple and approximated expressions that predict with good efficiency some of the limit parameters values, that describes the transitions between different dynamics. Also, numerical simulations performed with finite temperature shows an attenuation in the non linear effects.

Uma análise da estabilidade não-linear de feixes com seção transversal circular considerando perturbações sem simetria axial é executada. Mostra-se que as oscilações simétricas oficialmente circulares de um feixe podem induzir oscilações não-lineares do tipo anti-simétrica(elípticas), com um conseqüente aumento do tamanho do feixe ao logo de uma direção preferencial. O mecanismo da instabilidade e sua relevância às perdas de partícula no feixe são discutidos.

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

O objetivo deste trabalho é estudar os efeitos não lineares que resultam na dinâmica de um dímero rígido e amortecido, provido de rotação deslizando sobre um substrato periódico unidimensional. Simulações numéricas são realizadas para dinâmicas com amortecimento nos graus de liberdade translacional e rotacional, para lançamentos do dímero com velocidades translacionais finitas (estado transiente); com o dímero sujeito a uma força externa aplicada na coordenada do centro de massa e com temperaturas finitas (estado estacionário). As equações de movimento descritas em coordenadas de centro de massa e rotacional são caracterizadas por um acoplamento roto-translacional, este que é ativado em regimes distintos durante o deslizamento do dímero, resultando em transferências de energia entre suas coordenadas. A motivação deste estudo é tentar compreender os efeitos rotacionais emergentes na dinâmica do menor objeto possível que seja capaz de rotar, de forma a possibilitar simples contribuições para o entendimento da origem do atrito em escalas nanométricas. No estado de transiente foi possível obter soluções analíticas para os diferentes regimes da velocidade do centro de massa do dímero, bem como uma compreensão extensiva de sua dinâmica, realizada através de um estudo sobre o comportamento geral de sua inclinação angular e com comparações instrutivas com trabalhos anteriores realizados com um dímero vibrante. No estado estacionário foi possível determinar o comportamento no limiar de deslizamento (atrito estático) através do seu estudo como função da inclinação angular inicial. Três diferentes dinâmicas surgem neste estado, uma relacionada com um adátomo, outra com caráter pendular, e a última em que o dímero é capaz de deslizar realizando rotações completas. Nas três dinâmicas surgem efeitos não lineares, sendo que nas duas últimas acontece devido ao acoplamento rototranslacional, em que a natureza das dinâmicas são qualitativamente compreendidas através de uma análise do potencial efetivo como função da inclinação angular. Argumentos e considerações concisas são desenvolvidas com o âmbito de se formular simples expressões aproximadas que predizem com eficácia alguns dos limites que foram previstos. Também foi estudado o efeito da inclusão de temperaturas finitas no sistema, resultando numa atenuação no efeito não linear. / The aim of this work is to study the effects of rotation of the non linear friction of a damped dimer sliding on a 1D periodic substrate. Numerical simulations are performed with: a damping in the translational and rotational coordinate, throwing the dimer with a finite initial translational velocity (transient state); with the dimer subjected to an external force applied in the center of mass coordinate and with finite temperatures (steady state). The equations of motion in terms of center of mass and rotational coordinate show a rototranslational coupling, whose is activated for distinct regimes while the dimer is sliding, resulting in an energy transfer between the coordinates. The motivation of this work is to understand the rotational effects that emerges from the dynamics of the smallest object that can rotate, in order to achieve simple contributions to the understanding of the friction origin in nanometric scale. The first system was the transient state, and we were able to obtain analytical solutions of the center of mass velocity while the dimer is sliding in the three distinct regimes that arise. As well as an extensive comprehension of this dynamics, performed by studying the whole behavior of the angular inclination and instructive comparisons with the vibrating dimer. In the steady state system, an analysis of the behavior of the dimer at the threshold sliding (static friction) as function of the angular inclination allowed a complete understanding of the threshold effects. Three distinct dynamics arise from this state, one related to the adatom, another with a pendulous nature, and the last with the dimer performing complete rotations while is sliding. Non linear effects arise from the thee dynamics, for the two former cases the effects arise from roto-translational coupling, which are qualitatively understood by analysing the effective potential as function of the angular inclinations. Reasonable and proper arguments are developed aiming to construct simple and approximated expressions that predict with good efficiency some of the limit parameters values, that describes the transitions between different dynamics. Also, numerical simulations performed with finite temperature shows an attenuation in the non linear effects.

Uma análise da estabilidade não-linear de feixes com seção transversal circular considerando perturbações sem simetria axial é executada. Mostra-se que as oscilações simétricas oficialmente circulares de um feixe podem induzir oscilações não-lineares do tipo anti-simétrica(elípticas), com um conseqüente aumento do tamanho do feixe ao logo de uma direção preferencial. O mecanismo da instabilidade e sua relevância às perdas de partícula no feixe são discutidos.

