Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:31:25Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo8701_1.pdf: 1516305 bytes, checksum: c60dee928595b5ce00f6d3e80c35ad52 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2007 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Neste trabalho, estudamos o problema restrito dos três corpos onde os primários movem-se numa órbita elíptica de colisão, isto é, o momento angular dos primários é identicamente zero e a energia é negativa. Este problema apresenta três subproblemas, a saber: o caso estritamente espacial (isto é, a partícula infinitesimal move-se no espaço); o caso planar (isto é, a partícula infinitesimal move-se num plano que contém os primários) e o caso isósceles (isto é, a partícula infinitesimal move-se em um plano ¡ perpendicular a reta que contém os primários e passando através do centro de massa dos primários). É relevante observar que a dinâmica dos primários é periódica e contém um número infinito de colisões. Assim, os primários representam um termo de for»ca periódica no sistema, fazendo com que esse sistema seja não conservativo. Esta é uma das grandes dificuldades em se obter uma descrição completa da dinâmica deste problema. Esses três subproblemas foram escritos como uma perturbação do problema de Kepler, desta maneira obtivemos uma grande quantidade de órbitas periódicas. A técnica usada para conseguirmos tais órbitas foi o método da Continuação Analítica de Poincaré. No entanto, não foi possível usar o Teorema da Função Implícita na sua forma padrão, uma vez que não temos a diferenciabilidade suficiente do campo devido ao parâmetro perturbador introduzido. Para contornar este problema, usamos o Teorema de Arenstorf, o qual exige um pouco menos do campo. No caso isósceles, o qual chamamos por problema restrito dos três corpos isósceles elíptico com colisão, obtemos mais informações sobre a dinâmica da partícula. Além de provarmos a existência de uma grande quantidade de órbitas periódicas, conseguimos mergulhar o shift de Bernoulli em uma seção conveniente do fluxo, mostrando que este problema possue uma dinâmica caótica. Além disso, construímos esta dinâmica simbólica

Submitted by Fernanda Rodrigues de Lima (fernanda.rlima@ufpe.br) on 2018-07-25T21:21:54Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Anete Soares Cavalcanti.pdf: 3712208 bytes, checksum: 7e0521855f83e1876b5cd9e1fb697872 (MD5) / Approved for entry into archive by Alice Araujo (alice.caraujo@ufpe.br) on 2018-07-27T21:50:30Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Anete Soares Cavalcanti.pdf: 3712208 bytes, checksum: 7e0521855f83e1876b5cd9e1fb697872 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-27T21:50:30Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) TESE Anete Soares Cavalcanti.pdf: 3712208 bytes, checksum: 7e0521855f83e1876b5cd9e1fb697872 (MD5) Previous issue date: 2012-09-14 / Apresentaremos aqui uma demonstração topológica da existência de certas órbitas periódicas simétricas no problema isósceles planar de três corpos, chamadas órbitas de Broucke. Esta prova é baseada na construção de um conjunto de Wazewski no espaço de fase. Encontramos essa família de órbitas periódicas por um “shooting argument”, escolhendo um conjunto de condições iniciais no conjunto de Wazewski o qual fazemos fluir pelo fluxo do problema isósceles no espaço de fase, obtendo as condições de saída desejadas. / We will present a topological proof for the existence of certain symmetrical periodic orbits of the planar isosceles three-body problem, called Broucke’s orbits. This proof is based on the construction of a Wazewski set in phase space. We find this family of periodic orbits by a shooting argument, choosing one set of initial conditions in the Wazewski’s set, and letting it flow in the phase space, obtaining the desired exit condition.

