Con el cambio del siglo XX al XXI, la importancia de las tecnologías ópticas, como herramientas esenciales para otras ciencias, está llamando la atención en diferentes ámbitos científicos y económicos. El desarrollo de técnicas relacionadas con la imagen óptica aparece en diferentes puntos de vista como por ejemplo, la tecnología de la información y de las comunicaciones, la salud humana y las ciencias de la vida, los sensores ópticos y nuevas lámparas para una mejora en el consumo de energía, el desarrollo de equipos destinados a procesos de fabricación en la industria, etc. Las aplicaciones en la industria han tenido un gran impacto económico: por ejemplo, todos los circuitos integrados de semiconductores que se producen en el mundo se fabrican mediante litografía óptica. El desarrollo de la industria de semiconductores ha dado un impulso a la investigación básica y al desarrollo de técnicas ópticas: la disminución de los tamaños en la fabricación implica la exigencia de nuevos materiales, nuevos componentes ópticos, nuevas fuentes de iluminación. En la actualidad, la mayoría de la población europea es usuaria de la Tecnología de la Información y de la Comunicación (del inglés, "Information Communication Technology"), por ejemplo a través de ordenadores personales, telefonía móvil, electrónica empleada en medicina, internet, control de robots inteligentes, detección de obstáculos para la guía de un vehículo,. y la calidad de este tipo de productos aumenta considerablemente cada pocos años para un mismo precio (un factor ~2 cada 3 años). La base de tal progreso se debe, en gran parte, al rápido progreso en la calidad de los componentes que se emplean en esta ICT, como por ejemplo, los circuitos integrados y su conexión con otros dispositivos. La industria semiconductora se está preparando para promover una reducción del detalle más pequeño en los circuitos integrados, por debajo de los 130 nanómetros. Tal reducción requiere una evaluación de la ausencia de gradientes ondulatorios y abruptos con una precisión de 10 nanómetros para el caso particular de obleas de 300 milímetros de diámetro. El diámetro actual standard de las obleas es de 200 milímetros aunque actualmente ya se están produciendo obleas de 300 milímetros y el objetivo es fabricar obleas todavía más grandes. Además, la velocidad de procesado aumentará hasta 100 obleas por hora. Así, el control en la producción y pulido de obleas requiere una instrumentación para la medición rápida de la topografía tridimensional que en la actualidad, no está disponible técnicamente. Otro de los problemas que aparece en la industria semiconductora concierne a los substratos que forman las obleas. La tecnología actual permite producir detalles muy pequeños mediante procesos litográficos. Esto exige mayores requerimientos en la planitud de las obleas sobre las que se depositan repetidamente circuitos integrados. El problema consiste en que la inspección de la planitud requiere mucho tiempo, varias horas para una única oblea. Otro de los problemas con los que se encuentra la industria semiconductora es el procesado de las obleas. Después de la deposición de cada substrato, se neutraliza depositando una capa muy delgada de SiO2. Antes de la siguiente deposición, la oblea se somete a procesos de pulido químicos y mecánicos para conseguir de nuevo la planitud deseada. Se trata de un proceso lento que aumenta el coste de producción. Sin embargo, en un futuro inmediato se fabricarán obleas de 450 mm de diámetro mientras que las actuales son de 200 mm; de forma que se podrán depositar más circuitos integrados ganando tiempo y reduciendo el coste de producción. La situación es similar en otros campos, como por ejemplo, los dispositivos de cristal líquido: en la línea de producción se requiere un rápido control de la topografía tridimensional de dichos cristales, que tampoco está disponible en la actualidad. En este caso las dimensiones pueden llegar a ser de 1m por 1m.

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El objetivo de la tesis es el calculo efectivo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental, de familias de superficies de Riemann compactas conexas (curvas algebraicas complejas) de género 4. Este estudio se extiende a otros desarrollados hasta la fecha en los marcos de la Geometría Algebraica, Topología Diferencial y Simpléctica, que estudian esta monodromía geométrica y en el grupo fundamental para familias de superficies de Riemann de hasta género 2, usando la estructura elíptica/hiperelíptica de tales familias. El salto de género 2 a género 4 se realiza para aprovechar la estructura trigonal (de recubrimiento triple de la esfera de Riemann) que tienen las curvas en género 4. Tal curva genérica tiene dos estructuras trigonales, en una familia genérica se puede hacer un cambio de base 2:1 para conseguir pegar las estructuras de recubrimiento trigonal de las fibras y obtener una familia de recubrimientos trigonales de la esfera de Riemann. El recubrimiento trigonal genérico para curvas de género 4 tiene 12 puntos de ramificación simple. Esto significa, en una familia de recubrimientos trigonales hay un divisor de grado relativo 12 en la familia de esferas de Riemann recubiertas, denominado divisor de ramificación, tal que la monodromía de trenzas de este divisor determina la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de la familia. El resultado teórico principal de esta memoria es la construcción de una familia universal de curvas trigonales de género 4, bajo el esquema de recubrimientos trigonales de Hurwitz, pero de dimensión más reducida, monodromía geométrica calculable, y que mantiene una propiedad de universalidad topológica: toda familia de recubrimientos trigonales de género 4 se obtiene por pullback de una aplicación de la base a la de esta familia universal, más deformación. Completa el resultado teórico principal el cálculo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de esta familia. Este cálculo se hace siguiendo la monodromía de trenzas del divisor de ramificación de la familia, y levantando esta monodromía de las esferas de Riemann a sus cubiertas triples. El cálculo de la monodromía en el grupo fundamental de la familia no ha podido ser completado desde el punto de vista lógico, debido a una conjetura sobre el estabilizador de una acción del grupo de trenzas en el esquema de Hurwitz de cubiertas triples. Sin embargo, los cálculos realizados permanecen válidos sea cual sea la respuesta; en caso de ser cierta implica que el cálculo realizado es toda la monodromía de la familia universal y lo contrario significaría que hay que añadir