Nous étudions quelques applications du contrôle stochastique à la couverture d'options en présence d'illiquidité. Dans la première partie, nous nous intéressons à un problème de surcouverture d'option dans un modèle à volatilité stochastique. L'originalité provient du fait que l'actif servant à couvrir la volatilité n'est pas liquide et que l'agent devra donc opérer un montant total fini de transactions. La deuxième partie concerne la couverture d'option en présence de volatilité incertaine dont la dynamique n'est pas spécifiée. Nous introduisons un critère permettant d'obtenir des prix d'options non triviaux, en autorisant l'agent à perdre de l'argent pour des réalisations de la volatilité qu'il juge peu probables. Enfin dans une troisième partie nous étudions un problème de contrôle impulsionnel pour lequel les contrôles prennent effet avec retard. Cette étude s'applique notamment à la couverture d'options sur hedge funds, pour lesquels les ordres d'achat et de vente sont exécutés avec retard. Dans chaque partie, nous caractérisons la fonction valeur du problème comme étant l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles. Dans la première et la troisième partie, nous introduisons dans un second chapitre des algorithmes de résolution numériques de ces EDP par différences finies. La convergence de ces algorithmes est prouvée de manière théorique.

Ce mémoire est une présentation de contributions à l'étude de fonctionnelles stochastiques. Ces contributions comportent à la fois des analyses théoriques des lois des fonctionnelles (régularité, inégalités de déviation, théorèmes limites), et des études de modèles motivés par les applications (mathématiques financières, modèles de boules aléatoires). Le mémoire est organisé selon trois thèmes principaux que nous décrivons brièvement. Dans une première partie, les lois de différents types d'intégrales stochastiques (stable, Wiener-Itô, Poisson) sont étudiées. En considérant les intégrales comme des fonctionnelles sur l'espace des trajectoires de processus naturellement associés aux mesures aléatoires d'intégration, nous analysons la régularité des lois (existence de densité, convergence en variation par rapport aux fonctions intégrées). La deuxième partie est consacrée à des inégalités sur les lois de probabilités. Les premières sont des inégalités de concentration qu'on propose pour des fonctionnelles sur l'espace de Poisson lorsque le gradient (de type différence) satisfait certaines bornes. Nos résultats sont spécialisés pour de nombreuses classes de fonctionnelles (parmi lesquelles~: des vecteurs d'intégrales de Poisson, des fonctionnelles de Wiener quadratiques, des fonctionnelles stables). Les secondes sont des inégalités de comparaison convexe pour des exponentielles stochastiques ou des vecteurs à représentation prévisible. Des applications aux bornes de prix d'options financières sont également considérées. La troisième partie regroupe différents théorèmes limites pour différentes convergences et différents objets. Des convergences en variation sont obtenues pour des processus empiriques en renforçant des principes d'invariance, et pour les variations d'Hermite du mouvement brownien fractionnaire en obtenant des résultats de type Berry-Esséen. Dans des modèles de boules aléatoires et de mots aléatoires, ce sont des fluctuations en lois de fonctionnelles d'intérêt que nous analysons.

Nous étudions dans la première partie les lois de certaines intégrales stochastiques. Après le cas introductif des intégrales de Poisson dont nous étudions l'absolue continuité, on construit les intégrales stables multiples pour les fonctions dans un espace de type Orlicz. Pour cela, nous passons par une généralisation de la représentation de LePage. Cette représentation est bien adaptée pour utiliser ensuite la méthode de stratification et étudier la loi de ces intégrales. Nous trouvons en particulier une condition garantissant l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue des lois jointes d'intégrales stables multiples. Nous prouvons également à partir de cette représentation la continuité pour la norme de la variation totale des lois de ces intégrales par rapport aux fonctions intégrées. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la convergence forte des lois des fonctionnelles stochastiques. Nous considérons tout d'abord une suite de variables aléatoires $(\xi_n)_n$ {\it i.i.d.} et on lui associe des processus de sommes partielles normalisées. On s'intéresse alors à la convergence en variation des lois des fonctionnelles de ces processus vers celles des fonctionnelles respectives du processus de Wiener. Ce type de convergence renforce celles du théorème central limite fonctionnel et permet d'obtenir un principe local d'invariance. Nous prouvons une telle convergence pour une large classe de fonctionnelles sous des hypothèses sensiblement affaiblies sur la loi commune des $\xi_n$ par rapport aux résultats précédents. Nous donnons des exemples concrets de fonctionnelles pour lesquelles ces convergences tiennent. Nous montrons pour terminer un résultat du même type en partant de certaines suites de variables aléatoires fortement mélangeantes. On obtient notamment dans un cas particulier un résultat de convergence en variation des lois des sommes partielles normalisées de variables mélangeantes.

Cette thèse s'intéresse à une étude variée des EDSRs. Une grande partie des résultats sont obtenus sous l'hypothèse d'une croissance de type quadratique du générateur en sa dernière variable. Un premier lien entre EDSRs quadratiques unidimensionnelles et théorie des jeux nous amène à développer des résultats avec générateurs convexes. La théorie du contrôle optimal nécessite quant à elle de traiter du cas multidimensionnel, dans lequel existence et unicité globales ne sont obtenues que pour des générateurs diagonalement quadratiques. Les résultats majeurs sur les EDSRs réfléchies (dont la solution est contrainte à rester dans un domaine) concernent des générateurs Lipschitziens. C'est dans ce cadre que nous développons un résultat de propagation du chaos, avec une contrainte portant sur la loi de la solution plutôt que sur sa trajectoire. Nous dressons enfin un pont entre EDSRs quadratiques et EDSRs réfléchies grâce aux EDSRs quadratiques de type champ moyen. Nous donnons plusieurs nouveaux résultats sur la possibilité de résoudre une équation quadratique dont le générateur dépend également de la moyenne des deux variables. / In this thesis, we are interested in studying variously Backward Stochastic Differential Equations. A large proportion of the results are obtained under the assumption that the driver is of quadratic growth in its last variable. A first link between one-dimensional quadratic BSDEs and game theory leads us to develop results with convex drivers. Optimal control theory requires as for it to deal with the multidimensional case, in which global existence and uniqueness are obtained only for diagonaly quadratic drivers. Major achievements in reflected BSDEs (whose solution is constrained to remain in a domain) are reached for Lipschitz drivers. We develop a result of chaos propagation in this setting, with a constraint on the law of the solution rather than on its path. We finaly build bridge between quadratic BSDEs and reflected BSDEs thanks to mean field quadratic BSDEs. We give several new results on solvability of a quadratic BSDE whose driver depends also on the mean of both variables.