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

O objetivo deste trabalho é estudar os efeitos não lineares que resultam na dinâmica de um dímero rígido e amortecido, provido de rotação deslizando sobre um substrato periódico unidimensional. Simulações numéricas são realizadas para dinâmicas com amortecimento nos graus de liberdade translacional e rotacional, para lançamentos do dímero com velocidades translacionais finitas (estado transiente); com o dímero sujeito a uma força externa aplicada na coordenada do centro de massa e com temperaturas finitas (estado estacionário). As equações de movimento descritas em coordenadas de centro de massa e rotacional são caracterizadas por um acoplamento roto-translacional, este que é ativado em regimes distintos durante o deslizamento do dímero, resultando em transferências de energia entre suas coordenadas. A motivação deste estudo é tentar compreender os efeitos rotacionais emergentes na dinâmica do menor objeto possível que seja capaz de rotar, de forma a possibilitar simples contribuições para o entendimento da origem do atrito em escalas nanométricas. No estado de transiente foi possível obter soluções analíticas para os diferentes regimes da velocidade do centro de massa do dímero, bem como uma compreensão extensiva de sua dinâmica, realizada através de um estudo sobre o comportamento geral de sua inclinação angular e com comparações instrutivas com trabalhos anteriores realizados com um dímero vibrante. No estado estacionário foi possível determinar o comportamento no limiar de deslizamento (atrito estático) através do seu estudo como função da inclinação angular inicial. Três diferentes dinâmicas surgem neste estado, uma relacionada com um adátomo, outra com caráter pendular, e a última em que o dímero é capaz de deslizar realizando rotações completas. Nas três dinâmicas surgem efeitos não lineares, sendo que nas duas últimas acontece devido ao acoplamento rototranslacional, em que a natureza das dinâmicas são qualitativamente compreendidas através de uma análise do potencial efetivo como função da inclinação angular. Argumentos e considerações concisas são desenvolvidas com o âmbito de se formular simples expressões aproximadas que predizem com eficácia alguns dos limites que foram previstos. Também foi estudado o efeito da inclusão de temperaturas finitas no sistema, resultando numa atenuação no efeito não linear. / The aim of this work is to study the effects of rotation of the non linear friction of a damped dimer sliding on a 1D periodic substrate. Numerical simulations are performed with: a damping in the translational and rotational coordinate, throwing the dimer with a finite initial translational velocity (transient state); with the dimer subjected to an external force applied in the center of mass coordinate and with finite temperatures (steady state). The equations of motion in terms of center of mass and rotational coordinate show a rototranslational coupling, whose is activated for distinct regimes while the dimer is sliding, resulting in an energy transfer between the coordinates. The motivation of this work is to understand the rotational effects that emerges from the dynamics of the smallest object that can rotate, in order to achieve simple contributions to the understanding of the friction origin in nanometric scale. The first system was the transient state, and we were able to obtain analytical solutions of the center of mass velocity while the dimer is sliding in the three distinct regimes that arise. As well as an extensive comprehension of this dynamics, performed by studying the whole behavior of the angular inclination and instructive comparisons with the vibrating dimer. In the steady state system, an analysis of the behavior of the dimer at the threshold sliding (static friction) as function of the angular inclination allowed a complete understanding of the threshold effects. Three distinct dynamics arise from this state, one related to the adatom, another with a pendulous nature, and the last with the dimer performing complete rotations while is sliding. Non linear effects arise from the thee dynamics, for the two former cases the effects arise from roto-translational coupling, which are qualitatively understood by analysing the effective potential as function of the angular inclinations. Reasonable and proper arguments are developed aiming to construct simple and approximated expressions that predict with good efficiency some of the limit parameters values, that describes the transitions between different dynamics. Also, numerical simulations performed with finite temperature shows an attenuation in the non linear effects.

Uma análise da estabilidade não-linear de feixes com seção transversal circular considerando perturbações sem simetria axial é executada. Mostra-se que as oscilações simétricas oficialmente circulares de um feixe podem induzir oscilações não-lineares do tipo anti-simétrica(elípticas), com um conseqüente aumento do tamanho do feixe ao logo de uma direção preferencial. O mecanismo da instabilidade e sua relevância às perdas de partícula no feixe são discutidos.

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

A presente dissertação estuda a dinâmica uni e tridimensional de uma part cula solitária eletricamente carregada sob a ação de uma onda eletrostática de alta frequência lentamente modulada. A onda dota a partícula de energia potencial elétrica e o seu movimento e conhecido através do emprego do formalismo hamiltoniano, onde se faz a consideração de efeitos relativísticos devido as altas velocidades envolvidas no processo. Enquanto a velocidade máxima experimentada pela partícula permanece suficientemente abaixo da velocidade de fase característica da onda que a acelera, sua dinâmica pode ser bem descrita por uma re nada aproximação ponderomotriz. Com esta abordagem, prevê-se corretamente a velocidade média, máxima e m nima desenvolvida pela partícula ao longo de seu movimento através das curvas que permeiam e envelopam o per l de velocidade. Os limites de validade da aproximação são bem estabelecidos e, uma vez ultrapassados, a partícula com velocidade ressonante e capturada pela onda. Sob as adequadas condições calculadas neste trabalho, o mecanismo de captura instala, espontaneamente, a partícula em fase otima relativa a onda e a acelera a velocidades muito próximas da velocidade da luz no vácuo. Em consonância, o processo de aceleração e otimizado com a focagem da partícula em direção ao eixo de propagação da onda durante um certo intervalo de tempo e de comprimento aproveitáveis. / The present dissertation studies the one and three-dimensional dynamics of an electrically charged solitary particle under the action of a slowly modulated high frequency electrostatic carrier wave. The wave gives the particle electrical potential energy and its movement is known through the use of Hamiltonian formalism, where relativistic e ects are considered due to the high velocities involved in the process. Meanwhile the maximum speed experienced by the particle remains su ciently below the characteristic phase velocity of the accelerating carrier wave, its dynamics can be well described by a re ned ponderomotive approach. With this approach, the average, maximum and minimum speed developed by the particle along its movement through the curves that permeate and envelop the velocity pro le. The limits of validity of the approximation are well established and, once exceeded, the particle with resonant velocity is captured by the wave. Under the appropriate conditions calculated in this work, the capture mechanism spontaneously installs the optimum phase particle relative to the wave and accelerates towards the speed of light in the vacuum. At same time, the acceleration process is optimized by focusing the particle towards the wave propagation axis for a certain usable time interval and length.