algunos cálculos de monodromía análogos a los aquí realizados. Los resultados teóricos de la tesis se completan con trabajo de computación para realizar cálculos efectivos de monodromía geométrica en el grupo fundamental en las familias de curvas de género 4. Primero, se desarrolla una librería de funciones para el programa Singular que hallan la estructura trigonal de curvas de género 4 a partir de su ecuación canónica y con la ayuda de un cálculo auxiliar en Pari-GP, determinan el divisor de ramificación relativo de una familia de curvas de género 4 canónicas (no hiperelípticas). En la tesis se aplica esta librería al cálculo de estructuras trigonales y divisores de ramificación en familias de curvas de género 4, tanto ejemplos académicos como familias de interés geométrico: - la familia de curvas de género 4 que describe un pincel de Lefschetz en la superficie K3 de género 4 (cuya monodromía geométrica es necesaria para demostrar la versión de Paul Seidel de la conjetura de la 'Mirror Symmetry'), - una familia de curvas de género 4 deformación de la curva de Bring (la única curva de género 4 que tiene grupo de simetrías de orden 5). Segundo, se desarrolla una librería de funciones para el programa MATLAB que calculan la monodromía de trenzas de un divisor en C^2. Este cálculo se inicia en la integración de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a valores complejos, que sigue la evolución de las ramas del divisor, para el que se ha desarrollado un integrador numérico de paso variable combinando un método de Runge-Kutta con el uso de la ecuación del divisor como integral primera de las soluciones para el control del paso. Este sistema de ecuaciones se integra sobre un sistema de generadores del grupo fundamental de la base obtenido a partir de una descomposición celular de Voronoi asociada a los valores de ramificación de la familia, y finalmente se identifica la monodromía de trenzas a partir del análisis de la posición de las ramas del divisor a lo largo de los caminos escogidos en la base. Esta librería funciona correctamente para divisores de grados hasta 6-8 en el plano. Se ilustra en la tesis mediante su aplicación a ejemplos académicos, completa con representación e identificación de las monodromías de trenzas en estos ejemplos. / The objetive of the thesis is the actual calculation of the geometric monodromy and the fundamental group of families of related compact Riemann surfaces (complex algebraic curves) of genus 4. This study extends to other developed so far within the framework of algebraic geometry, differential and symplectic topology, studying this geometric monodromy and fundamental group for families of Riemann surfaces of genus 2, using the elliptical structure / hyperelliptic of such families. The jump from genre 2 to genre 4 is performed to take advantage of the trigonal structure (triple coating of the Riemann sphere) with the curves in genus 4. Such a generic curve has two trigonal structures in a generic family can make a base change 2:1 to get hit trigonal structures coating the fibers and obtain a family of trigonal coverings of the Riemann sphere. The coating generic trigonal curves of genus 4 has 12 simple branch points. This means, in a family of trigonal coverings is a divisor of relative degree 12 in the family of Riemann spheres coated, called branching divisor, such that the braid monodromy of this divisor determines the geometric monodromy on the fundamental group of family. The main theoretical result of this report is to construct a universal family of trigonal curves of genus 4, under the scheme trigonal Hurwitz coatings, but smaller scale, geometric monodromy calculable, and maintains a topological property of universality: all family of coatings gender trigonal 4 is obtained by pullback of an application to the base of this universal family, the more distortion. Complete the main theoretical result calculating the geometric monodromy and the fundamental group of this family. This calculation is made following the braid monodromy of the branch divisor of the family, and raising the monodromy of the Riemann spheres of their triple decks. The calculation of the monodromy on the fundamental group of the family has not been completed from the logical point of view, due to a conjecture about the stabilizer of a braid group action in the Hurwitz scheme covers triples. However, the calculations remain valid whatever the answer should be true implies that the calculation is all the monodromy of the universal family and it would mean we must add some monodromy calculations similar to those made here. The theoretical results of the thesis is completed with computer work for geometric monodromy effective calculations in the fundamental group in families of curves of genus 4. First, we developed a library of functions for the program Singular which are the structure of trigonal curves of genus 4 from its canonical equation and with the help of an auxiliary calculation Pari-GP, determine the relative branching divisor of a family of canonical curves of genus 4 (not hyperelliptic). The thesis applies this library to the trigonal structure calculation and branching divisors in families of curves of genus 4, both academic and family examples of geometric interest: - The family of curves of genus 4 which describes a Lefschetz brush on the surface K3 genus 4 (whose geometric monodromy is needed to prove Paul Seidel version of the conjecture of the 'Mirror Symmetry') - A family of curves of genus 4 curve deformation Bring (the only curve of genus 4 having symmetry group of order 5). Second, develop a library of functions for the MATLAB program to compute the braid monodromy of a divisor in C ^ 2. This calculation starts on the integration of a system of ordinary differential equations with complex values, which follows the evolution of the branches of the splitter, for which we have developed a numerical integrator by combining a variable step Runge-Kutta method with the equation using the first integral divisor of solutions for pitch control. This system of equations is integrated on a system of generators of the fundamental group of the base obtained from a Voronoi cell decomposition associated with the values of branching of the family, and finally identifies the braid monodromy from the analysis of the position of the branches of the divider along the paths chosen in the base. This library works well for divisors up to 6-8 degrees in the plane. The thesis is illustrated by application to academic examples, complete with representation and identification of the braid monodromy in these examples