Uma órbita bilhar em um triângulo é uma poligonal cujos segmentos começam e terminam nos lados do triângulo e que se refletem elasticamente nestes lados. É como o movimento de uma bola numa mesa de bilhar sem atrito (logo a bola tem velocidade constante e jamais para) cujas laterais formam um triângulo. Esta órbita é periódica se ela retorna infinitas vezes ao mesmo ponto com a mesma direção. A existência de órbitas bilhares periódicas em polígonos é uma questão aberta da matemática. Mesmo para um triângulo ainda não há resposta. Para triângulos agudos, a resposta é bem conhecida, pois o triângulo formato pelos pés das alturas do triângulo é uma órbita periódica. Para triângulos obtusos, em geral, pouco se sabe. O objetivo desta dissertação é coletar resultados e técnicas sobre órbitas bilhares periódicas em triângulos obtusos. Começamos introduzindo o trabalho de Vorobets, Galperin e Stepin, que no início dos anos 90 unificaram os casos conhecidos de triângulos que possuem órbita bilhar periódica, introduziram o conceito de estabilidade e mostraram novos resultados, como uma família infinita de órbitas estáveis. Temos também o teorema de 2000 de Halbeisen e Hungerbühler que estende as famílias de órbitas estáveis. Mencionamos em seguida os trabalhos de Schwartz de 2006 e 2009 que utilizam auxílio computacional para mostrar que todo triângulo com ângulos menores que $100\\degree$ possui órbita bilhar periódica. Depois temos os resultados de 2008 de Hooper e Schwartz sobre órbitas bilhares periódicas em triângulos quase isósceles e sobre estabilidade de órbitas em triângulos de Veech. Todos os casos abordados neste trabalho incluem uma vasta variedade de triângulos, mas a questão de existência de órbitas bilhares periódicas para todo triângulo está longe de ser totalmente contemplada. / A billiard orbit in a triangle is a polygonal with vertices at the boundary of the triangle such that its angles reflect elastically. It is similar to a moving ball on a billiard table without friction (so the ball has constant speed and never stops) whose sides form a triangle. This orbit is periodic if it returns infinitely to the same point with the same direction. The existence of periodic billiard orbits in polygons is an open problem in mathematics. Even for a triangle there is still no answer. For acute triangles the answer is well known since the triangle whose vertices are the base points of the three altitudes of the triangle is a periodic orbit. For obtuse triangles, in general, little is known. The aim of this thesis is to collect results and techniques on periodic billiard orbits in obtuse triangles. We start by introducing the work of Vorobets, Gal\'perin and Stepin, who unified in the early 1990s the known cases of triangles that have periodic billiard orbits, introduced the concept of stability and proved new results, such as an infinite family of stable orbits. We also have the theorem of Halbeisen and Hungerbühler of 2000 extending the families of stable orbits. Next, we mention the works of Schwartz of 2006 and 2009 that use computational assistance to prove that every triangle whose angles are at most $100\\degree$ have periodic billiard orbits. Then, we have the results of 2008 by Hooper and Schwartz on periodic billiard orbits in nearly isosceles triangles and on stability of billiard orbits in Veech triangles. All cases covered in this work include a wide variety of triangles, but the question of the existence of periodic billiard orbits for all triangles is far from being fully contemplated.

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

A transformada de Fourier da densidade de estados de grafos quˆanticos unidimensionais apresenta picos d localizados precisamente nos valores da ac¸ ˜ao de trajet´orias Newtonianas e n˜ao-Newtonianas. Introduzindo fios extendendo-se ao infinito, investigamos o problema de espalhamento correspondente; atrav´es do espectro transformado, encontramos picos que indicam que a condutˆancia tamb´em apresenta uma assinatura destas ´orbitas. C´alculos indicam que resultados de trabalhos anteriores para grafos fechados podem ser extendidos para sistemas abertos. Em particular, uma f´ormula do trac¸o ´e apresentada para trˆes exemplos em particular. / The Fourier transform of the density of states of one-dimensional, closed quantum graph exhibits d-peaks located precisely at the actions of Newtonian and non-Newtonian orbits. By introducing leads extending to infinity, we investigate the corresponding scattering problem; through the Fourier-transformed spectra, peaks are found indicating that also the conductance displays a signature of such periodic orbits. Our calculations indicate that results from previous work on closed graphs can be extended to open systems. In particular, we indicate a trace formula for three different cases.

A transformada de Fourier da densidade de estados de grafos quˆanticos unidimensionais apresenta picos d localizados precisamente nos valores da ac¸ ˜ao de trajet´orias Newtonianas e n˜ao-Newtonianas. Introduzindo fios extendendo-se ao infinito, investigamos o problema de espalhamento correspondente; atrav´es do espectro transformado, encontramos picos que indicam que a condutˆancia tamb´em apresenta uma assinatura destas ´orbitas. C´alculos indicam que resultados de trabalhos anteriores para grafos fechados podem ser extendidos para sistemas abertos. Em particular, uma f´ormula do trac¸o ´e apresentada para trˆes exemplos em particular. / The Fourier transform of the density of states of one-dimensional, closed quantum graph exhibits d-peaks located precisely at the actions of Newtonian and non-Newtonian orbits. By introducing leads extending to infinity, we investigate the corresponding scattering problem; through the Fourier-transformed spectra, peaks are found indicating that also the conductance displays a signature of such periodic orbits. Our calculations indicate that results from previous work on closed graphs can be extended to open systems. In particular, we indicate a trace formula for three different cases.

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.